indice e distribuição

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CURSO DE ADMINISTRAÇÃO 
Disciplina: Análise Estatística 
Professor Julio Servulo 
Números Índices 
A tabela abaixo mostra o resultado de uma eleição de uma 
determinada região: 
Números Índices 
Precisamos realizar um estudo comparativo da variação dos 
votos brancos mas este estudo não será de muita utilidade se 
trabalharmos com uma tabela de números absolutos. Por este 
motivo faremos uma nova tabela de números relativos. 
Números Índices 
Podemos então chegar a seguinte conclusão: A cidade E 
foi a que apresentou o maior índice de votos em branco. 
Este método, dos números relativos, é bastante 
empregado quando queremos fazer comparações de 
valores por uma mesma variável em épocas ou regiões 
diferentes e são conhecidas como números-índices. 
Números-índices ou índices é a relação entre dois estados 
de uma variável. Representa o nível de um fenômeno em 
relação ao que tinha em um dado período e geralmente é 
expresso em percentagem. 
Números Índices 
A tabela abaixo mostra a evolução das matrículas de um 
determinado colégio no período de 1989 a 1994. Através da 
tabela podemos acompanhar o aumento de alunos 
matriculados no período. 
Números Índices 
Relativos de preço: 
 
É o que chamamos a variação do preço, do valor ou da 
quantidade de um só bem e geralmente é expreso em 
termos percentuais. Por exemplo, atribuindo o valor de R$ 
100,00 a época base podemos calcular da seguinte 
maneira na expressão: 
Números Índices 
Elos de relativos: 
 
Para formarmos os elos de relativos basta calcular cada um 
deles tendo como base o ano anterior. No período de 1991 a 
1994 os preços foram R$ 240,00, R$ 300,00, R$ 360,00 e R$ 
540,00 e seus elos relativos foram: 
Distribuição Binomial e Normal 
Variável Aleatória: 
 
Suponhamos um espaço amostral S relativo ao lançamento simultâneo de 
duas moedas é: 
S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} 
e se representarmos o número de caras como X então teremos a tabela a 
seguir. 
 
 
 
 
Ponto Amostral X 
(Ca,Ca) 2 
(Ca, Co) 1 
(Co, Ca) 1 
(Co, Co) 0 
Distribuição Binomial e Normal 
Distribuição de probabilidade 
 
Consideremos a tabela abaixo e sua distribuição de frequência relativa ao 
número de acidentes diários em um estacionamento. 
 
 
 
Número de 
acidentes 
Frequências 
0 22 
1 5 
2 2 
3 1 
30 
Distribuição Binomial e Normal 
Distribuição Binomial e Normal 
Feita as equações podemos então escrever: 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa tabela é denominada distribuição de probabilidade 
 
 
Números de 
Acidentes 
Probabilidades 
0 0,73 
1 0,17 
2 0,07 
3 0,03 
∑ 1 
Distribuição Binomial e Normal 
Distribuição Binomial e Normal 
Exemplo: 
 
A probabilidade de obter exatamente 2 caras em 6 lances de uma moeda 
não viciada. 
 
 
 
O conceito de Probabilidade 
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, 
prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos. 
 
Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia 
que nos vem à mente é a da sua utilização em jogos, mas podemos 
utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial, 
onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a 
possibilidade de fraude por parte de um possível comprador. 
 
Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns 
conceitos importantes sobre a matéria. 
Experimento Aleatório 
Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou 
para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto 
pode dar coroa. 
 
Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o 
resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de 
possibilidades de resultado. 
 
A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em 
condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a 
cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios. 
Espaço Amostral 
Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para 
cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou 
será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, 
ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é 
o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento. 
Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal 
como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o 
seu espaço amostral por: 
S = { cara, coroa } 
Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, 
o espaço amostral será: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Classificação de Eventos 
Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles: 
 
Evento Simples 
 
Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento 
do espaço amostral. A = { 5 } é a representação de um evento simples do 
lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma 
das outras possibilidades são divisíveis por 5. 
 
Evento Certo 
 
Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um 
número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 
720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos números da face 
de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles. 
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele 
possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 
Classificação de Eventos 
Classificação de Eventos 
Classificação de Eventos 
Ocorrência de um Evento 
Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que 
as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, 
qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro? 
 
Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de 
voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para 
casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3. 
Definição 
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) 
considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão 
do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de 
elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar 
na rua), desde que espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou 
seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as 
condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos). Sendo 
E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não 
vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a 
probabilidade de E ocorrer é igual a: 
 
 
sendo n(S)≠0. A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que 
significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no 
máximo o evento sempre ocorrerá: 0 ≤ P(E) ≤ 1. 
Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas 
também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por 
porcentagens. 
Exemplo 
Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número 
divisor de 6? 
 
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o 
evento E é representado por: 
E = { 1, 2, 3, 6 } 
 
Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto: 
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem: 
 
A probabilidade de se obter um número divisorde 6 é 2/3 ou 66,67%. 
 
 
Problemas de Contagem 
Princípio Fundamental de Contagem 
 
“Se um certo acontecimento pode ocorrer de n1 maneiras diferentes e se, 
 após este acontecimento, um segundo pode ocorrer de n2 maneiras 
diferentes e, após este segundo acontecimento, um terceiro pode ocorrer 
de n3 maneiras diferentes …, então o número de modos diferentes em 
que os acontecimentos podem ocorrer na ordem indicada é n1 x n2 x n3…” 
 
Exemplo: 
No lançamento de dois dados, quantas possibilidades podem acontecer? 
 
Se contarmos todas as possibilidades verificamos que são 36, o mesmo 
número que obtemos se aplicarmos o “Princípio Fundamental de Contagem” 
 
 6 x 6 = 36. 
Análise Combinatória 
Quando o número de elementos é elevado, a contagem pelos 
processos anteriores é praticamente impossível e, nestes 
casos, recorre-se á análise combinatória. Assim, a análise 
combinatória pode ser entendida como um conjunto de 
processos alternativos e simplificados de contagem. 
 
Partimos sempre de um conjunto com um número finito de 
elementos (números, pessoas, objectos, letras …). Com os 
elementos desse conjunto formam-se Sequências ou 
Subconjuntos. 
Análise Combinatória 
O processo de cálculo do número de sequências que é 
possível formar vai depender de dois factores: 
- Ordem dos seus elementos; 
- Repetição dos seus elementos (sim ou não). 
 
Na formação de Subconjuntos não interessa a ordem e 
os elementos não de repetem. Casos em que na contagem 
interessa a ordem: 
- Arranjos com ou sem Repetição; 
- Permutações. 
Casos em que não interessa a ordem: 
- Combinações. 
O conceito de probabilidade - 
propriedades 
P1: A probabilidade do evento impossível é nula. 
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos: 
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0 
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de 
se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula. 
 
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. 
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1 
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade 
de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1. 
 
P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado 
no intervalo real [0, 1]. 
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima. 
O conceito de probabilidade - 
propriedades 
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento 
complementar é igual a unidade. Seja o evento A e o seu 
complementar A'. Sabemos que A U A' = U. 
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U). 
Dividindo ambos os membros por n(U), vem: 
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se: 
p(A) + p(A') = 1 
 
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita 
a solução de muitos problemas aparentemente complicados. 
Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do 
evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil 
determinar a probabilidade do evento. 
 
O conceito de probabilidade - 
propriedades 
O conceito de probabilidade - 
propriedades 
Exercícicios 
Considerando a ementa de um restaurante, quantas refeições diferentes é 
possível fazer neste restaurante, incluindo uma entrada, um prato e uma 
sobremesa? 
 
Exercícicios 
Num baralho de 52 cartas quantas sequências (interessa 
a ordem) diferentes se podem formar ao tirar sucessivamente 3 
cartas sem reposição? 
Exercícios 
Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
a) sair o número 3: b) sair um número par: c) sair um múltiplo de 3: d) sair 
um número menor do que 3: e) sair um quadrado perfeito:. 
 
Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 
a) sair a soma 8: b) sair a soma 12. 
 
Exercícios 
Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. 
Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: 
a) sair bola azul; b) sair bola vermelha; c) sair bola amarela 
 
Probabilidade 
Distribuição Binomial e Normal 
Distribuição Binomial e Normal 
Distribuição Binomial e Normal 
Distribuição Binomial e Normal 
Distribuição Binomial e Normal