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91 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Unidade II 3 AplicAções de derivAdAs pArciAis 3.1 primeiros exemplos de aplicações A pressão P(kPa), o volume V(l) e a temperatura T (kelvins) de 1 mol de gás ideal estão relacionados por meio da equação: P*V = 8,31*T. Com base nessas informações, determine: a) a taxa de variação da pressão em relação à temperatura quando o volume do gás for de 300 litros e a temperatura 800 k. Resolução Desejamos determinar a taxa de variação da pressão em relação à temperatura, ou seja, a derivada parcial da pressão; para isso, primeiro vamos isolar P na equação fornecida em nosso enunciado geral, depois vamos determinar a derivada parcial. P T V P T V T V P T P T V T V V P T P = => = ∂ ∂ = = ∂ ∂ 8 31 8 31 8 31 1 8 31 80 0 , ( , ) , ( , ) , * * , ( 00 300 8 31 800 300 8 31 300 0 02777 2 777 10 2 , ) , ( , ) , , , * / = = = = ° − V P kPa k Interpretação do resultado Quando o volume do gás for de 300 litros e a temperatura aumentar de 1°K, a pressão aumentará de 0,0277 kPa. b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume quando o volume do gás for de 300 litros e a temperatura 800 k. Temos que: 92 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II P T V P T V T V P V T V T V P = => = ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ − − 8 31 8 31 1 8 31 8 31 1 2 2 , ( , ) , * ( ) * , * * , VV ( , ) , * 800 300 8 31 800 3002 = − ≈ − =0,07387 -7,4*10-2 Interpretação do resultado Quando a temperatura do gás for de 800°k, a pressão diminui 0,074 Pa (ou 7 4 10 2, * − kPa) para cada litro. c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão quando a temperatura for de 800°k, sujeita à pressão de 200k Pa. Resolução Sabemos que P*V = 8,31*T: V T P V T P T P V P T P T P P = => = ∂ ∂ = − = − ∂ − − 8 31 8 31 1 8 31 8 31 1 2 2 , ( , ) , * * ( ) * , * * , ∂∂ = − ≈ − = V ( , ) , * 800 200 8 31 800 2002 0,1662 -1,662*10-1 Interpretação do resultado O volume de um gás, a 800°k, sujeito a uma pressão de 200 kPa, diminui de 0,1662 litros para cada 1 kPa de pressão. Exemplo de aplicação As latas de refrigerantes antigas eram feitas de aço e possuíam a forma de um cilindro circular reto, com altura de 12,5 cm, diâmetro interno de 6 cm e espessura de 0,1 cm. Se o custo do material era de 0,02 unidade monetária da época por cm3, determine por diferenciação o custo aproximado do aço que era usado na fabricação da lata. 93 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Resolução O volume de um cilindro circular reto, de volume V(cm3), raio r (cm) e altura h(cm), é V = πr2h. O volume exato de aço na lata é a diferença entre o volume de dois cilindros circulares retos, para os quais r = 3,1, h = 12,7 e r = 3, h = 12,5, respectivamente. ∆V é o volume exato de metal; mas, como queremos apenas um valor aproximado, devemos determinar dV. Figura 70 Sabemos que o volume depende do raio e da altura. Do conceito de diferencial total, temos que: dV V r dr V h dh= ∂ ∂ + ∂ ∂ . Logo, ∂ = ∂∂ = ∂ = ∂ ∂ =V V r rh e V V h r2 2pi pi . Substituindo ∂ = +V rh dr r dh2 2pi pi , temos: R = 3, h =12,5, dr = 0,1, dh = 0,2. ∂ = + ∂ = + = ≈ V V cm 2 3 12 5 0 1 3 0 2 7 5 18 9 3 29 22 2 3 pi pi pi pi pi * , * , , , , , , Logo, há aproximadamente 9 3 29 223 3, ,pi cm ou cm de aço. Como o custo do metal é de 2 centavos por cm3, temos que o custo é de aproximadamente 0,02*29,22 = 0,5844 centavos, ou seja, por volta de 0,59 unidade monetária da época. 94 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II saiba mais Para saber mais sobre diferencial de função de duas variáveis, consulte o capítulo 5 do link a seguir: LIMA, P. C. Diferenciabilidade de funções de duas variáveis. In: ______. Cálculo diferencial e integral III: EAD. Belo Horizonte: UFMG, [s. d.]. p. 47- 52. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~lima/apostilas/eadfinal2. pdf>. Acesso em: 2 set. 2013. 3.2 plano tangente Sabemos que equações do tipo y = a x + b definem retas em R2; por analogia, você pode concluir, caso não saiba, que z = m x + n y + c define planos em R3. Definição: Se f : A ⊂ R2 → R, sendo a função diferenciável no ponto (a, b) ∈ A, e A é um subconjunto aberto de R2, dizemos que o plano pode ser definido pela equação: f x y f a b f a b x x a f a b y y b( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )= + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ou f x y f a b f a b x a f a b y bx y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )= + − + − Trata-se do plano tangente ao gráfico da função f no ponto (a, b), ou, ainda: z z f x y x x x f x y y y y− = ∂ ∂ − + ∂ ∂ −0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) é o plano tangente ao gráfico da função f, no ponto (x0,y0). Lembre-se de que z0 = f(x0,y0) ou z0 = f(a,b). Plano tangente Superfície Figura 71 – Plano tangente à superfície em um ponto 95 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Exemplo Vamos calcular a equação do plano tangente à superfície de f x y x xy y( , ) = − −2 23 no ponto (1, 1). Primeiro, calculamos as derivadas parciais: ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − − f x y x x y e f x y y x y ( , ) ( , ) 2 3 3 2 e substituímos (x, y) por (1, 1). Obtemos: ∂ ∂ = − => ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ = − − f x y x x y f x e f x y y x y ( , ) ( , ) * * ( , ) 2 3 11 2 1 3 1 2 3 1 3 2 ==> ∂ ∂ = − − = − − = − f y ( , ) * * 11 3 1 2 1 3 2 5 Por outro lado, sabemos que f x x x xy y( , ) = − −2 23 . Logo: f( , ) * *11 1 3 1 1 1 1 3 1 32 2= − − = − − = − A equação do plano tangente é dada por: z z f x y x x x f x y y y y− = ∂ ∂ − + ∂ ∂ −0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) Assim, a equação procurada é resultante de: z f x f x f y y = + −( ) ( ) +∂∂ ∂ ∂ −1 1 1 11 11 1, ( , ) ( , ) ( ) z = 3+ (-1)*(x − 1) − 5(y − 1) z = 3 – x +1 – 5y +5 z = – x − 5y + 9. Logo, a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,1) é z = – x − 5y + 9. Exemplo Determine a equação do plano tangente à superfície de f x y x x y y( , ) = + −2 33 2 3 3 no ponto (2, -1,5). Resolução: Sabemos que ( , ) ( , ) ( , )x y a b0 0 2 1= = − e que 96 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II f x y f x y f a b x a f a b y bx y( ,) ( , ) ( , )( ) ( , )( )− = − + −0 0 é a equação do plano tangente a uma superfície no ponto ( , , )x y z0 0 0 . f(2,-1) = 5 é dado, mas também pode ser calculado substituindo x = 2 e y = –1 em f(x,y). Calculando as derivadas parciais, temos: f x xy e f x y yx y= + = −6 6 9 3 2 3 2 2 2 . Determinando os valores das derivadas parciais no ponto (2,–1), obtemos: f f f f x x x x ( , ) * * * ( ) ( , ) * * ( ) ( , ) 2 1 6 2 6 2 1 2 1 6 4 6 2 2 1 24 12 2 3 − = + − − = + − − = − (( , )2 1 12− = e f f f f y y y y ( . ) * ( ) * ( ) * ( ) ( . ) * ( . ) 2 1 9 2 1 3 1 2 1 9 4 3 2 1 36 3 2 2 2 − = − − − − = − − = − (( . )2 1 33− = A equação do plano é: f x y f x y f x y x a f x y y b f x y x x y( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) ( , ) ( = + − + − = + 0 0 0 0 0 0 5 12 −− + + = + − + + = + + 2 33 1 5 12 24 33 33 12 33 14 ) ( ) ( , ) ( , ) y f x y x y f x y x y 3.3 derivadas de funções compostas 3.3.1 Primeira regra da cadeia Considere a função z = f(x, y), onde x = x(t) e y = y(t), isto é, tanto x quanto y são funções de t. A derivada dessa função em relação a “t” é: Representação gráfica da regra da cadeia: z x t y t ∂ ∂ z x ∂ ∂ z y ∂ ∂ x t ∂ ∂ y t Z depende de x e y (tanto x quanto y também são funções); fazemos essa primeira associação gráfica colocando z um nível acima de x e y, isto é, vamos derivar z em função de x e também vamos derivar z em função de y. Em nosso modelo teórico, as funções x e y dependem de t. Logo, x e y estão um nível acima de t. Desejamos derivar z em função de t; há dois percursos para fazê-lo, um passando por x e chegando a t (isto é, derivando x em função de t), ou passando por y (isto é, derivando y em função de t). 97 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Algebricamente, temos: dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * Exemplo 1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 +3y -5, onde x(t) = et e y(t) = t3. Resolução Há duas formas de calcular as derivadas parciais: 1° modo A função pode ser reescrita em função de t, substituindo x e y pelas expressões das funções em relação a t. F(x,y) = x2 +3y -5; x(t) = et e y(t) = t3 => F(t) = e2t + 3t3 -5 Desse modo, temos F escrita em função de apenas uma variável t, derivando, temos: dF/dt = 2 e2t + 9t2 Observação Em muitos casos, ao fazermos a substituição, chegamos a expressões muito complexas, o que não foi o caso anterior. A seguir, vamos resolver o mesmo exemplo, de modo que não fazemos a substituição para resolver. Saiba que é comum, dada uma função complexa, quebrá-la em outras funções para facilitar a resolução. Vale lembrar que, para resolver problemas envolvendo taxa de variação, precisamos fazê-lo por derivadas. Para esses dois casos, na resolução usamos os procedimentos ilustrados nos exemplos a seguir. 98 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II 2° modo Retomamos as funções e calculamos as derivadas parciais necessárias para obter dF/dt: z x t y t ∂ ∂ z x ∂ ∂ z y ∂ ∂ x t ∂ ∂ y t F(x,y) = x2 + 3y -5 x(t) = e1 e y(t) = t3 dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * , temos que: ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = f x x f y dx dt e dy dt tt2 3 3 2; ; ; Cálculos feitos, substituímos em dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * , e temos que: dz dt x e tt= +2 3 3 2* * dz dt xe tt= +2 9 ² , mas x = et Logo, dz dt e e t e tt t t= + = +2 9 2 92² ² Exemplo 2 Se z x y= +2 2 , com x =3t + 3 e y = t2, determine: ∂ ∂ z t . Note que z x y e x t e y t= +( ) = + =2 2 12 23 3 . Resolução z x t y t ∂ ∂ z x ∂ ∂ z y dx dt dy dt Vamos, inicialmente, fazer a representação gráfica do que desejamos determinar: dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * Temos que determinar cada derivada parcial para depois substituir na equação anterior. Vamos aos cálculos: 99 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia ∂ ∂ = ∂ +( ) ∂ = +( ) ( ) = +( ) = + ∂ ∂ = ∂ −Z x x y x x y x x x y x x y Z y 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 xx y z x y y y x y y x y x t t 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 +( ) ∂ = +( ) ( ) = +( ) = + ∂ ∂ = ∂ + − ( )) ( ) ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =t e y t t t t3 2 2 Cálculos feitos, substituímos em dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * , e temos dz dt x x y y x y t= + + + + 2 2 2 2 3 2* * , mas x = 3t + 3 e y = t2; logo: dz dt t t t t t t t dz dt t = + + + + + + = + ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( 3 3 3 3 3 3 3 2 9 1 3 2 2 2 2 2 2 2 tt t t t t+ + + + +3 2 3 32 4 3 2 4) ( ) Exemplo 3 A pressão P (kPa), o volume V (l) e a temperatura T (°k) de 1 mol de gás ideal estão relacionados por meio da equação PV = 8,31 T. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo; quando a temperatura é de 800 k está aumentando numa taxa de 0,2 grau kelvin por segundo, e o volume, de 200 l, está aumentando numa taxa de 0,4 litro por segundo. Resolução P V t T t ∂ ∂ P V ∂ ∂ P T dV dt dT dt dP dt P V V t P T T t P T V P T V T V T V = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = => = = ∂ − * * , ( , ) , , * 8 31 8 31 8 31 1 PP V T V V T V T V P T T V ∂ = ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ = ∂ ∂ − − − ( , * ) , * , ; ( , * ) 8 31 8 31 8 31 8 31 1 2 2 1 TT T V V = = −1 8 31 8 310 1* , * , ; 100 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Sabemos, pelo enunciado, que: ∂ ∂ = ∂ ∂ = ° V t s e T t k s0 4 0 2, / , / Cálculos feitos, substituindo em dP dt P V V t P T T t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * , temos: dP dt V T T V V dP dt ( , ) , * , , * , ( , ) , * = − + = − 8 31 0 4 8 31 0 2 800 200 8 31 200 800 2 22 0 4 8 31 800 0 2 800 200 8 31 80 800 800 8 31 400 0 * , , * , ( , ) , * * , * , + = − + dP dt 11 800 200 0 001030875 0 0020775 800 200 0 0010 dP dt dP dt ( , ) , , ( , ) , = − + = 446625 1 046625 10 3= −, * /kPa s Interpretação do resultado A pressão cresce aproximadamente a 0,001 kPa a cada 1 segundo. Exemplo 4 A tensão média V (volts), ou voltagem, de um circuito elétrico diminui com o tempo (segundos)numa taxa de 0,2 v/s, devido ao desgaste da bateria. A resistência R (ohms Ω) aumenta numa taxa de 0,6 Ω/s, devido ao aquecimento do resistor. Use a Lei de Ohm V = IR para encontrar a taxa de variação da corrente / (amperes) em relação ao tempo, no instante em que R = 300Ω e I = 0,1 A. Resolução / V t R t ∂/ ∂V dV dt ∂/ ∂R dR dt I V R V R Logo I V R V R V R dI dt I V V t I R R t ( , ) , ( , ) * * * = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ −1 101 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = − = − − − I V V R V V R R I R VR R V R V R 1 1 1 0 1 2 2 * ; ( ) ( ) * * Sabemos, pelo enunciado, que: ∂ ∂ =− ∂ ∂ = V t v s e R t s0 2 0 6, / , /Ω Cálculos feitos, substituindo em dI dt I V V t I R R t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * , temos: dI dt R V R = − + − 1 0 2 0 62* ( , ) * , Note que, quando I = 0,1A e R = 300Ω, como V = I *R => V = 0,1*300 => V = 30 volts. dI dt dI dt = − + − = − + − 1 300 0 2 30 300 0 6 0 2 300 18 90000 2* ( , ) * , , = − dI dt I s0 00087, / Interpretação do resultado A corrente decai de aproximadamente 0,00087 ampere a cada segundo, quando a corrente é de 0,1ª e a resistência é de 300Ω. Generalização da primeira regra da cadeia Seja w uma função de n variáveis, ou seja, w f x x xn= ( , , ... , )1 2 , e cada uma dessas n variáveis é função de t; então, w = F(t) e dw dt w x x t w x x t w x x tn n = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂1 1 2 2* * ... * A seguir, apresentaremos a segunda regra da cadeia. 102 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II 3.3.2 Segunda regra da cadeia Representação gráfica da regra da cadeia: z z y s st t ∂z ∂x ∂x ∂s ∂x ∂t ∂y ∂s ∂z ∂y ∂y ∂t Considere a função z = f(x,y), onde x = g(s,t) e y = h(s,t). Então, z = F(s,t); pois z = f(g(s,t), h(s,t)) = F(s,t). Desse modo, z possui derivadas parciais em relação a s e em relação a t, dada por: dz ds z x x s z y y s = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * e dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * Z depende de x e y (tanto x quanto y também são funções); fazemos essa primeira associação gráfica colocando z um nível acima de x e y, isto é, vamos derivar z em função de x e também z em função de y. Em nosso modelo teórico, as funções x e y, ambas dependem de s e t. Logo, x e y estão um nível acima de s e de t. Desejamos derivar z em função de t e z em função de s. Inicialmente, há dois caminhos para sair de a e chegar até x e y; continuando o percurso para chegar até s e t, existem quatro caminhos possíveis. Vamos descrever os caminhos possíveis para derivarmos z em relação a s. Primeiro, derivamos z em x ∂ ∂ z x , depois x em s ∂ ∂ x s ; na sequência, derivamos z em função de y ∂ ∂ z y e depois y em s ∂ ∂ y s . Analogamente, descrevemos os caminhos possíveis para derivarmos z em relação a t. Primeiro, derivamos z em x ∂ ∂ z x , depois x em t ∂ ∂ x t ; na sequência, derivamos z em função de y ∂ ∂ z y e depois y em t ∂ ∂ y t . Algebricamente, temos: dz ds z x x s z y y s e dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * * * Generalização da primeira regra da cadeia Seja w uma função de n variáveis, ou seja, w f x x xn= ( , , ... , )1 2 , e cada uma dessas n variáveis é função a n outras variáveis; então, x g t t tj m= ( , , ...., ).1 2 w F t t tm= ( , , ..., )1 2 e dw dt w x x t w x x t w x x ti i i n n i = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂1 1 2 2* * ... * , para todo i = 1, 2, ..., m. 103 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Exemplo de aplicação Se z x y com x r e e y ret t= = = +− 2 2 4 2; , determine: a) ∂ ∂ z r ; b) ∂ ∂ z t . Resolução z x y r rt t ∂z ∂x ∂x ∂r ∂x ∂t ∂y ∂r ∂z ∂y ∂y ∂t Algebricamente, temos: dz dr z x x r z y y r e dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ * * * * a) dz dr z x x r z y y r = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂( ) ∂ = − = − ∂ ∂ − − z x x y x x y z y x y y x y x y x 2 2 1 2 2 2 2 2 1 * ( ) * * rr r e r re e y r re r e t t t t = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ + ∂ = − − ( ) ( ) 2 2 4 2 2 Contas feitas, substituímos em: dz dr x y re x y et t= + − − 2 2 2 2 2* * , substituindo x r e e y re t t = = +−2 4 2 , temos: 104 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II dz dr r e re re r e re e dz dr r e t t t t t t t = + + − + = − − − − 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 * ( ) ( ) * , ** ( ) ( ) * ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 4 re re r e e re dz dr r e re r t t t t t t t − − − + − + = + − ee re t t − +2 2 2( ) b) dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂( ) ∂ = − = − ∂ ∂ − − z x x y x x y z y x y y x y x y x 2 2 1 2 2 2 2 2 1 * ( ) * * tt r e t r e r e e y t re t re t t t t t = ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ = ∂ + ∂ = − − − ( ) * ( ) 2 2 21 4 2 2 Contas feitas, substituímos em dz dt z x x t z y y t = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂* * dz dt x y r e x y ret t= − + − − 2 22 2 2* ( ) * , substituindo x r e e y re t t = = +−2 4 2 , temos: dz dt r e re re r e re re dz dt r t t t t t t = + − + − + = − − −2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 * ( ) ( ) ( ) * , ee r e re r e re re dz dt r e t t t t t t t − − − − − + − + = − * ( ) ( ) ( ) * ( ( )) 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 22 2 2 5 2+ − + − re r e ret t t( ) 105 M AT - R ev is ão: A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia 3.4 derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis Uma função encontra-se na forma implícita quando não está resolvida para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo: y = f(x), z = f(x,y). Na forma implícita, seria f(x,y) = 0, f(x,y,z) = 0 etc. A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y) = 0 em relação a x é ∂ ∂ + ∂ ∂ = → ∂ ∂ + ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − f x dx dx f y dy dx f x f y dy dx ou dy dx f x f y fx fy 0 0 Exemplo 1 Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 = 0 Resolução Sabemos que dy dx f x f y fx fy = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − . Logo: dy dx f x f y x y = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − 4 15 2 Para mais de duas variáveis, F(x,y,z) = 0. Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, após algumas considerações, teremos: ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − z x f x f z f f e z y f y f z f f x z x z / / / / Exemplo 2 Determinar as derivadas parciais ∂ ∂ ∂ ∂ + − = z x e z x para x y z2 3 0 ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = z x f x f z x x z y f y f z y y / / / / 2 1 2 3 1 3 2 2 106 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II saiba mais Para saber mais sobre funções implícitas, consulte: ANDRADE, D. O teorema da função inversa e da função implícita. Maringá, [s. d.]. Disponível em: <http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/ arquivos_pdf/inversa.pdf>. Acesso em: 2 set. 2013. BALBO, A. R. Derivada implícita e diferenciais. Bauru, 2007. Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadaimplicitaediferenciais. pdf>. Acesso em: 2 set. 2013. 3.5 derivadas de ordem superior Derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de primeira ordem. No entanto, deve-se observar que, para uma função de duas variáveis, existirão duas derivadas de segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de f são dadas por: ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 f x x f x ou f fxx x x= ( ) ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 f y y f y ou f fyy y y= ( ) ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 2f y x y f x ou f fxy x y= ( ) ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 2f x y x f y ou f fyx y x= ( ) Derivando duas vezes em relação a x. Derivando duas vezes em relação a y. Derivando primeiro em relação a x e depois em relação a y. Derivando primeiro em relação a y e depois em relação a x. Derivadas puras Derivadas mistas Atenção à notação!! Note que ∂ ∂ ∂ ∂ = ( )y f x fx y , isto é, ∂ ∂ ∂ = 2f y x fxy . Exemplo 6.1 Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem da função f x y xy xy x,( ) = + + +3 25 2 1. Solução Mantendo y constante, vamos derivar duas vezes em relação a x. f f x y x x y x x x x y yx = ∂ ∂ = ∂( ) ∂ + ∂( ) ∂ + ∂( ) ∂ + = + + 3 2 3 25 2 0 5 2 . 107 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Como vemos, o resultado da primeira derivada em relação a x está em função de y, que é constante. Portanto, ao derivar pela segunda vez: f z x xx = ∂ ∂ = 2 2 0 Mantendo x constante, vamos derivar duas vezes em relação a y. f f y x y y x y y x y y xy xy y y y = ∂ ∂ = ∂( ) ∂ + ∂( ) ∂ + ∂( ) ∂ + ∂( ) ∂ = + 3 2 2 0 0 5 2 1 3 10 Como vemos, o resultado da primeira derivada em relação a y está em função de x, que é constante. Portanto, ao derivar pela segunda vez: f xy xyy = +6 10 Analogamente, ao derivar fx em função de y, temos: f y yxy = +3 10 2 E, ao derivar fy em função de x, temos: f y yyx = +3 10 2 . Nota As derivadas parciais de segunda ordem fxy e fyx são chamadas de derivadas parciais mistas de f. Observe que as derivadas parciais mistas calculadas no exemplo anterior são iguais. Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas parciais mistas de uma função f(x,y) são iguais. Exemplo de aplicação 1) Encontre as equações das retas tangentes às curvas de interseção entre a superfície z x y= − −16 4 2 2 e os planos y = 2 e x = 1 no ponto (1,2,8). a) Interseção entre a superfície z x y= − −16 4 2 2 e o plano y = 2 A equação da curva formada pela interseção do plano y = 2 com a superfície é: z x z x= − − → = −16 4 2 12 42 2 2 A curva de interseção é uma parábola no plano xz. A reta tangente a essa parábola no ponto P x y z P( , , ) ( , , )0 0 0 12 8= está, então, contida no plano xy e sua equação é dada na forma: z z m x x e y y= + − =0 1 0 0( ) 108 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II O coeficiente angular (m1) da reta tangente é o valor de ∂ ∂ z x , quando x = 1 e y = 2. ∂ ∂ = − → ∂ ∂ = = − = − = + − = + − − z x x y x z x m z z m x x x ( , ) ( , ) . ( ) ( )( 8 12 8 1 8 8 8 1 1 0 1 0 )) = − + = − +8 8 8 8 16x x Equação da reta: z x e y= − + =8 16 2 b) Interseção entre a superfície z x y= − −16 4 2 2 e o plano x = 1 A curva formada pela interseção do plano x =1 com a superfície é a parábola z = 12 -y2 no plano yz. O coeficiente angular (m2) da reta tangente a essa parábola no ponto (1,2,8) é o valor de ∂ ∂ z y , quando x=1 e y = 2. ∂ ∂ = − → ∂ ∂ = = − = − z y x y y z y m( , ) ( , ) .2 12 2 2 42 A reta tangente está contida no plano yz e sua equação é da forma z z m y y y y y= + − = + − − = − + = − +0 0 8 4 2 8 4 8 4 16( ) ( )( ) . Equação da reta: z y e x= − + =4 16 1 2) Encontre a equação da reta contida no plano y = 2 e tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de z = x2 + y2 com o plano y = 2 no ponto (2,2,8). Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano y = 2 m z x x z x1 2 2 8 2 2 4= ∂ ∂ = → ∂ ∂ = =( , ) . Equação da reta: z z m x x x x x z x e y = + − = + − = + − = = = 0 0 8 4 2 8 4 8 4 4 2 ( ) ( ) Encontre a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico 2 4 6 02 2x y z+ − = , no ponto P = (5, 1, 9). Resolução: Para resolver essa questão, usaremos a equação do plano tangente, vista a seguir: z z f x y x x f x y y yx y− = − + −0 0 0 0 0 0 0( , ) * ( ) ( , ) * ( ) . 109 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Primeiro, definiremos nos pontos os valores para x y z x y z0 0 0 0 0 0, , , ,( ) . Sabemos que o ponto x y z x y z 0 0 0 0 0 05 19 5 1 9 , , ( , , )( ) = => = = = Agora, devemos isolar z na equação. Logo: 2 4 6 0 2 4 6 2 4 6 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z z x y z x y + − = + = = + = + Isolamos o z. Portanto, continuaremos a resolver o exercício. O próximo passo é definir quem são os termos na equação do plano tangente. Para que possamos organizar o passo a passo de resolução do exercício, devemos determinar as derivadas parciais nos pontos (5,1,9), isto é, f x y f i f x y f ii f x y f x x y y x ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 2 2 5 1 5 1 3 2 3 = = = + => xx x x y y x f f i e f x y f y = => = => = = + => = => 2 3 5 1 2 5 3 5 1 10 3 3 2 3 4 3 2 2 ( , ) * ( , ) ( ) ff f iiy y( , ) * ( , ) ( )5 1 4 1 3 5 1 4 3 = => = Vamos substituir (i) e (ii) na equação do plano tangente. z z f x y x x f x y y y z x y x y− = − + − − = − + − 0 0 0 0 0 0 0 9 10 3 5 4 3 ( , ) * ( ) ( , ) * ( ) * ( ) * ( 11 10 3 50 3 4 3 4 3 9 10 3 4 3 9 ) z x y z x y = − + − + = + − O valor -9 é resultado da soma de frações − − + = − = − 50 3 4 3 9 1 27 3 9. 110 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Logo, a equação do plano tangente é: z x y = + − 10 3 4 3 9. A seguir, apresentamos a representação gráfica do plano tangente ao paraboloide elíptico 2 4 6 02 2x y z+ − = , no ponto P = (5, 1, 9). z = xx/3+2yy/3 z = 10x/3 (x,y,z) = (5,1,9) x y z Figura 72 Dada a função 2 2 22 2x y z+ = , determinar a equação do plano tangente em P = (1, -2, 5) e representá-la graficamente. Resolução: A equação no plano tangente é dada por: z z fx x y x x fy x y y y− = − + −0 0 0 0 0 0 0( , ) * ( ) ( , ) * ( ) . O primeiro passo é isolar o z: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z + = + = Simplificando: x y z2 2+ = . 111 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia O segundo passo é determinar as derivadas parciais em x e em y. x y z f x y x y f x y x f f ex x x 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 + = => = + = => − = => − = ( , ) ( , ) ( , ) * ( , ) ff x y y f fy y y( , ) ( , ) * ( ) ( , )= => − = − => − = −2 1 2 2 2 1 2 4 Devemos, agora, substituir as informações desenvolvidas até aqui na equação do plano tangente: z z f x y x x f x y y y z x y x y− = − + − − = − + − − 0 0 0 0 0 0 0 5 2 1 4 ( , ) * ( ) ( , ) * ( ) * ( ) ( ) * ( (( )) ( ) * ( ) − − = − + − + − = − − − − = − − = − − 2 5 2 2 4 2 5 2 2 4 8 5 2 10 4 2 4 z x y z x y z x y z x y 110 5 2 4 5 + = − −z x y . Veja a representação gráfica da superfície com seu plano tangente em P = (1, - 2, 5). z = x^2+y^2 z = 2x-4y-5 (x,y,z) = (1,-2,5) x y z Figura 73 A construção de gráficos usando recurso computacional de plano tangente será demonstrada no capítulo 5. 112 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II 3.6 derivada direcional e vetor gradiente 3.6.1 Vetor gradiente Se f for uma função de duas variáveis x e y e se as derivadas parciais fx e fy existirem, então, o gradiente de f, denotado por ∇f (∇f: leia “del de f” e o símbolo ∇) é o operador nabla. Definição: ∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) Interpretação O vetor gradiente é o vetor que tem como coordenadas as derivadas parciais da função em estudo. Exemplo Se f(x, y) = 2x2 +3xy + 3y2, então, para calcularmos o gradiente de f no ponto (2, 1), isto é, ∇f(2, 1), primeiro calculamos as derivadas parciais fx e fy. Lembre-se: para determinar fx, derivo f considerando x variável e y constante. E, para determinar fy, derivo f considerando x constante e y variável. Vamos calcular as derivadas parciais: em x: fx(x, y) = 4x + 3y; em y: fy(x, y) = 3x + 6y. Aplicando as derivadas no ponto (2,1): fx(2, 1) = 8 + 3 = 11 e fy(2, 1) = 6 + 6 = 12 Logo: ∇f(2, 1) = (fx(2, 1), fy(2, 1)) = (11, 12) 3.6.2 Interpretação geométrica do vetor gradiente Dada uma superfície em R3, formada pelos pontos (x, y, f(x, y)), considerando uma curva de nível genérica dessa superfície (tal curva estará no domínio da função f), o vetor gradiente será perpendicular a tal curva de nível, estará contido no plano xy e apontará no sentido e na direção em que a função tem a taxa máxima de variação. 113 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Em síntese, o vetor gradiente é sempre perpendicular a uma curva de nível (as curvas de nível estão plano xy) e indicará a direção e o sentido em que a função tem taxa máxima de variação. Expansão do conceito: Se f for uma função de três variáveis x, y, z e se as derivadas parciais fx, fy, fz existirem, então, o gradiente de f, denotado por ∇f, é definido por: ∇f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) Exemplo O gradiente de f(x, y, z) = 5xyz + 2x2y2 + 3z-1 é: ∇f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) = = (5yz + 4xy2, 5xz + 4x2y, 5xy - 3z-2) 3.6.3 Derivada direcional Duf (x,y) A derivada direcional permite determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção. Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivada direcional na direção e no sentido de qualquer versor u: Duf x y f x y u ou Duf x y f x y f x yx y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= ∇ ⋅ = ⋅ u Para determinarmos a derivada direcional, precisamos: 1) calcular o vetor gradiente da função em ( , )x y0 0 ; 2) encontrar o versor u; 3) determinar o produto escalar (ou interno) entre o gradiente e o versor. Atenção: 1) Se o versor u faz um ângulo θ com o eixo x, então podemos escrever u = (cosθ, senθ), assim: Duf x y f x y f x y sen f x y fx y x y( , ) ( , ), ( , ) . cos , ( , ).cos0 0 0 0 0 0 0 0= = +θ θ θ (( , ).x y sen0 0 θ 114 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II 2) Se o versor u = (a, b), então: Duf x y f x y f x y a b f x y a f x y bx y x y( , ) ( , ), ( , ) . , ( , ). ( , ).0 0 0 0 0 0 0 0 0 0= = + 3) Se u não é versor, então, temos que determinar o versor de u. Consideramos que w seja o versor de u, logo: w u u onde u x y= = +, 2 2 3.6.4 Maximização da derivada direcional Caso você precise saber em qual das direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de variação, o que fazer? A resposta será dada por um teorema. Seja f uma função de duas variáveis diferenciáveis no ponto P. 1) O máximo da derivada direcional em um ponto é dado pelo módulo do vetor gradiente em P, ou seja: ∇f x y( , )0 0 . 2) O máximo da taxa de crescimento de f em P ocorre na direçãodo ∇f. lembrete 1) Devemos observar que î e jˆ são representações dos vetores i e j → → . Desse modo, o ∇ = ∂∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂f x y f x f y f x f y j( , ) ( , ) î ^ . Devemos nos habituar a diferentes formas de representação matemática. 2) Revisitando conceitos de vetores, versores e módulo de um vetor: Se u é versor de v , então, u = 1, ou seja, seu comprimento mede uma unidade. Lembrando que o versor de um vetor é sempre unitário. Como determinar o versor u de um vetor: u v v = , vale lembrar que v x y= +2 2 ; isso se �v ∈ 2. Se v R∈ ³ , então: v x y z= + +² ² ² . 115 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Exemplo de aplicação 1) Determine o vetor gradiente (∇f) da função f x y x y sen x y( , ) ln( ) ( )= + +3 . Resolução: Temos que ^∇ = ∂∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂f x y f x f y f x y x f x y y j( , ) ( , ) ( , ) ( , ) î A resolução é decorrente da determinação das derivadas parciais da função. ∂ ∂ = + + ∂ ∂ = + + ∂ ∂ = + f x x y x y f x x y x y e f y x y 3 1 3 1 2 2 3 * ln cos( ) * ln cos( ) * cos(( ) * cos( ) x y f y x y x y + ∂ ∂ = + + 1 3 Contas feitas, devemos substituir na expressão do gradiente: ^∇ = ∂∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = + f x y f x f y f x y x f x y y j f x y x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ln î 3 2 ccos( )) ( cos( ))x y i x y x y j+ + + + → →3 2) Dada a função: f x y x xy y( , ) = − +2 2 4 , no ponto (2,3), com direção v = ( , ) 2 2 1 2 . Resolução: Precisamos determinar Duf fx fy u ( , ) ( , ); ( , ) *2 2 2 2 2 2− =< − − > É dada a função f x y x xy y( , ) = − +2 2 4 , um ponto (2, -2) e a direção na qual desejamos calcular a derivada direcional, na direção do vetor v = ( , ) 2 2 1 2 . Na prática, precisamos primeiro determinar as derivadas parciais no ponto (2, 2), isto é, fx(2,-2) e fy(2,-2). 116 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II f x y x xy y f x y f f f x f x x xp y y ( , ) ( , ) * * . ( = − + = − − = − − = = − + 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 4 22 2 2 2 4 0 , ) * . − = − + =fyp Agora, você já sabe que a derivada direcional deve ser calculada na direção de um versor, um vetor de tamanho um. Logo, precisamos verificar o tamanho do vetor v . Se o módulo do vetor v for 1, significa que v já é um versor; se isso ocorrer, fazemos v u= . Caso contrário, isto é, o módulo de v seja diferente de 1, precisamos determinar o versor u , que é obtido pela conta u v v = . v v v v = + = + = = ≠ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 2 Como o módulo do vetor não é unitário, temos que determinar o versor. u v v u u = = = ( ; ) ( ; ) * 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 3 117 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Multiplicando os valores e racionalizando, temos o versor que iremos usar na equação da derivada direcional. u = ( ; ) 6 3 3 3 Já temos os valores das derivadas em relação às variáveis e também o valor do versor. Podemos, então, calcular a derivada direcional para este exercício. Duf fx fy u ( , ) ( , ); ( , ) *2 2 2 2 2 2− =< − − > Substituindo o que temos de informações na equação anterior: Duf Duf Duf ( , ) ; * ; ( , ) ( , ) . 2 2 8 0 6 3 3 3 2 2 8 6 3 0 2 2 8 6 3 − =< > < > − = + − = 3) A função dada é f x y x xy y( , ) = − +2 6 83 2 , a direção θ pi= 4 e o ponto p = (1,2). Resolução: (x,y) = cosθ, senθ) y xθ Figura 74 Sabemos que um ângulo pode fornecer uma direção, tornando fácil escrever um versor dado certo ângulo, pois u sen= (cos , )θ θ . Queremos determinar a derivada direcional no ponto (1,2), isto é, Duf x y fx x y fy x y sen D f f u D u u ( , ) ( , ) * cos ( , ) * ( , ) ( , ) * = + = ∇ θ θ 12 12 ff f f senx y( , ) ( ( , ), ( , )) * (cos , )12 12 12 4 4 = pi pi 118 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Vamos às contas: derivando a função nas variáveis x e y. Dada f x y x xy y( , ) = − +2 6 83 2 f x y f x y f f f f x y xp yp xp yp = − = − + = − = − + = − = − 6 6 6 16 6 1 6 2 6 1 16 2 6 12 6 2 2* * * * ++ = − = 32 6 26f fxp yp. . O próximo passo é substituir os dados que calculamos, em: D f f f sen Duf x y fx x y u x y ( , ) ( ( , ), ( , )) * (cos , ) ( , ) ( , ) 12 12 12 4 4 = = pi pi ** cos ( , ) * ( , ) ( , ) * cos ( , ) * θ θ pi pi + = + fy x y sen Duf fx fy sen D 12 12 4 12 4 uuf sen Duf Du ( , ) ( * cos ) ( * ) ( , ) ( * ) ( * ) 12 6 4 26 4 12 6 2 2 26 2 2 = − + = − + pi pi ff Duf ( , ) ( ) ( ) ( , ) . 12 3 2 13 2 12 10 2 = − + = O resultado da derivada direcional na direção θ pi= 4 , no ponto P = (1,2), é, portanto,Duf ( , ) .12 10 2= 4) Dada a função f x y x y y( , ) = −3 42 3 2 , o ponto p = (2,1) e o vetor v i j= +2 3 . Resolução: Vamos derivar a função em relação às variáveis x e y, já aplicando no ponto p. f x y x y y f x y f x y y f f x y xp yp ( , ) * * * * * * * = − = = − = = 3 4 6 3 2 8 6 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 −− = = 8 1 12 16 * f fxp yp 119 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Verificar se o vetor v é unitário, lembrando que o vetor v i j= +2 3 . Determinando o módulo do vetor: v v v = + = + = 2 3 4 9 13 2 2 . Como v não é versor, vamos determinar o versor u do vetor v , pois a derivada direcional é obtida pelo gradiente de uma função num ponto com o produto interno de um versor. u v v u i j u = = + = < > 2 3 13 2 13 3 13 , . Agora que temos o versor, podemos determinar a derivada direcional Duf x y ( , ) . Duf x y f x y fy x y ux ( , ) ( , ); ( , ) *= < > Substituindo as informações de fx, fy e o versor u: Duf fx fy u Duf D ( , ) ( , ); ( , ) * ( , ) ; * ; 2 1 2 1 2 1 2 1 12 16 2 13 3 13 = < > = < > < > uf Duf ( , ) ( , ) 2 1 24 13 48 13 2 172 13 = + = Racionalizando o resultado da derivada direcional, temos: Duf = = 72 13 13 13 72 13 13 * 120 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II O resultado final, portanto, é: Duf Duf ( , ) ( , ) . 2 1 24 13 13 48 13 13 2 1 72 13 13 = + = 5) Determinar o vetor gradiente ∇f, a partir da função f x y x xy( , ) = −2 22 , e esboce-o num gráfico. a) No ponto p(1,2) Resolução: Devemos determinar as derivadas parciais da função em x e em y. Representamos a derivada parcial em x na direção i e a derivada parcial em y na direção j. ∇ = − −f x y i x j( ) ( )4 2 2 Aplicando o ponto p(1, 2), temos: ∇ = − − ∇ = − − ∇ = − ∇ f i j f i j f i j f ( , ) ( * * ) ( * ) ( , ) ( ) ( , ) ( 12 4 1 2 2 2 1 12 4 4 2 12 0 2 112 2, ) .= − j x y 1 1 2 3 2 ∇f(1,2) P(1,2) Q(2,4) 3 4 PQ v u ru r = Figura 75 – Representação gráfica do vetor e do gradiente da função em (1,2) b) Determinar a derivada direcional da função em P(1,2), na direção do vetor PQ u ru para Q(2,4), dados dois pontos. 121 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Resolução: Para representar o vetor PQ u ru , devemos fazer uma subtração do (Q – P), veja como: r u ru r r r r v PQ v Q P v v v i j = = − = − = − − = + ( , ) ( , ) ( , ) . 2 4 12 2 14 2 1 2 Para determinar a derivada direcional, necessitamos do verso de v . O vetor unitário com a direção de v será: u v v = u i j u i j u i j = + + = + = + 2 1 2 2 5 1 5 2 5 2 2 Após encontrarmos o versor e o vetor gradiente, podemos determinar a derivada direcional. Duf f u Duf j i j ( , ) ( , ) * ( , ) ( ) * ( ) 12 12 12 2 1 5 2 5 = ∇ = − + Devemos lembrar que o vetor gradiente resultou em 0 2i j− . Portanto, Duf i j i j Duf Duf ( , ) ( ) * ( ) ( , ) ( , ) . 12 0 2 1 5 2 5 12 0 4 5 12 4 5 = − + = − = − 122 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Exemplo de maximização da derivada direcional Vale lembrar que: Duf x y f ( , )max = ∇ . A função dada é f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 . a) Encontrar a direção segundo a qual f(x,y) cresce no ponto P(1,2) e determinar a taxa máxima de crescimento de f em P. Para resolver esta parte do exercício, devemos encontrar o vetor gradiente. ∇ = +f x y xi yj( , ) 4 4 Aplicando o ponto P(1,2): ∇ = + ∇ = + f f i j ( , ) * * ( , ) . 12 4 1 4 2 12 4 8 P(1,2) ∇f(1,2) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 y x -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figura 76 – Representação do gradiente de f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 no ponto A taxa máxima de aumento de f no ponto P(1,2) Para definir qual a maximização da função no ponto, devemos calcular o módulo do gradiente da função. Veja: ∇ = +f i j( , )12 4 8 123 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia ∇ = + ∇ = + ∇ = = = ∇ = f f f f ( , ) ( , ) ( , ) * * * * ( , ) * 12 4 8 12 16 64 12 80 4 4 5 4 4 5 12 2 2 2 22 5 12 4 5 * ( , ) .∇ =f Logo, a taxa máxima de aumento de f no ponto P(1,2) será 4 5 . b) A figura a seguir representa a superfície f x y x y( , ) = + +2 2 22 2 , ou seja, um paraboloide circular, o ponto P(1,2) e o vetor ∇ = +f i j( , ) .12 4 8 Sendo que o ponto P(1,2) e o vetor ∇ = +f i j( , )12 4 8 estão representados no plano x, y; já o ponto Q estará representado na superfície. Desenvolvimento: O ponto Q na superfície é correspondente a P, e será obtido por Q f z= ( , , )12 0 . Calculando z0. z f ou seja z z 0 0 2 2 0 12 2 2 1 2 2 2 2 8 12 = = + + = + + = ( , ), , * ( ) * ( ) Logo, Q = (1,2,12). Se movermos um ponto no plano xy passando por P na direção do ponto ∇f(1,2), o ponto Q correspondente ao gráfico descreve uma curva C de máximo aclive no paraboloide. 4 MÁXiMOs e MÍNiMOs de FUNções de dUAs vAriÁveis 4.1 conceituando pontos de máximo, de mínimo e de sela Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais é encontrar seu ponto de máximo ou de mínimo. Por exemplo: encontrar a máxima produção de uma firma com um dado orçamento ou entre as possíveis combinações de consumos encontrar aquela que permite obter certo nível de produção com o menor custo. 124 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II lembrete Vale lembrar que, para determinar os pontos críticos de função de uma variável, devemos realizar a derivada primeira e igualar a função a zero. Ao resolver a equação resultante, você terá os candidatos a pontos críticos. Seja f uma função de duas variáveis definida em uma região que contém (x0,y0). O número f (x0,y0) é um máximo relativo de f se existe uma região circular R centrada em (x0,y0), tal que f(x,y) < f(x0,y0), f(x0,y0) é um máximo relativo para todo par (x,y) em R. E o número f(x0,y0) é um mínimo relativo de f se existe uma região circular R centrada em (x0,y0), tal que f(x,y) > f(x0,y0), para todo par (x,y) em R. P Q S T L F(x,y) Os pontos P e Q são pontos de máximo, porque qualquer deslocamento em sua vizinhança irá descer. O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce. Figura 77 Descobrir um ponto de máximo ou de mínimo pode exigir o conhecimento do gráfico de f e, para isso, existem teoremas que nos auxiliam nesse sentido. Teorema 5.1 “Seja f uma função a duas variáveis x e y, e seja (x0,y0) um ponto interior ao domínio de f. Se (x0,y0) for um ponto de máximo ou de mínimo e se existirem fx e fy, então fx(x0,y0) = 0, e fy(x0,y0) = 0.” Portanto, os pontos que anulam simultaneamente as derivadas fx e fy são chamados pontos críticos de f. 4.2 determinando pontos de máximo, de mínimo e de sela Exemplo 1 Seja f(x,y) = x2 +y2 -2x+1. Os possíveis pontos de máximo ou de mínimo são aqueles para os quais fx = 0 ou fy = 0. Então, fx = 2x -2 fy = 2y 125 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Solução: Fazendo 2x - 2 = 0 e 2y = 0, temos x = 1 e y = 0, que é o ponto (1,0). O teorema 3.1 assegura-nos que, se f tiver um ponto de mínimo ou de máximo, este só poderá ser o ponto (1,0). Exemplo 2 Seja f(x,y) = x2 + y2 - 2x - 2y + xy.Os possíveis pontos de máximo ou de mínimo são aqueles para os quais fx = 0 e fy = 0. Então, fx = 2x - 2 + y e fy = 2y - 2 + x. Igualando a zero essas derivadas parciais, temos: 2 2 0 2 2 0 x y y x − + = − + = cuja solução é o ponto 2 3 2 3 , . Vamos à resolução: Primeiro, isolaremos y na primeira equação do sistema. 2x - 2 + y = 0 => y = 2 - 2x, vamos substituir essa expressão encontrada para y na segunda equação do sistema, ou seja, em 2y - 2 + x = 0. Logo, temos: 2 2 2 2 0 4 4 2 0 3 2 2 3 * ( )− − + = => − − + = => − = − => =x x x x x x Vamos substituir o valor de x em y = 2 - 2x, temos y y= − => = − =2 2 2 3 6 4 3 2 3 . Conforme anunciamos, 2 3 2 3 , é ponto crítico de f x y x y x y xy,( ) = + − − +2 2 2 2 . O teorema 2 assegura-nos que, se f tiver um ponto de mínimo ou de máximo, este só poderá ser o ponto 2 3 2 3 , , uma vez que foi o único ponto crítico encontrado. A seguir, apresentamos uma tabela pela qual você pode avaliar numericamente e indicar o fato que 2 3 2 3 , é pelo menos um mínimo relativo da função. 126 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Tabela 6 YX 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,50 -1,2500 -1,2725 -1,2900 -1,3025 -1,3100 -1,3125 -1,3100 0,55 -1,2795 -1,2925 -1,3075 -1,3175 -1,3225 -1,3225 -1,3175 0,60 -1,2900 -1,3075 -1,3200 -1,3375 -1,3300 -1,3275 -1,3200 0,65 -1,3025 -1,3175 -1,3275 -1,3325 -1,3325 -1,3275 -1,3175 0,70 -1,3100 -1,3225 -1,3300 -1,3225 -1,3300 -1,3225 -1,3100 0,75 -1,3125 -1,3225 -1,3275 -1,3275 -1,3225 -1,3125 -1,2975 0,80 -1,3100 -1,3175 -1,3200 -1,3175 -1,3100 -1,2975 -1,2800 0,85 -1,3025 -1,3075 -1,3075 -1,3025 -1,2925 -1,2775 -1,2575 0,90 -1,2900 -1,2925 -1,2900 -1,2825 -1,2700 -1,2525 -1,2300 0,95 -1,2795 -1,2725 -1,2675 -1,2575 -1,2425 -1,2225 -1,1975 1,00 -1,2500 -1,2475 -1,2400 -1,2275 -1,2100 -1,1875 -1,1600 O interior da tabela fornece-nos os valores de f x y( , )0 0 . Quando ( , ) ( , )x y0 0 2 3 2 3 → , selecionamos em azul os valores mínimos da tabela, esses valores são mínimos locais da função. A seguir, mostraremos graficamente que a função tem apenas um valor mínimo. Logo, esse mínimo é global. x y z Figura 78 – Representação gráfica de f x y x y x y xy,( ) = + − − +2 2 2 2 Mais adiante, aprenderemos a classificar algebricamente se o ponto crítico encontrado, no caso deste exemplo 2 3 2 3 , , é máximo, mínimo, sela ou se nada podemos afirmar a respeito dele. Exemplo 3 Seja f(x,y) = 2x + 3y - 5. Temos fx = 2 e fy = 3. Como fx e fy nunca se anulam, f não terá ponto de máximo nem de mínimo. Veja a seguir a representação gráfica dessa função: 127 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia x y z Figura 79 – Representação gráfica de f x y x y,( ) = + −2 3 5 Observação: O teorema 3.1 só garante possíveis pontos de máximo ou de mínimo. Pode ocorrer que fx(x0,y0) = 0 e fy(x0,y0) = 0 sem que (x0,y0) sejam ponto de máximo ou de mínimo. É o que ocorre com a função f(x,y) = xy. Temos: fx = y e fy = x; portanto, o ponto crítico é (0,0). y z x Figura 80 – Representação gráfica de f(x,y) = xy Verifica-se que o gráfico da função f(x,y) = xy tem o aspecto de uma “sela de cavalo” e o ponto (0,0) é chamado ponto de sela. 128 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II 4.3 critérios para caracterização de um ponto de máximo ou de mínimo Se f tem derivadas parciais de primeira e de segunda ordem contínuas em uma região aberta, e se existir um ponto (x0,y0) na região, tal que fx(x0,y0) = 0 e fy(x0,y0) = 0, então, podemos utilizar ∆ = ( )⋅ ( ) − ( ) f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 0 0 0 2, , , . Fazendo f x y A f x y B e f x y Cxx yy xy0 0 0 0 0 0, , , ,( ) = ( ) = ( ) = , temos ∆ = A . B - C2. Então: 3.2.1 - f(x0,y0) é um ponto de mínimo se ∆ > 0 e A > 0. 3.2.2 - f(x0,y0) é um ponto de máximo se ∆ > 0 e A < 0. 3.2.3 - f(x0,y0) é um ponto de sela se ∆ < 0. 3.2.3 - Se ∆ = 0, o teste nada permite concluir. Exemplo 3.2.1 Encontre os extremos relativos e os pontos de sela de f x y xy x y,( ) = − −1 4 1 4 4 4 . Solução: Inicialmente, determinamos os pontos críticos de f derivando a função em relação a x e a y. Como f x y y xx ,( ) = − 3 e f x y x yy ,( ) = − 3 são definidas para todos os pontos do plano xy, os únicos pontos críticos são aqueles em que ambas as derivadas anulam-se. Temos, então: y x x y − = − = 3 3 0 0 e, resolvendo simultaneamente o sistema de equações, determinamos os pontos críticos (1,1), (-1,-1) e (0,0). Além disso, como f x y xxx ,( ) = −3 2 , f x y yyy ,( ) = −3 2 e f x yxy ,( ) = 1, podemos utilizar ∆ = ( )⋅ ( ) − ( ) f x y f x y f x yxx yy xy0 0 0 0 0 0 2, , , para classificar os pontos críticos. Segue a tabela: 129 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Tabela 7 – Classificação dos pontos críticos de f x y xy x y,( ) = − −1 4 1 4 4 4 Ponto crítico (1,1) (0,0) (-1,-1) A = fxx(x0,y0) -3.(1) 2= -3 -3.(0)2= 0 -3.(-1)2= -3 B = fyy(x0,y0) -3.(1) 2= -3 -3.(0)2= 0 -3.(-1)2= -3 C = fxy(x0,y0) 1 1 1 ∆ = a. B - C 8 -1 8 Critério A < 0 e ∆ > 0 A = 0 e ∆ < 0 A < 0 e ∆ > 0 Conclusão Máximo relativo Ponto de sela Máximo relativo A seguir, a representação gráfica da função que confirma nossa constatação feita na tabela anterior. Ou seja, que a função possui dois pontos de máximo relativos, que não possui valor mínimo e que possui um ponto de sela. máximo relativo máximo relativo sela y z x Figura 81 – Representação gráfica da função f x y xy x y,( ) = − −1 4 1 4 4 4 Note que, com a representação gráfica da função feita computacionalmente, conseguimos ver os máximos relativos e a sela; mas não conseguimos determinar quais são esses valores. A seguir, apresentaremos um quadro com a representação numérica dos valores da função contendo as regiões dos pontos críticos, para confirmar os valores de máximos relativos indicados. 130 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Tabela 8 – Representação numérica de f x y xy x y,( ) = − −1 4 1 4 4 4 no intervalo [-2,3]X[-2,2] y x -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 -2,00 -4,000 -2,266 -2,250 -3,016 -4,000 -5,016 -6,250 -8,266 -12,000 -1,50 -2,266 -0,281 -0,016 -0,531 -1,266 -2,031 -3,016 -4,781 -8,266 -1,00 -2,250 -0,016 0,500 0,234 -0,250 -0,766 -1,500 -3,016 -6,250 -0,50 -3,016 -0,531 0,234 0,219 -0,016 -0,281 -0,766 -2,031 -5,016 0,00 -4,000 -1,266 -0,250 -0,016 0,000 -0,016 -0,250 -1,266 -4,000 0,50 -5,016 -2,031 -0,766 -0,281 -0,016 0,219 0,234 -0,531 -3,016 1,00 -6,250 -3,016 -1,500 -0,766 -0,250 0,234 0,500 -0,016 -2,250 1,50-8,266 -4,781 -3,016 -2,031 -1,266 -0,531 -0,016 -0,281 -2,266 2,00 -12,000 -8,266 -6,250 -5,016 -4,000 -3,016 -2,250 -2,266 -4,000 2,50 -18,766 -14,781 -12,516 -11,031 -9,766 -8,531 -7,516 -7,281 -8,766 3,00 -30,250 -26,016 -23,500 -21,766 -20,250 -18,766 -17,500 -17,016 -18,250 Na tabela anterior, os valores máximos estão em azul e o valor de cela encontra-se em amarelo. A seguir, analisaremos esses três pontos críticos. Vamos analisar o ponto (-1,-1 ∈ D), que tem como imagem 0,5, isto é, f(-1,-1) = 5. Tabela 9 y x -1,50 -1,00 -0,50 -1,50 -0,281 -0,016 -0,531 -1,00 -0,016 -0,500 -0,234 -0,50 -0,531 -0,234 0,219 Avalie os valores da região em branco ao entorno de f(-1,-1) = 0,5, em azul... E aí, percebeu que todos os resultados são menores que 0,5? Logo, 0,5 é um máximo local. Vamos analisar o ponto (1,1) ∈ D), que tem como imagem 0,5, isto é, f(1,1) = 0,5. Tabela 10 y x 0,50 1,00 1,50 0,50 0,219 0,234 -0,531 1,00 0,234 -0,500 -0,016 1,50 -0,531 -0,016 -0,281 Avalie os valores da região em branco ao entorno de f(1,1) = 0,5, em azul... E aí, percebeu que todos os resultados são menores que 0,5? Logo, 0,5 é um máximo local. 131 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Vamos analisar o ponto (0,0) ∈ D, que tem como imagem 0, isto é, f(0,0) = 0. Tabela 11 y x 0,50 1,00 1,50 -0,50 0,219 -0,016 -0,281 1,00 -0,016 -0,000 -0,016 0,50 -0,281 -0,016 0,219 y x 0,50 1,00 1,50 -0,50 0,219 -0,016 -0,281 1,00 -0,016 -0,000 -0,016 0,50 -0,281 -0,016 0,219 C1 C2C3 Avalie os caminhos C1, C2 e C3 em torno de f(0,0) = 0, em amarelo... E aí, o que você pôde perceber? Avaliação em separado dos caminhos: Por C1: parte de -0,016, sobe para 0 e desce para -0,016. Se fosse olhar só esse caminho, seria máximo. Por C2: parte de 0,219, desce para 0 e sobe para 0,219. Se fosse olhar só esse caminho, seria mínimo. Por C3: parte de -0,016, sobe para 0 e desce para -0,016. Se fosse olhar só esse caminho, seria máximo. Ao avaliarmos simultaneamente os caminhos, temos que f(0,0) = 0 caracteriza-se como ponto de sela. Vale destacar que, usualmente, para levantar e classificar os pontos críticos de uma função, fazemos apenas a avaliação usando a aplicação de derivadas. Exemplo 8: Um painel plano tem a temperatura (T) dada em graus Celsius e modelada pela seguinte expressão: T(x,y) = 32x2 + 48x + 80y2. Determine os pontos de temperaturas máximas e mínimas do painel. Resolução Para buscarmos valores máximos e mínimos, devemos derivar a função e igualar a derivada a zero. Logo, precisamos fazer Tx = 0 e Ty = 0. T x y x x y T x e T y x y x x y ( , ) = + + = + = = = = − = = − = 32 48 80 64 48 0 80 0 64 48 0 48 64 2 2 −− = − 3 4 3 4 00 0segue que x y nosso ponto cr tico( , ) ( , ) .é í Determinando: T T T e Txx xy yx yy= = = =64 0 80; 132 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Aplicando as derivadas de segunda ordem no ponto ( , )− 3 4 0 = P, temos: T T T e Txx xy yx yy( , ) ; ( , ) ( , ) ( , )− = − = = − − = 3 4 0 64 3 4 0 0 3 4 0 3 4 0 80 lembrete Para levantar e classificar os pontos críticos de uma função, fazemos apenas a avaliação usando a aplicação de derivadas. Tabela 12 Ponto crítico “P” A = Txx(P) B = Tyy(P) C = Txy(P) D = A.B-C 2 Critério Avaliação P = ( , )− 3 4 0 64 80 0 64.80-0 > 0 A > 0 e D > 0 Mínimo Como esse ponto é mínimo, qualquer outro ponto na região de ( , )− 3 4 0 terá temperatura maior que nesse ponto. Dessa forma, a menor temperatura do painel será: T( , , ) ( , ) ( , ) ( )− = − + − + = −0 75 0 32 0 75 48 0 75 80 0 182 2 A título de conferência, apresentamos a tabela com as temperaturas na região do ponto crítico levantado, confirmando que a temperatura mínima é de menos 18 graus (-18°) e ocorre no ponto ( , )− 3 4 0 . Tabela 13 y x -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 -1,50 80,0000 45,0000 20,0000 5,0000 0.0000 5,0000 20,0000 -1125 70,0000 35,0000 10,0000 -5,0000 -10,0000 -5,0000 10,0000 -1,20 68,4800 33,4800 8,4800 -6,5200 -11,5200 -6.5200 8,4800 -1,15 67,1200 32,1200 7,1200 -7,8800 -12.8800 -7,8800 7,1200 -110 65,9200 30,9200 5,9200 -9,0800 -14,0800 -9,0800 5,9200 -1,05 64,8800 29,8800 4,8800 -10,1200 -15,1200 -10,1200 4,8800 -1,00 64,0000 29,0000 4,0000 -11,0000 -16.0000 -11,0000 4,0000 -0,95 632800 282800 3,2800 -11,7200 -16,7200 -11,7200 32800 -0,90 62,7200 27,7200 2,7200 -12.2800 -17.2800 -12,2800 2,7200 -0,85 62,3200 27,3200 2,3200 -12.6800 -17,6800 -12,6800 2,3200 133 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia -0,80 62,0800 27,0800 2,0800 -12,9200 -17.9200 -12,9200 2,0800 -0,75 62,0000 27,0000 2,0000 -13,0000 -18;0000 -13,0000 2,0000 -0,70 62,0800 27,0800 2,0800 -12.9200 -17.9200 -12,9200 2,0800 -0,65 62,3200 27,3200 2,3200 -116800 -17,6800 -12,6800 2,3200 -0,60 62,7200 27,7200 2,7200 -12,2800 -17,2800 -12,2800 2,7200 -0,55 63,2800 28,2800 3,2800 -11,7200 -16.7200 -11,7200 3,2800 -0,50 64,0000 29,0000 4,0000 -11,0000 -16,0000 -11,0000 4,0000 -0,45 64,8800 29,8800 4,8800 -10.1200 -15,1200 -10,1200 4,8800 -0,40 65,9200 30,9200 5,9200 -9.0800 -14,0800 -9,0800 5,9200 Exemplo 9 Uma caixa retangular, sem tampa, deve ter 32 m3. Quais devem ser suas dimensões para que sua superfície total seja mínima? z x y Figura 82 Resolução: seja x, y e z as arestas dessa caixa. Segue que o volume V = xyz = 32 => z = 32/xy (i) Área da superfície A = xy + 2zy + 2zx (ii) Substituindo (i) em (ii), derivando e igualando as derivadas parciais a zero, temos: A xy y xy x xy A xy y x A xy y x iii Ax = + + => = + + => = + +− −2 32 2 32 64 64 64 641 1* ( ) (( , ) ( , ) ( ) ( , x y y x A x y y x y x yx iv A x y x y = − => = − = => = => =−64 64 0 64 642 2 2 2 )) ( , ) ( )= − => = − = => = => =−x y A x y x y x y xy vy64 64 0 64 642 2 2 2 Igualando (iv) a (v), temos yx xy x x y y x y vi2 2 2 2 = => = => = ( ) 134 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II Substituindo (vi) em (iv), temos xx x x x2 3 3 364 64 4 4= => = => = => = Segue que x = 4, y = 4 e z = 32/(4*4) => z = 32/16=> z = 2 Segue que x = y = 4 e z = 2 são os candidatos a pontos críticos. Faremos agora as derivadas de segunda ordem e determinaremos o delta: A x y y x A x y y x A x y xx x xs( , ) ( , ) ( , ) * ( ) *= − => = − => = − − = − − 64 64 0 2 64 12 2 2 3 88 64 64 0 2 64 3 2 2 x A x y x y A x y x y A x y yy y yy( , ) ( , ) ( , ) * ( ) *= − => = − => = − − − − −− = = = 3 3 128 1 y A x y A x yyx xy( , ) ( , ) Avaliação do ponto Tabela 14 Ponto crítico (4,4) A A x yxx= ( , )0 0 128 4 128 64 23 = = B A x yyy= ( , )0 0 128 4 128 64 23 = = C A x yxy= ( , )0 0 1 ∆ = ⋅ −A B C2 2 2 1 32* − = Critério ∆ > 0 e ∆ > 0 ConclusãoMínimo relativo Exemplo 10 Uma empresa precisa fazer um projeto de uma calha de chapa de aço galvanizado de 24 cm de largura, na qual se deseja fazer as dobras (nas duas laterais), de modo que a calha tenha formato trapezoidal, conforme figura a seguir. Determine cada lateral x e o ângulo θ, de forma que a área da seção da calha seja a máxima possível. x 24 - 2x x θ Figura 83 135 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Observação Para resolver esse exercício, você vai usar as seguintes relações: sen sen e2 2 2 2 12θ θ θ θ θ= = −cos * cos cos Resolução: Analisando a figura anterior, construímos a seguinte relação: x 24 - 2x xsenθ xcosθ x θ Figura 84 Note que a área da seção da calha pode ser escrita como sendo área do retângulo da base 24-2x e altura xsenθ mais a área dos dois triângulos de base xcoxθ e altura xsenθ. Desse modo, a função da área da seção da calha pode ser escrita da seguinte forma: A x f x x xsen x xsen A x xsen ( , ) ( , ) ( ) * cos * ( , ) θ θ θ θ θ θ θ = = − + = − 24 2 2 1 2 24 2xx sen x sen2 2θ θ θ+ * cos * Se buscamos máximo ou mínimos, precisamos derivar em cada variável e igualar a zero, e é esse procedimento que começamos a fazer agora. Fazendo A A x sen xsen xsen Colocando sen em ev x x( , ) cosθ θ θ θ θ θ = − +24 4 2 iid ncia temos A x sen x x sen ou x ê , : ( , ) ( cos )θ θ θ θ θ = − + = => = => = 24 4 2 0 0 0 θθ pi θ θ = − + = ( ) cos cos n o conv m x x Isolando na equa o acima ã é çã 24 4 2 0 ,, : cos cos cos ( ) temos x x x x x i2 4 24 4 24 2 2 12θ θ θ= − => = − => = − 136 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II A x xsen x sen x sen Vamos fazer sen ( , ) * cos * , * cos θ θ θ θ θ θ θ = − + = 24 2 1 2 2 2 ssen da observa o segue que A x xsen x sen x se 2 24 2 1 2 2 2 θ θ θ θ çã , : ( , ) *= − + nn Fazendo A temos A x x x A x 2 24 2 2 1 2 2 24 2 2 θ θ θ θ θ θ θ , : cos cos * * * cos= − + = ccos cos * cos cos ( cos cos ) , θ θ θ θ θ θθ − + = + − + = 2 2 24 2 2 0 2 2 2 x x A x x vamos diividir a linha por x x Vamos substituir 24 2 2 0cos ( cos cos ) , c θ θ θ+ − + = oos cos , : cos ( cos cos ) 2 2 1 24 2 2 1 0 2 2 θ θ θ θ θ por da observação x V − + − + − = aamos substituir por x de i x x cos ( ) ( θ 2 12 24 2 12 2 2 − − + − − 112 2 2 12 1 02 x x + − − =) , 48 288 4 24 2 4 48 144 1 0 48 288 2− + − + + − + − = − x x x x x ( ) xx x x x x x x x x + − +( )+ − + − = + − + − − + 4 24 8 96 288 0 48 24 96 8 4 288 ( ) ( ) ( −− = − = = = 288 0 3 24 0 3 24 8 x x x x ) Substituindo o valor de x em (i), ou seja, em cosθ = −2 12 x , temos: cos cos cos cosθ θ θ θ= − => = − => = => =2 12 8 16 12 8 4 8 1 2 Logo, θ = 60º Desse modo, podemos dizer que se deve dobrar a chapa com um ângulo de 60° e que x = 8 cm. 137 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia saiba mais Para saber mais sobre extremos de funções de duas ou mais variáveis, consulte: LIMA, J. D. Máximos e mínimos de funções de várias variáveis. Pato Branco, [s. d.]. Disponível em: <http://www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus/ maximos_minimos_donizetti.pdf>. Acesso em: 2 set. 2013. 4.4 Máximos e mínimos com restrições; Multiplicadores de lagrange Os multiplicadores de Lagrange são um método usado para maximizar ou minimizar uma função z = f(x,y), sujeita a um vínculo (condição dada no padrão g(x,y) = 0). Esse método geralmente é mais simples do que visto anteriormente. Vamos estudar os procedimentos para aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os máximos e mínimos de uma função. 1) A função lagrangiana F será: F x y c f x y c g x y( , , ) ( , ) * ( , )= + , onde c é uma constante (c ∈ R), o valor de c deverá ser determinado. Chamaremos c de multiplicador de Lagrange. 2) Buscaremos a solução para o sistema: S F x y c F x y c F x y c x y c 1 0 0 0 : ( , , ) ( , , ) ( , , ) = = = A solução do sistema S1 nos fornecerá os valores máximos e mínimos relativos da função F. Observação Esse método pode ser aplicado para funções com mais de duas variáveis! Exemplo 1 Calcular o valor máximo para o produto de dois números cuja soma seja 26. Resolução: Sejam x e y os dois números procurados, temos que o produto será f(x,y) = x.y e desejamos que esse resultado seja o máximo possível. Restrição: x + y = 26, sabemos da teoria que g(x,y) deve ser igual a zero; logo, g(x,y) = x + y - 26. 138 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Unidade II 1° passo Definindo a função lagrangiana F(x,y,c), temos: F x y c f x y c g x y F x y c xy c x y ( , , ) ( , ) * ( , ) ( , , ) * ( ) = + = + + − 26 2° passo Construindo o sistema S1 Sabemos que S F x y c F x y c F x y c x y c 1 0 0 0 : ( , , ) ( , , ) ( , , ) = = = Vamos, primeiro, fazer as derivadas parciais de F, depois substituir os resultados no sistema S1. F x y c xy c x y F x y c y c F x y c yx x ( , , ) * ( ) ( , , ) * * ( ) ( , , ) = + + − = + + − => = 26 1 1 0 0 ++ = + + − => = + = + + c F x y c x c y F x y c x c F x y c x y Y c ( , , ) * * ( ) ( , , ) ( , , ) * ( 1 0 0 0 1 yy F x y c x yc− => = + −26 26) ( , , ) Acima, quando derivamos na variável x, y e c foram consideradas constantes; quando derivamos na variável y, x e c foram consideradas constantes e, por fim, quando derivamos na variável c, x e y foram consideradas constantes. Desse modo, temos: S F x y c F x y c F x y c S y c y cx y c 1 1 0 0 0 0 : ( , , ) ( , , ) ( , , ) : (= = = => + = => = − ii x c x c ii x y x y iii ) ( ) ( ) + = => = − + − = => + = 0 26 0 26 Substituindo (i) e (ii) em (iii), temos: x y c c c c+ = => − + − = => − = => = −26 26 2 26 13( ) Substituindo o valor de c em (i) e (ii), temos que x = - (-13) => x = 13 e que y = 13. Logo, o produto máximo para f(x,y) com a restrição dada será 13*13 = 169. 139 M AT - R ev is ão : A nd re ia - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 3/ 08 /1 3 // R ed im en si on am en to - M ár ci o: 2 2/ 07 /2 01 4 Métodos Quantitativos eM econoMia Exemplo 2 Maximize o produto de três números sabendo que a soma deles deve ser
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