Métodos Quantitativos em Economia - Slides de Aula Unidade I

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Unidade I 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA 
 
 
 
Profa. Isabel Espinosa 
 Função de várias variáveis 
 
 
 
 x e y são variáveis 
Exemplo: 
 A área de um terreno retangular é uma função de 2 
 variáveis. 
 
 A (x, y) = área do retângulo. 
 A(x, y) = x . y 
 
 
IR x IR IR 
(x, y) z = f(x,y) 
y 
x 
 Domínio 
Domínio: 
 
 Df ⊂ IR2 (plano) 
Exemplos: 
1) 
 
x – 2y ≠ 0, isto é, x ≠ 2y 
Df = { (x,y) ∈ IR2 | x ≠ 2y } 
 
Graficamente: 
 
 
 
IR x IR IR 
 (x, y) z = f(x,y) 
 x + y 
x – 2 y g (x, y) = 
x 
y 
1 
1/2 
 Domínio 
2) 
- x2 - y2 + 4 ≥ 0 
Df = { (x,y) ∈ IR2 | - x2 - y2 + 4 ≥ 0} 
 
Graficamente, temos: 
 - x2 - y2 + 4 = 0 equação da circunferência 
 centro (0,0) e raio r = 2 
 
 
 h (x, y) = - x2 - y2 + 4 
2 
- 2 
2 
- 2 
 Gráficos 
Gráfico 
f: IR x IR → IR 
Df ⊂ IR2 
“A” ponto do gráfico de f, então: 
 
 
 
A = (x, y, f(x,y)) 
IR3 
z 
 Gráficos 
Gráficos gerados no computador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
z = sin(xx+yy)/(xx+yy) 
(winplot) 
 
 
 Gráficos 
Gráficos gerados por computador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z = sen(x)+sen(y) 
 
 Gráficos 
Exemplo: 
 , isto é, 
z2 = - x2 - y2 + 4 , (z ≥ 0) 
1º passo: Df = { (x,y) ∈ IR2 | - x2 - y2 + 4 ≥ 0} 
2º passo: corte nos eixos 
corte em x (y = z = 0) 
 x2 + y2 + z2 = 4, daí, x = ± 2 
 
corte em y (x = z = 0) 
 x2 + y2 + z2 = 4, daí, y = ± 2 
 h (x, y) = - x2 - y2 + 4 
 Gráficos 
corte em z (x = y = 0) 
 x2 + y2 + z2 = 4 
 z = + 2, ( z ≥ 0) 
3º passo: corte nos planos 
plano y0z (x = 0) 
 y2 + z2 = 4 (semicircunferência) 
plano x0y (z = 0) 
 x2 + y2 = 4 (circunferência) 
plano x0z (y = 0) 
 x2 + z2 = 4 (semicircunferência) 
 
 
 Gráficos 
gráfico 
2 
x 
z 
 2 
2 
y 
 corte y0z 
corte x0z 
corte x0y 
 Gráficos 
Semiesfera 
(z ≥ 0) 
2 
x 
z 
 
2 
y 
2 
 Curvas de nível 
Curvas de nível ou mapa de contorno: 
Cortes paralelos ao plano x0y e f(x,y) = z, 
z indicam a altura da curva no gráfico. 
 
Exemplos: 
Mapas topográficos de regiões montanhosas (f(x,y) = z, 
mesma elevação em relação ao nível do mar). 
 
Curvas isotermas ou isotérmicas. 
(pontos com mesma temperatura) 
 
 
 Curvas de nível 
Exemplo: 
Representar as curvas de nível da função 
para z = 0, 2, 4, 5 
 (semiesfera de raio 4) 
 
(z ≥ 0) x2 + y2 + z2 = 16 
z = 0: x2 + y2 = 16 
z = 2: x2 + y2 = 12 
z = 4: x2 + y2 = 0 
z = 5: x2 + y2 = - 9 (não é possível) 
 
 h (x, y) = - x2 - y2 + 16 
 Curvas de nível 
z = 0: x2 + y2 = 16 (eq. Circunf.) 
z = 2: x2 + y2 = 12 
z = 4: x2 + y2 = 0 
 
y 
x 
z=0 
z=4 
z=2 
3,4 4 
3,4 
4 
- 3,4 
- 4 
- 4 -3,4 
 Curvas de nível 
No gráfico de f, temos: 
 
4 
x 
z 
4 y 4 
 Interatividade 
O gerente de uma rede de supermercados determina que x 
unidades de um produto podem ser vendidas nas lojas do 
centro por R$ 85,00 a unidade e y unidades do mesmo produto 
podem ser vendidas nas lojas da periferia por R$ 60,00 a 
unidade. A expressão que indica a receita obtida é: 
a) R(x,y) = 85 x + 60 y 
b) R(x,y) = 60 x + 85 y 
c) R(x,y) = 85 x - 60 y 
d) R(x,y) = 60 x - 85 y 
e) R(x,y) = 85 x + 85 y 
 
 Limites 
Limites: 
 
Função de 1 variável: 
 
 
Função de 2 variáveis: 
 
Lim f(x) = L ⇔ Lim f(x) = Lim f(x) = L 
x→ a x →a+ x →a- 
 Lim f(x,y) = L ⇔ o limite é L para todas 
 
trajetórias passando por (a,b) 
 
(x,y) → (a,b) 
 Limites 
Exemplos: 
1) Calcular o limite de f em (0,0) ao longo das trajetórias 
x = 0; x = y e y = 2x. 
 
 
 
 
 
 
F(x,y) = x . y x2 + y2 
y 
x (0,0) 
y = x 
x = 0 
y = 2x 
 Limites 
 x = 0 : 
 
 
 
 
 x = y: 
 
 
 
 
 
 Lim = 
 
(x,y) → (0,0) 
 x . y 
x2 + y2 Lim = 0 
 
(x,y) → (0,0) 
 0 . y 
 0 + y2 
 Lim = 
 
(x,y)→ (0,0) 
 x . y 
x2 + y2 Lim = 
 
(x,y)→(0,0) 
 y2 
 2 y2 
 1 
 2 
 Limites 
 y = 2 x : 
 
 
 
 
 
 Lim = 
 
(x,y)→ (0,0) 
 x . y 
x2 + y2 Lim = 
 
(x,y)→(0,0) 
 2 x2 
 5 x2 
 2 
 5 
 Não existe 
 
 
(Trajetórias diferentes com resultados diferentes) 
 
Lim f(x,y), 
 
(x,y)→ (0,0) 
Limites 
2) Calcular o limite de f em (1,1) ao longo das trajetórias 
x = 1; x = y e y = 1, e sendo f(x,y) = x2 y – 3 x y3 + 4 x 
 
 
 Limites 
 
 f(x,y) = x2 y – 3 x y3 + 4 x 
 
 x = 1 
 
 
 
 y = 1 
 
 
 
 
Lim f(x,y)= 
(x,y)→ (1,1) 
 Lim (12 y – 3.1. y3+ 4.1) = 2 
(x,y)→ (1,1) 
 = Lim (x2 1–3.x.13+4.x) = 2 
 (x,y)→ (1,1) 
Lim f(x,y) 
(x,y)→ (1,1) 
 Limites 
 
 f(x,y) = x2 y – 3 x y3 + 4 x 
 
 x = y 
 
 
 
Conclusão: 
 
 
= Lim (x3 – 3.x4 + 4.x) = 2 
 (x,y)→ (1,1) 
Lim f(x,y) 
(x,y)→ (1,1) 
Lim f(x,y) = = 2 
(x,y)→ (1,1) 
 Lim (x2 y – 3xy3+4x) 
(x,y)→ (1,1) 
Continuidade 
Função de 1 variável: 
 
 
 
Função de 2 variáveis: 
 
 f é contínua em a ⇔ Lim f(x) = f(a) 
 x→ a 
 f é contínua em (a,b) ⇔ Lim f(x,y) = f(a,b) 
 (x,y)→ (a,b) 
Continuidade 
 São exemplos de funções contínuas: 
 Funções Polinomiais 
 (contínuas em IR2); 
 
 Funções Racionais (quociente de polinômios) 
 (contínuas em seu domínio). 
 Continuidade 
Exemplo: 
1) f(x,y) = 3 x2 y – x y + 4 x y2 
é uma função polinomial, logo é contínua no IR2 
 
 
 
 
 
Lim f(x,y) = = 
(x,y)→ (a,b) 
 Lim (3x2 y – xy + 4 xy2 ) 
 (x,y)→ (a,b) 
 = 3a2 b – a b + 4 a b2 = f(a,b) 
 Continuidade 
2) 
 
é contínua em Df = {(x,y) ∈ IR2 | x ≠ - y} 
(função racional) 
 
 
 
 
 
f(x,y) = x . y 
x + y 
 Interatividade 
A função é contínua em: 
 
 
a){(x,y) ∈ IR2 | x = 2 y} 
b){(x,y) ∈ IR2 | y ≠ 2x} 
c){(x,y) ∈ IR2 | x ≠ 2 y} 
d){(x,y) ∈ IR2 | y = 2x} 
e){(x,y) ∈ IR2 | x ≠ y} 
f(x,y) = x + y 
2x - y 
Derivadas parciais 
Derivadas parciais. 
uma variável: 
 
 
 
duas variáveis: 
 
 
derivada parcial de f em relação x. 
f’(a) = lim f(a+h) – f(a) 
 h→0 h 
fx (x,y)= lim f(x+h, y) – f(x,y) 
 h→0 h 
Derivadas parciais 
 
 
derivada parcial de f em relação y 
fx : consideramos y = constante 
fy : consideramos x = constante 
 
fy (x,y)= lim f(x, y + h) – f(x,y) 
 h→0 h 
fx (a,b) = fx = f1 = Dx f = = 
∂ f(a,b) 
∂ x 
∂ f 
∂ x 
fy (a,b) = fy = f2 = Dy f == 
∂ f(a,b) 
∂ y 
∂ f 
∂ y 
Derivadas parciais 
Exemplos: 
1) Calcule pela definição as derivadas parciais 
 da função f(x,y) = x2 y. 
fx fy 
 lim f(x+h, y) – f(x,y) 
 h→0 h fx = 
Derivadas parciais 
f(x,y) = x2 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, fx = 2 x.y 
 lim f(x+h, y) – f(x,y) 
 h→0 h 
fx = = 
= lim (x+h) 2 . y – x2 y = 
 h→0 h 
 lim 2.x.h.y + h 2. y 
 h→0 h 
= = 
 lim 2.x. y + h. y 2 x.y 
 h→0 
= = 
Derivadas parciais 
f(x,y) = x2 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, fy = x2 
 lim f(x, y+h) – f(x,y) 
 h→0 h 
fy = = 
= lim x2 . (y+h) – x2. y = 
 h→0 h 
 lim x2 .y + x2 .h - x 2. y 
 h→0 h 
= = 
 = lim x2 = x2 
 h→0 
Derivadas parciais 
2) Calcule pela definição as derivadas parciais 
da função f(x,y) = 2x + y 
fx fy 
 lim f(x+h, y) – f(x,y) 
 h→0 h 
fx = 
Derivadas parciais 
f(x,y) = 2x + y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, fx = 2 
 lim f(x+h, y) – f(x,y) 
 h→0 h 
fx = = 
= lim 2(x+h) + y – (2x + y) = 
 h→0 h 
 lim 2.x + 2h + y – 2x – y 
 h→0 h 
= = 
= lim 2 = 2 
 h→0 
Derivadas parciais 
f(x,y) = 2x + y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, fy = 1 
 lim f(x, y+h) – f(x,y) 
 h→0 h 
fy = = 
= lim 2x + y + h – (2x + y) = 
 h→0 h 
 lim 2.x + y + h – 2x – y 
 h→0 h 
= = 
= lim 1 = 1 
 h→0 
Derivadas parciais 
Taxas de variação 
 
 taxa de variação de z em relação a x 
 (y é constante) 
 
 
 taxa de variação de z em relação a y 
 (x é constante) 
 
 
∂ z 
∂ x 
∂ z 
∂ y 
Derivadas parciais 
Regras – mesmas da função de 1 variável 
(outra variável é constante) 
 
Exemplos: 
1) Determinar fx, isto é, a derivada de f em relação a x, sendo 
 f(x,y) = x2 – x . y 
 
 Devemos considerar y constante. 
Derivadas parciais 
 
 
 
 
 
fx = 2 . x2 - 1 – 1 . y 
 
Logo fx = 2 . x – y 
 
f(x,y) = x2 – x . y 
∂ f 
∂ x fx = 
Derivadas parciais 
2) Determinar fy, isto é, derivada de f em relação a y, sendo 
f(x,y) = x2 – x . y 
 
Devemos considerar x constante. 
 
 
 
 fy = 0 – x . 1 
 
 Logo fy = – x 
∂ f 
∂ y fy = 
Derivadas parciais 
3) Determinar as derivadas parciais fx e fy das funções: 
a) f(x,y) = x2 + y2 
 (y constante) 
 
 
 
 (x constante) 
∂ f 
∂ x 
fx = 
∂ f 
∂ y fy = 
fx = 2 x2-1 + 0 ⇒ fx = 2x 
fy = 0 + 2 y2-1 ⇒ fy = 2y 
Derivadas parciais 
b) f(x,y) = x – 5 x e y 
 
 (y constante) 
 
 
 
 (x constante) 
 
 
∂ f 
∂ x 
fx = 
fx = 1 - 5 ey 
∂ f 
∂ y fy = 
fy = 0 - 5 x ey = - 5 x ey 
fy = - 5 x ey 
Derivadas parciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x,y) = x3 y - 3x 
5y 
fy = x3 . 1+ 3x 5 
. y-1 - 1 
∂ f 
∂ y fy = 
fy = x3 + 3x 5y2 
(x constante) 
∂ f 
∂ x fx = 
fx = 3 x3 - 1 y - 1 5y 
. 3 
 fx = 3 x2 y - 3 5y 
(y constante) 
Interatividade 
A derivada em relação a y da função 
f(x, y) = x- 4 y2 - cos x é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) fy = 2 x- 4 y 
b) fy = x- 4 y 
c) fy = 2 x- 4 y – sen x 
d) fy = - 4 x- 5 y2 – sen x 
e) fy = 2 x- 4 y + cos x 
Derivadas parciais 
Função composta 
 
z = f(v) e v = g(x,y), isto é, z = f(g(x,y)) 
 
 
 
 
∂ z 
∂ x 
dz 
dv 
∂ v 
∂ x 
= . 
∂ z 
∂ y 
dz 
dv 
∂ v 
∂ y 
= . 
Derivadas parciais 
Exemplos: 
Calcule as derivadas parciais das funções: 
a) z = sen (3x + 2y) z = f(v) e (3x + 2y) = v 
 
 
 
∂ z 
∂ x 
dz 
dv 
∂ v 
∂ x = . 
 = (cos (3x + 2y)) . 3 ∂ z 
∂ x 
∂ z 
∂ y 
dz 
dv 
∂ v 
∂ y = . 
 = (cos (3x + 2y)) . 2 ∂ z ∂ y 
Derivadas parciais 
b) z = 3x . ex . y 
 
fx = 3 . ex . y + 3x . ex.y . y = 3 . ex . y + 3x y. ex.y 
 
fy = 3x . ex . y . x = 3x2 . ex . y 
Regra da cadeia 
z = f(x, y) com x = g(t) e y = h(t) 
d z 
d t 
dx 
dt 
∂ z 
∂ y 
= . + . ∂ z 
∂ x 
dy 
dt 
Regra da cadeia 
Exemplos: 
1) Se z = x y3 + 2 x y, com x = - t e y = 2 t; determine a derivada 
de z em relação a t. 
Devemos utilizar a regra da cadeia 
d z 
d t 
dx 
dt 
∂ z 
∂ y 
= . + . ∂ z 
∂ x 
dy 
dt 
∂ z 
∂ x = y
3 + 2 y 
∂ z 
∂ y = x. 3. y
2 + 2 x 
Regra da cadeia 
x = - t e y = 2 t 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
 
d x 
d t = -1 
d y 
d t = 2 
d z 
d t 
dx 
dt 
∂ z 
∂ y 
= . + . ∂ z 
∂ x 
dy 
dt 
(-1) d z d t 
= + (y3 + 2y) (3xy2 + 2x) (2) 
Regra da cadeia 
2. Se z = x y + ex y, com x = cos t e y = sen t; determine a 
derivada de z em relação a t. 
 
Devemos utilizar a regra da cadeia 
d z 
d t 
dx 
dt 
∂ z 
∂ y = . + . 
∂ z 
∂ x 
dy 
dt 
∂ z 
∂ x = y + e
x y 
∂ z 
∂ y = x + e
x 
Regra da cadeia 
x = cos t e y = sen t 
 
 
 
 
 
 
 
 
d y 
d t = cos t 
= (y + ex y) . (- sen t) + (x + ex) . (cos t) 
 
d z 
d t 
d x 
d t = - sen t 
d z 
d t 
dx 
dt 
∂ z 
∂ y = . + . 
∂ z 
∂ x 
dy 
dt 
Regra da cadeia 
3) Determinar a taxa de variação de z em relação a t quando 
 t = 0, sendo z = ln (x + y), x = sen t e y = cos t 
 
 d z 
d t 
dx 
dt 
∂ z 
∂ y = . + . 
∂ z 
∂ x 
dy 
dt 
∂ z 
∂ x = 
 1 
x + y 
∂ z 
∂ y = 
 1 
x + y 
Regra da cadeia 
x = sen t e y = cos t 
 
 
 
 
 
 
 
 
d y 
d t = - sen t 
d x 
d t = cos t 
d z 
d t 
dx 
dt 
∂ z 
∂ y 
= . + . ∂ z 
∂ x 
dy 
dt 
= d z 
d t 
 1 
x + y 
 1 
x + y 
. (cos t) + . (-sen t) 
 
Regra da cadeia 
Para t = 0 
x = sen t e y = cos t 
x = sen0 = 0 e y = cos 0 = 1 
= 1. 1 + 1.0 = 1 
 
d z 
d t 
d x 
d t = cos 0 = 1 
∂ z 
∂ x = = 1 
 1 
x + y 
d y 
d t = - sen 0 = 0 
∂ z 
∂ y = = 1 
 1 
x + y 
Interatividade 
 A derivada parcial de em relação a x é: 
 
 x2 y3 + 3y z = 
a) fx = ½ ( x2 y3 + 3y) - ½ 
b) fx = ½ ( x2 y3 + 3y) ½ (2x) 
c) fx = ½ ( x2 y3 + 3y) -½ (2x y3) 
d) fx = ( x2 y3 + 3y) -½ (2x y3) 
e) fx = ½ ( x2 y3 + 3y) -½ (x2 3y2 +3) 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
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	 Função de várias variáveis
	 Domínio 
	 Domínio
	 Gráficos 
	 Gráficos 
	 Gráficos 
	 GráficosGráficos 
	 Gráficos 
	 Gráficos 
	 Curvas de nível
	 Curvas de nível
	 Curvas de nível
	 Curvas de nível
	 Interatividade 
	 Resposta
	 Limites
	 Limites
	 Limites
	 Limites
	Limites
	 Limites
	 Limites
	Continuidade 
	Continuidade 
	 Continuidade
	 Continuidade
	 Interatividade
	 Resposta
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Interatividade
	Resposta
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais
	Regra da cadeia
	Regra da cadeia
	Regra da cadeia
	Regra da cadeia
	Regra da cadeia
	Regra da cadeia
	Regra da cadeia
	Regra da cadeia
	Interatividade
	Resposta
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