142390349 Aula8 CA Flexao Cisalhamento

Prévia do material em texto

Estruturas em Concreto Armado
Cisalhamento – Dimens. da Armadura Transversal
Prof. M.Sc. Antonio de Faria
Prof. D.Sc. Roberto Chust Carvalho
Introdução:
• Até aqui foi estudada uma viga submetida à flexão pura e, 
neste caso, tem-se o momento fletor constante e a força 
cortante, que pode ser expressa pela derivada do momento, é 
nula;
• Assim, atuam na seção transversal apenas tensões normais que 
permitem equilibrar o momento fletor;
• As tensões normais são resistidas pelo concreto comprimido e • As tensões normais são resistidas pelo concreto comprimido e 
pela armadura longitudinal tracionada ( e por uma armadura 
longitudinal comprimida nos casos de armadura dupla);
• Nota-se que no cálculo da armadura longitudinal, feita 
anteriormente, bastou analisar as seções mais solicitadas pelo 
momento fletor, sem qualquer interferência da força cortante, 
valendo, portanto, a consideração de que a viga estava sujeita à 
flexão pura;
Introdução:
• Na realidade, as vigas submetidas a um carregamento vertical qualquer, 
com ou sem esforço normal, estão trabalhando em flexão simples ou 
composta e, nessa situação, o momento fletor é varíavel e a força cortante 
passa a ser diferente de zero, surgindo na seção transversal, além das 
tensões normais, as tensões tangenciais que equilibram o esforço 
cortante;
Momento Fletor Esforço Cortante
Tensões 
Flexão
Momento Fletor 
M
Esforço Cortante
V = dM/dx
Tensões 
atuantes na 
seção
Pura Constante V = 0 σ (normal)
Não-Pura Variável V ≠ 0
σ (normal) e 
τ (tangencial)
Introdução:
• Ao contrário da situação em que pode haver flexão sem cisalhamento (momento 
fletor sem esforço cortante), não é possível ocorrer casos de cisalhamento sem 
flexão (esforço cortante sem momento fletor);
• Dessa forma, na flexão não-pura, juntamente com as tensões tangenciais, sempre 
atuam tensões normais de flexão, formando um estado biaxial, ou duplo, de 
tensões, com tensões principais de tração e compressão, em geral, inclinadas em 
relação ao eixo da viga;
• É um problema bastante complexo, com mecanismos resistentes essencialmente 
tridimensionais;tridimensionais;
• No estudo do cisalhamento influem:
– Forma da seção transversal;
– Variação da forma da seção ao longo da peça;
– Esbeltez da peça (l/d) ≥ 2;
– Disposição das armaduras transversais e longitudinais;
– Aderência;
– Condições de apoio e carregamento, etc;
Introdução:
• A consideração de (l/d) ≥ 2 é para que o estudo se resuma às peças 
chamadas de vigas (a seção transversal permanece plana após a 
deformação), pois, quando a relação é inferior a 2, as seções transversais 
sofrem um “empenamento”, não continuando plana após a deformação;
• A estrutura com essas características passa a ser chamada de viga parede;
6
Concreto II
Vigas Sujeitas à Flexão Simples
Estudo do Cisalhamento - “Analogia de Mörsch”
Modelo de Ensaio
Vista da viga fissurada
Viga Sujeita à Flexão Pura
L/3 L/3 L/3
P P
bw
h
0,85.fcd
fcc
fts
z
L/3 L/3 L/3
+P
-P
Esf. Cortante
P.(L/3)
Mom. Fletor
Q = 0
M.F.=Cte
Idealização da Treliça de Mörsch
L/3 L/3 L/3
P P
bw
h
0,85.fcd
fcc
fts
z
A Tensão de Cisalhamento Máxima ocorre com inclinação de 
aproximadamente 45o
Mörsch idealizou aMörsch idealizou a
partir desse ensaio, apartir desse ensaio, a
chamada “treliçachamada “treliça
clássica”clássica”
Biela de Concreto
45o
Idealização da Treliça de Mörsch
L/3 L/3 L/3
P P
bw
h
0,85.fcd
fcc
fts
z
s
Banzo Inferior :- Armadura Tracionada
Banzo Superior:- Concreto Comprimido
Diagonal Comprimida:- Biela de Conreto
Diagonal Tracionada :- Armadura Tracionada (estribo)
45o αααα
z
z a
s
s
Equacionamento Matemático
45o αααα
z a s
Fcc
Fts
W
αααα
P P P
A
B
z
bw
h
Md
ΣΣMB = 0
AsA = MdB
z.Fyd
ΣFh = 0
µtα =
τod
Fyd.(senα + cosα).sen α
µtα =
Ast
bw.s.sen α
Cálculo da Armadura e Verificação da Biela
de Concreto Segundo a NBR 6118-2003
• Hipóteses Básicas:
– A NBR 6118/2003 especifica no Capítulo 17, item 4, como devem ser feitos o 
cálculo da armadura transversal e verificação da biela de compressão para 
elementos lineares sujeitos à força cortante no estado limite último;
– As prescrições aplicam-se a elementos lineares armados ou protendidos, 
submetidos a forças cortantes, combinadas com outros esforços solicitantes;
– Não se aplicam a elementos de volume, lajes, vigas parede e consolos curtos, que 
são tratados em outros capítulos da norma;
As condições de cálculo fixadas pela norma para as vigas baseiam-se na analogia – As condições de cálculo fixadas pela norma para as vigas baseiam-se na analogia 
com o modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos 
resistentes complementares desenvolvidos no interior da peça e que absorvem 
uma parcela Vc (ou τc) da força cortante;
– Esses mecanismos correspondem ao engrenamento que ocorre entre as partes 
de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da armadura 
longitudinal que serve de apoio às bielas de concreto (efeito de pino);
Cálculo da Armadura e Verificação da Biela 
de Concreto Segundo a NBR 6118-2003
• São admitidos dois modelos de cálculo alternativos 
(item 17.3.1);
– A) Modelo I: (objeto do item 17.4.2.2), em que se admite que 
as diagonais de compressão sejam inclinadas θ = 450 em 
relação ao eixo longitudinal da peça, e que Vc tem valor 
constante;
– B) Modelo II: (objeto do item 17.4.2.3), em que é admitido – B) Modelo II: (objeto do item 17.4.2.3), em que é admitido 
que essas diagonais tenham inclinação diferente de 450, que 
pode ser arbitrada livremente no intervalo 300 ≤ θ ≤ 450; 
nesse caso, considera-se a parcela Vc com valores menores;
Verificação do Estado Limite Último
• A resistência da peça, em uma determinada seção transversal, 
será satisfatória quando forem atendidas, simultâneamente, as 
seguintes condições:
– Vsd < VRd2
– Vsd < VRd3 = Vc + Vsw
– Onde:
• Vsd – força cortante solicitante de cálculo, na seção;sd
• VRd2 – força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das 
diagonais comprimidas de concreto;
• VRd3 = Vc + Vsw;
– Vc – parcela de força cortante absorvida por mecanismos 
complementares ao de treliça;
– VSw – parcela de força cortante absorvida pela armadura transversal;
Verificação do Estado Limite Último
• Na região dos apoios, os cálculos devem considerar a força 
cortante agente na face dos mesmos;
• Para o cálculo das armaduras, em apoios diretos, com as 
reduções indicadas; nos caso de apoios indiretos, essas 
reduções não são permitidas;
• As expressões anteriores possibilitam verificar, conhecida 
a taxa de armadura transversal, se o esforço em uma 
seção será ou não inferior ao permitido por norma, ou ao seção será ou não inferior ao permitido por norma, ou ao 
necessário para o funcionamento com segurança;
• Assim, bastará considerar, nas expressões anteriores, o 
sinal de igualdade para determinar, por exemplo, a 
armadura transversal em uma determinada seção;
Modelo de Cálculo I – 17.4.2.2
• No modelo de cálculo I, a resistência da peça é assegurada 
por:
– a) verificação das bielas comprimidas de concreto (compressão 
diagonal do concreto);
dbfV wcdvRd ....27,02 α=
Com coeficiente αv, sendo fck em MPa, dado por:Com coeficiente αv, sendo fck em MPa, dado por:






−=α
250
1 ckv f
Modelo de Cálculo I – 17.4.2.2
– B) Cálculo da armadura transversal;
• Para o cálculo da armadura transversal, a parcela da força 
cortante a ser absorvida pela armadura a partir da Equação 
anteriormente definida, pode ser escrita por:
VRd3 = Vc+ Vsw
� A força cortante resistida pelaarmadura transversal em uma certa 
seção é dada por:seção é dada por:
)cos.(sen..9,0. α+α





= yd
sw
sw fd
s
AV
Modelo de Cálculo I – 17.4.2.2
• Para o valor de Vc, deve ser observado:
– Vc = 0 nas peças tracionadas quando a linha 
neutra se situa fora da seção;
– Vc = Vco na flexão simples e na flexo-tração com 
a linha neutra cortando a seção;
M 
co
máxSd
o
coc V
M
MVV .21.
,
≤





+= Na flexo-compressão
Modelo de Cálculo I – 17.4.2.2
• Sendo nas equações anteriores:
– Vco=0,6.fctd.bw.d
– bw – menor largura da seção, compreendida ao longo da 
altura útil d;
2/3
ckctd .f
1,4
0,7.0,3f = (valor e cálculo da resistência a traçãodo concreto)
– d – altura útil da seção, igual à distância da borda 
comprimida ao centro de gravidade da armadura de 
tração;
– s – espaçamento entre elementos da armadura 
transversal Asw, medido segundo o eixo longitudinal da 
peça; 
Modelo de Cálculo I – 17.4.2.2.
– Fywd – tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no 
caso de estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se 
tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa;
– α - ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo 
longitudinal da peça, podendo-se tomar 450 ≤ α ≤ 900;
– Mo – valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão 
na borda da seção (tracionada por Md,máx), provodada por forças normais 
de diversas origens simultâneas com Vd, sendo essa tensão calculada 
com γ e γ iguais a 0,9. Os momentos correspondentes a essas forças com γf e γp iguais a 0,9. Os momentos correspondentes a essas forças 
normais não devem ser considerados no cálculo dessa tensão, a menos 
que elas tenham excentricidade assegurada, como no caso da 
protensão;
– Md,máx – é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise; 
por simplicidade e a favor da segurança, pode ser tomado como o maior 
valor do semitramo considerado (para esse cálculo, não se consideram 
os momentos isostáticos de protensão, apenas os hiperestáticos);
Modelo de Cálculo II – 17.4.2.3
• No modelo de cálculo II, a resistência da peça é garantida 
por:
– A) Verificação da compressão diagonal das bielas de concreto;
( )θαθα cotcot......54,0 222 += sendbfV wcdvRd
)250/1(2 ckv f−=α Obs: fck em MPa
Cálculo da armadura transversal:
swcRd VVV +=3
Modelo de cálculo II – 17.4.2.3
– B) Cálculo da armadura transversal
• A força cortante resistida pela armadura transversal 
em uma certa seção é dada por:
( ) αθ+α





= sen.cotcot...9,0. ywdswsw fd
s
AV
Modelo de cálculo II – 17.4.2.3
– Para o valor de Vc (parcela de força cortante absorvida 
por mecanismos complementares ao de treliça), deve 
ser observado:
• Vc = 0 em elementos estruturais tracionados quando a linha 
neutra se situa fora da seção;
• Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a linha 
neutra cortando a seção;neutra cortando a seção;
1
,
1 .21. Vc
M
MVV
máxSd
o
cc ≤





+= na flexo-compressão
Modelo de cálculo II – 17.4.2.3
– Tomando-se para Vc1 os seguintes valores:
• Vc1 = Vco = 0,6.fctd.bw.d, quando VSd ≤ Vco
• Vc1 = 0, quando VSd = VRd2, interpolando-se linearmente 
para valores intermediários;
• O valor da inclinação θ da biela de concreto é bastante 
controverso e depende, entre diversas variáveis, do 
tipo de carregamento aplicado, porém segundo a 
controverso e depende, entre diversas variáveis, do 
tipo de carregamento aplicado, porém segundo a 
norma, deve-se considerá-lo compreendido entre 300 e 
450;
Armadura Mínima – 17.4.1.1.1
• Segundo a NBR 6118/2003, todos os elementos lineares devem conter 
uma quantidade mínima de armadura transversal, dada por:
ywk
ctmsw
f
f
sensbw
A
sw .2,0
..
≥=
α
ρ
� Onde:
� ρsw� taxa geométrica da armadura transversal (mesmo que µtα)
� Asw� área da seção transversal dos estribos;
� S � espaçamento entre os estribos medido segundo o eixo � S � espaçamento entre os estribos medido segundo o eixo 
longitudinal da peça;
� α� inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da peça;
� bw � largura média da alma;
� fywk� valor característico da resistência ao cisalhamento da 
armadura;
� fctm� 0,3.fck
2/3
Aspectos Normativos
• Diâmetro das Barras dos Estribos
– O diâmetro da barra que constitui o estribo, deverá 
atender ao seguintes limites:
• 5,0mm ≤ φt ≤ bw/10
• Constituição da armadura transversal
– A armadura transversal pode ser constituída por estribos e 
barras dobradas;
Se houver barras dobradas, a estas não poderá ser – Se houver barras dobradas, a estas não poderá ser 
atribuído mais de 60% do esforço total a absorver por 
armadura transversal;
Aspectos Normativos
• Armadura Mínima
– O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo 
longitudinal da peça, deve ser suficiente para permitir a passagem do 
vibrador, garantindo um bom adensamento;
– O espaçamento máximo (Smáx) deve atender as seguintes condições:
• se Vd ≤ 0,67.VRd2 - Smáx≤ 0,6.d ≤ 300 mm 
• se Vd > 0,67.VRd2 - Smáx≤ 0,3.d ≤ 200 mm 
– O espaçamento transversal (st,máx) entre ramos sucessivos de estribos 
não deverá exceder os seguintes valores:
• se Vd ≤ 0,20.V - S ≤ d ≤ 800 mm • se Vd ≤ 0,20.VRd2 - St,máx ≤ d ≤ 800 mm 
• se Vd > 0,20.VRd2 - St,máx ≤ 0,6.d ≤ 350 mm 
– Sendo Vrd2 a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das 
diagonais comprimidas de concreto;
• Vrd2 = 0,27.αV.fcd.bw.d, com αV = (1 – fck/250), com fck em MPa
Cargas Próximas aos Apoios
NBR 6118-2003 – 17.4.1.2.1
• Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga 
e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento 
estrutural, comprimindo-a, valem as seguintes prescrições:
– A) a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no 
trecho entre o apoio e a seção situada a distância d/2 da face de apoio, 
constante e igual à desta seção;
– B) a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a 
≤ 2.d do eixo teórico do apoio, pode nesse trecho de comprimento a, ser ≤ 2.d do eixo teórico do apoio, pode nesse trecho de comprimento a, ser 
reduzida, multiplicando-a por a/(2.d);
• As reduções indicadas acima, não se aplicam à verificação da resistência à 
compressão diagonal do concreto;
• Nos casos de apoios indiretos, essas reduções também não são 
permitidas;
Redução do Esf. Cort. no apoio
viga
d
b
q (kN/m)
V
V
pilarVr
Vr = V - q.(b + d)/2