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Aula 8 Matriz Insumo Produto

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Contabilidade Nacional
Professora: Kamila Gabriela Jacob
Referência Bibliográfica: LOPES, L. M; VASCONCELOS, M. A. S de; Manual de Macroeconomia: básico e intermediário. Equipe de Professores da USP. Saraiva, 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E APLICADAS 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS E GERENCIAIS
CSA 123 – CONTABILIDADE NACIONAL
Cap. 9 – O modelo de insumo-produto
Histórico
Os primeiros trabalhos são de Wassily Leontief (Matemático e Economista)
Organização, formalização e aperfeiçoamento sobre as relações interindustriais, recebendo influência de Quesnay
De Quesnay ele utilizou a ideia de organização dos fluxos entre as atividades econômicas em quadros contábeis detalhados
Influência de Walras no sentido de expressar o comportamento do sistema econômico através de uma simplificação do modelo de equilíbrio geral considerando apenas um único produto (bem ou serviço) por atividade econômica e equações de produção lineares
Leontief estruturou um modelo para análise das relações produtivas na economia, útil na definição de políticas setoriais e para as atividades de planejamento de um modo geral
Nobel de Economia em 1973
Representação básica dos dados
O modelo proposto por Leontief toma como referência os fluxos entre as diferentes atividades econômicas
A base de dados necessária deve descrever as relações dessas atividades entre si e com a demanda final (FBCF, X, VE, G, C) sua conta de renda e as importações
Na tabela de transações pode ser visualizado esses fluxos de acordo com as seguintes identidades econômicas:
1. Produção: consumo intermediário + valor adicionado
2. Produção: consumo intermediário + consumo final – importações
3. Valor adicionado: soma das rendas primárias
Representação básica dos dados
A identidade 1 representa as parcelas que compõem a produção das atividades pela ótica de seus custos
A identidade 2 apresenta o mesmo agregado, porém, pela ótica de seus destinos
Para representar essas identidades, a tabela é dividida em quatro quadrantes complementados por colunas e linhas de total e uma linha para importações
A identidade 1 é representa nos quadrantes I e III
A identidade 2 nos quadrantes I e II
A identidade 3 no quadrante III
Representação básica dos dados
Atividades
A 1
A 2
A 3
A n
FBCF
X
VE
CG
CP
f
g
A 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 2
 
I
 
 
II
 
 fi
 gi
A 3
 
gij
 
 
 
 
 
A n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importações (M)
 
 
mj 
 
 
 
 
 
 
VApb- y'
 
III
 
 
IV
 
Salários
 
 
 
 
Impostos e Subsídios
 
 
 
 
Excedente
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produção Total g'
 
 
 gj
 
gij  valor da produção da atividade i consumida na atividade j
gi  valor total da produção da atividade i
gj  valor total da produção da atividade j
f  demanda final da atividade i (matriz vetor)
Representação básica dos dados
O quadrante I apresenta o fluxo monetário entre cada atividade. O valor de cada célula da tabela representa o valor produzido pela atividade indicada na linha e consumida por aquela indicada na coluna
O quadrante II apresenta o valor da produção de cada atividade destinado à demanda final, aqui detalhada nas suas cinco categorias básicas
O quadrante III apresenta o valor das importações por atividade (m’) e o valor adicionado total por cada atividade (y’) com o seu detalhamento em categorias, por exemplo, salários, contribuições sociais, impostos sobre a produção e excedente operacional bruto
Podemos representar a tabela de transações da seguinte maneira, sendo os dados de 1995...
Tabela de Transações 1995 em bilhões de reais
 
 
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Total
FBKF
Exportação
VE
APU
Famílias
DF
DT
Agropecuária
A1
12
0
38
0
0
3
54
3
1
3
0
22
29
83
Extrativa Mineral
A2
0
1
7
0
0
0
8
0
2
0
0
0
2
10
Transformação
A3
11
2
138
1
20
44
216
26
36
5
0
114
180
396
SIUPs
A4
0
0
6
7
0
5
19
0
0
0
0
9
9
28
Construção
A5
0
0
1
0
3
5
9
82
0
0
0
0
82
91
Serviços
A6
5
2
40
2
6
78
133
6
9
1
126
193
336
469
cipb
29
5
230
10
30
135
438
117
49
9
127
338
639
1077
Importações
 
1
0
26
1
1
8
37
9
0
1
0
14
24
61
Impostos s/ produtos
2
0
3,6
1
8
15
30
7
1
1
0
35
44
74
Vapb
51
5
136,7
15
53
311
572
Remunerações
7
1
39
8
7
185
247
Excedente Operacional Bruto
46
3
85
7
43
151
335
Outros Impostos s/ produção
-2
0
13
1
3
11
26
produção
 
83
10
395,7
28
91
469
1077
Representação básica dos dados
Produção =
= 396
Insumos nacionais+
= 38 + 7 + 138 + 6 + 1 + 40= 230
Importações +
= 25
Impostos sobreprodutos +
= 4
Valor adicionado a preços básicos
= 137
IDENTIDADE 1 
Representação básica dos dados
Simulando para a atividade A3...
Produção =
= 396
Consumo intermediário +
= 11+ 2+138+1+20+44 = 216
Demandafinal
= 26+36+5+114 = 180
IDENTIDADE 2 
Vapb=
= 137
Remunerações +
= 39
Excedente operacional bruto +
= 85
Outros impostos sobrea produção
= 13
IDENTIDADE 3 
Representação básica dos dados
Simulando para a atividade A3...
Representação básica dos dados
Definindo o PIB: É a soma do valor adicionado a preços básicos mais os impostos sobre produto
Definindo o PIB pela ótica da demanda: demanda final a preços do consumidor menos as importações a preços básicos
DFNpb = demanda final por produtos de origem nacional a preços básicos (coluna f)
DFMpb = demanda final por produtos importados a preços básicos (linha das importações)
Imp = impostos sobre produtos que tem como destino a demanda final (linhas impostos sobre produtos)
Mpb = importações totais a preços básicos (linha das importações)
Representação básica dos dados
Tecnicamente a MIP implica desagregação, por ramo de atividade, de vários dos agregados presentes num sistema usual de contas nacionais, particularmente aqueles que aparecem na conta de produção
Além do valor adicionado e da demanda final, a desagregação atinge também a demanda intermediária (ou consumo intermediário)
Pode-se estimar qual é o impacto sobre o nível de produção e emprego e sobre as demandas setoriais, de um aumento ou uma retração na produção de um determinado ramo
Leontief desenvolveu um modelo admitindo que a relação entre os insumos consumidos em cada atividade e a produção total dessa atividade é constante e medida no que chamou de coeficiente técnico de produção
O Modelo de Insumo-Produto
Assim, o coeficiente técnico de produção é definido como:
Das linhas do quadrante I da Tabela de Transações é possível calcular o valor da produção de cada atividade pela soma:
Substituindo (1) em (2) obtém-se a equação básica, em valor, do modelo insumo produto:
aij = representa o valor produzido na 
atividade i e consumido pela atividade j 
para produzir uma unidade monetária 
O Modelo de Insumo-Produto
O Modelo de Insumo-Produto
Sabemos que a produção de cada setor é destinada em parcelas para cada um dos demais setores e uma parcela referente à demanda final
Usando representação por matrizes é possível escrever:
Matricialmente...
Chamando , temos:
A matriz A é chamada de matriz de coeficientes técnicos diretos e (I-A)-1 de matriz de Leontief ou matriz de coeficientes técnicos diretos mais indiretos
A matriz A representa o modelo e permite calcular a produção (g) necessária para atender à demanda final (f)
O Modelo de Insumo-Produto
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Considere uma economia hipotética com três setores, 1, 2 e 3 que estabelecem transações econômicas entre si. Se Xij representa as vendas do setor i para o setor j, pode-se construir a seguinte tabela de transações
Sabemos que...
Matricialmente, temos que:
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Neste
ponto levanta-se uma questão importante: Qual deverá ser a produção bruta de cada setor necessária para atender uma determinada demanda final?
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Nosso interesse está em calcular a matriz de Leontief a partir de seus coeficientes técnicos e verificar então, para cada setor, qual é o volume de produção necessário para atender determinada demanda
Consideremos o exemplo a seguir para encontrarmos os coeficientes técnicos e a matriz de Leontief
Calculando os coeficientes técnicos...
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Temos então:
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Interpretação econômica: o resultado mostra, por exemplo, que para atividade 2 produzir uma unidade monetária de produção deverá consumir 0,4 unidade monetária da atividade 1. 
Montando o sistema matricial de Leontief...
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Calculando (I – A)-1 :
Solução: cálculo da matriz inversa.
1. Calcular o determinante da matriz: se for diferente de zero pode ser invertida;
2. Transposição da matriz de cofatores: a matriz transposta cofatora dá-se a denominação de matriz adjunta;
3. A matriz inversa será:
4. Metódo alternativo: eliminação de Gauss-Jordan 
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Calculando (I – A)-1 :
Solução: cálculo da matriz inversa.
1. Calcular o determinante da matriz: se for diferente de zero pode ser invertida;
Det ≠ 0  a matriz pode ser invertida
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
2. Calculando a matriz cofatora...
					 assim, sucessivamente...
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
25
2. Transposição da matriz de cofatores: a matriz transposta cofatora dá-se a denominação de matriz adjunta
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
transpondo...
3. A matriz inversa será:
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Matriz de requisitos técnicos diretos e indiretos por unidade de demanda final
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Construindo o sistema matricial de Leontief...
Pode-se realizar projeções para os valores brutos da produção de 1, 2, e 3 calculando X1, X2 e X3 dado as variações nas demandas 
PRODUÇÃO DOS 
SETORES 1, 2 E 3
PARA ATENDER AS DEMANDAS 1, 2 E 3
O Modelo de Insumo-Produto
Exemplo com 3 setores
Supondo um aumento de 50% na demanda final, devido às festas de final de ano, logo o vetor coluna de demanda final será:
Pelo sistema de Leontief teremos que...
Hipóteses do modelo
As hipóteses são:
Homogeneidade: cada produto, ou grupo de produtos, é fornecido por uma única atividade
Somente uma tecnologia é utilizada para produzir um produto
Cada atividade produz apenas um único produto
Proporcionalidade: os insumos consumidos por cada atividade são uma função somente do nível de produção dessa atividade
Interpretação econômica dos coeficientes técnicos
As colunas da matriz de coeficientes técnicos (A) permitem identificar os insumos necessários à produção de uma unidade monetária
No entanto, a matriz A nada informa sobre efeitos indiretos dos aumetnos na produção de uma atividade
Ou seja, ao produzirmos automóvel podemos identificar na matriz A, a necessidade de aço, pneus para sua produção
Contudo, também é necessário produzir carvão mineral, borracha que servirão de insumos, para o aço e a borracha. E para tudo precisamos de eletricidade, por exemplo. 
Logo, essa cadeia de impactos prolonga-se indefinidamente, porém a soma de todos esses ciclos de impactos pode ser determinada pela matriz de Leontief
Interpretação econômica dos coeficientes técnicos
Chamando de gi a produção do i-ésimo estágio e definindo g0 = f, podemos usar a matriz A para calcular as necessidades de produção em cada estágio da cadeia produtiva...
A produção necessária ao atendimento de uma demanda final f é calculada pela soma de cada um desses estágios, assim...
Interpretação econômica dos coeficientes técnicos
Como os choques são distribuídos conforme uma progressão geométrica, a matriz de Leontief pode ser escrita como uma série convergente de potências:
O coeficiente zij pode ser interpretado como o impacto direto e indireto de um aumento unitário no valor de produção da atividade j sobre a produção da atividade i
Essa característica do modelo de Leontief torna-se extremante adequado à análise detalhada dos impactos, diretos e indiretos, de variações da demanda final
Modelo de Preços
O valor da produção das atividades pode ser também calculado pelas colunas dos quadrantes I e III da tabela de transações, assim...
Escrevendo os valores de (5) como produto de quantidades por preços, obtém-se...
Modelo de Preços
Dividindo (6) pela quantidade produzida na atividade j, obtemos:
Rearranjando...
onde:
Modelo de Preços
O sistema de equações (7) relaciona os preços (pi) das atividades com os custos dos insumos importados e dos fatores primários por unidade física produzida
Na forma matricial geral...
Para viabilizar as aplicações práticas desse modelo de preços, admite-se que é sempre possível estabelecer um sistema de preço-quantidade no qual os preços são iguais a unidade.
Para que isto se realize basta escolher adequadamente as unidades que medem as quantidades
Modelo de Preços
Admitindo preços iguais a 1, a matriz A e AQ são idênticas e o sistema de preços anteriormente definido pode ser escrito como:
Onde d, nesse sistema preço-quantidade, é interpretado como o custo dos insumos importados e o valor agregado por unidade monetária produzida
O vetor d, é obtido através das variáveis: valor adicionado a preços básicos (yij), importações (mij), impostos sobre produtos (ipij) 
Modelo de Preços
Exemplo (tabela de transações)
Calculando d para a atividade d3, obtemos...
Repetindo esse cálculo para todas as atividades obtemos...
 y m ip
Modelo de Preços
Exemplo (tabela de transações)
Por (8) o produto do vetor d pela Z’ precisa ser igual a 1, assim:
Por (9) temos a participação de cada uma das variáveis na formação do vetor de preços p...
		 y.Z’ m.Z’ ip.Z’
Modelo de Preços
Exemplo (tabela de transações)
Dessa forma, é possível observar que a para a atividade 4, por exemplo, o valor adicionado, as importações e os impostos sobre os produtos têm, respectivamente, a seguinte participação na formação de seu preço: 87%, 7% e 6%
Esse resultado mostra que efetivamente, para o período ao qual se refere a matriz, os vetor dos preços é igual a 1. A partir desse resultado é possível utilizar (9) para calcular o impacto de variações nos componentes do valor adicionado sobre o nível de preços das atividades econômicas.
Seja, por exemplo, um aumento de 10% no valor adicionado em A4 sem alteração nas demais variáveis que compõem d.
Modelo de Preços
Exemplo (tabela de transações)
Onde o novo y4 (0,6058) foi calculado aumentando-se a participação original
Fazendo o produto da transposta de d1 pela Z’...
Esse resultado mostra que um aumento de 10% no valor adicionado em A4 resultaria em um aumento de 7% no preço da produção dessa atividade.

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