04- geometria

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Introdução à Computação GráficaIntrodução à Computação Gráfica
GeometriaGeometria
Claudio Esperança
Paulo Roma Cavalcanti
Pontos e Vetores (2D)Pontos e Vetores (2D)
• Ponto: Denota posição no 
plano
• Vetor: Denota deslocamento, 
isto é, inclui a noção de 
direção e magnitude
• Ambos são normalmente 
expressos por pares de 
coordenadas (em 2D) mas 
não são a “mesma coisa”
),(
),(
vv
PP
yxv
yxP
=
=
r
y
P
v x
Operações com Pontos e Vetores (2D)Operações com Pontos e Vetores (2D)
y• Soma de vetores
t = v + u
• Multiplicação de vetor por 
escalar
u = 2 v 
• Subtração de pontos
v = Q – P
• Soma de ponto com vetor
Q = P + v
v
u
t =
 v 
+ u
x
y
v
v
u = 2
 vy P
xv
Q
x
TransformaçõesTransformações
• Transformação é uma função que mapeia pontos de 
um espaço Euclidiano em outros (ou possivelmente 
os mesmos) pontos do mesmo espaço. 
• Se uma transformação é linear, então
Š Se um conjunto de pontos está contido em uma reta, 
depois de transformados eles também estarão 
contidos sobre uma reta.
Š Se um ponto P guarda uma relação de distância com 
dois outros pontos Q e R, então essa relação de 
distância é mantida pela transformação. 
• Transformação mapeia origem na origem?
Š Sim: Transformação Linear
Š Não: Transformação Linear Afim: Translações são 
permitidas 
Transformações Lineares em 2DTransformações Lineares em 2D
• Uma transformação linear
• Uma transformação linear afim


+=
+=
dycxy
byaxx
'
'


++=
++=
fdycxy
ebyaxx
'
'
Forma MatricialForma Matricial
• Mais conveniente para uso em um 
computador. Sejam
• Então uma transformação linear afim pode 
ser escrita T (P ) = P’ onde


=

=

=

=
f
e
D
dc
ba
A
y
x
P
y
x
P 
'
'
' 
DPAP +×='
Transformando VetoresTransformando Vetores
• Um vetor não está atrelado a um ponto no espaço
• Uma transformação linear afim aplicada a um vetor 
não inclui translação
• Prova: Seja V um vetor e V’ sua imagem sob a 
transformação linear afim, então:
''' PQVPQV −=⇔−=
VA
PQA
DPADQA
PQV
×=
−×=
+×−+×=
−=
)(
)()(
'''
Coordenadas HomogêneasCoordenadas Homogêneas
• A transformação de vetores é operacionalmente 
diferente da de pontos
• Coordenadas homogêneas permitem unificar o 
tratamento
• Problema é levado para uma dimensão superior:
Š Coordenada extra w= 0 para vetores e =1 p/ pontos
Š Termos independentes formam uma coluna extra na 
matriz de transformação








×








=








11001
'
'
y
x
fdc
eba
y
x








×








=








01000
'
'
y
x
fdc
eba
y
x
Coordenadas Homogêneas Coordenadas Homogêneas -- InterpretaçãoInterpretação
x
y
w
Plano 1w=
Plano 0w=
Modelando TransformaçõesModelando Transformações
• Uma t.l.a. em 2D pode ser definida se dispusermos 
da imagem de 3 pontos do domínio 
P P’
Q
Q’
R
R’
x
y







++=
++=
++=
++=
++=
++=
fydxcy
eybxax
fydxcy
eybxax
fydxcy
eybxax
RRR
RRR
QQQ
QQQ
PPP
PPP
..
..
..
..
..
..
'
'
'
'
'
'
Sistemas de coordenadasSistemas de coordenadas
• Um sistema de coordenadas para Rn é definido por 
um ponto (origem) e n vetores
• Ex. Seja um sistema de coordenadas para R2 definido 
pelo ponto O e os vetores X e Y. Então,
Š Um ponto P é dado por coordenadas xP e yP tais que
Š Um vetor V é dado por coordenadas xV e yV tais que
OYyXxP PP ++= ..
YyXxV VV .. +=
Mudança de Sistema de CoordenadasMudança de Sistema de Coordenadas
• Se estabelecemos um outro sistema (ex.: Q/T/U), 
como computar as novas coordenadas dadas as 
antigas? T
XO
P
YyXx PP +
UuTt PP + Q
Y
U
Mudança de Sistema de CoordenadasMudança de Sistema de Coordenadas
• Como computar as coordenadas de um ponto P = 
(xP, yP) em O/X/Y dadas as coordenadas de P em 
Q/T/U, isto é, (tP, uP) ?
OYyyuytXxxuxt
OYyXxYyXxuYyXxt
QUuTtP
QUPTPQUPTP
QQUUPTTP
PP
++++++=
++++++=
=
)...()...(
)..()...()...(
..
QUPTPP xxuxtx ++= ..
QUPTPP yyuyty ++= ..
Logo,
++
Mudança de Sistema de CoordenadasMudança de Sistema de Coordenadas
• Matricialmente:
• Usando coordenadas homogêneas:
• Para resolver o problema inverso:


+

×

=


Q
Q
P
P
UT
UT
P
P
y
x
u
t
yy
xx
y
x




×








=



11001
P
P
QUT
QUT
P
P
u
t
yyy
xxx
y
x




×








=


 −
11001
1
P
P
QUT
QUT
P
P
y
x
yyy
xxx
u
t
Transformações em 3DTransformações em 3D
• Vetores e pontos em 3D
• Transformação linear afim 








=
1
z
y
x
P
P
P
P








=
0
z
y
x
V
V
V
V
r








=
1000
lihg
kfed
jcba
T
Transformações RígidasTransformações Rígidas
• Não modificam a forma (dimensões/ângulos) do 
objeto 
• São compostas de uma rotação e uma translação








=
1000
lihg
kfed
jcba
T
Vetor de 
Translação
Submatriz de
Rotação
TranslaçãoTranslação


=








=
10
1000
100
010
001
3 tI
t
t
t
T
z
y
x
tP
tP
tP
tP
P
P
P
t
t
t
PTP
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
+=








+
+
+
=








×








=×=
111000
100
010
001
'
• Observe que translações
são comutativas:
P + t + v = P + v + t
z
y
x
Rotação em torno do eixo Rotação em torno do eixo ZZ
• Podemos ver que o vetor (1,0,0)T é mapeado em (cos 
α, sen α, 0)T e que o vetor (0,1,0)T é mapeado em 
(- sen α, cos α, 0)T 
α x
y
cos α
cos α
sen α
- sen
α
x’
y’
y
z
x
Rotação em torno do eixo Rotação em torno do eixo ZZ
• Sabemos que
• Outra maneira de ver:
)sin(
)cos(
θα
θα
+=′
+=′
rP
rP
y
x
α
α
sin
cos
rP
rP
y
x
=
=
θ
α
P
P’
x
y
r
r
• Então
θαθα
θαθα
cossinsincos
sinsincoscos
rrP
rrP
y
x
+=′
−=′
• Ou, finalmente,
θθ
θθ
cossin
sincos
yxy
yxx
PPP
PPP
+=′
−=′
Rotação em torno dos eixos coordenadosRotação em torno dos eixos coordenados
• Rotação em torno de Z é dada pela matriz







 −
1000
0100
00cossin
00sincos
θθ
θθ
• Similarmente, em torno dos eixos X e Y








−
1000
0cossin0
0sincos0
0001
θθ
θθ








−
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
θθ
θθ
Rotações em geralRotações em geral
• Qualquer rotação pode ser definida por um 
eixo de rotação dado pelo vetor unitário u = 
(x, y, z)T e um ângulo de rotação α
• Seja S a matriz
• Então a submatriz de Rotação M é dada por








−
−
−
=
0
0
0
S
xy
xz
yz
Ssin()uuI)((cosuuM TT )+−+= αα
Inclinação (“Inclinação (“shearshear”) ”) 
• É uma transformação de deformação onde um eixo é “entortado” 
em relação aos demais
z
z´ y
yz
x
x








=
1000
0100
010
001
y
x
inclinaçãoSh
Sh
T
• Se o vetor unitário do eixo z é 
levado em [Shx Shy 1 0]T, então a 
matriz de transformação é dada 
por
EscalaEscala
• Especificada por três fatores (Sx, Sy , Sz) que multiplicam os vetores 
unitários x, y, z
• Escala não é uma transformação rígida,
• Escala uniforme (Sx = Sy = Sz) entretanto, é uma operação ortogonal 
ou homotética, isto é, preserva os ângulos
• Para obter reflexão em torno do plano z=0, usar fatores de escala (1, 
1, -1)
y








=
1000
000
000
000
z
y
x
escala S
S
S
T
x
z
y
z
x
Composição de transformações em 3DComposição de transformações em 3D
• Em nossa notação, usamos pré-multiplicação:
Š P’ = T x P
• Para compor 2 transformações temos:
Š Se P’ = T1 x P e P’’ = T2 x P’ , então, P’’ = T2 x T1 x P 
12 TT ×
1T 2T
Geometria AfimGeometria Afim
• Composta dos elementos básicos
Š escalares
Š pontos - denotam posição
Š vetores - denotam deslocamento (direção e 
magnitude)
• Operações
Š escalar · vetor = vetor 
Š vetor + vetor ou vetor – vetor = vetor 
Š ponto – ponto = vetor
Š ponto + vetor ou ponto – vetor = ponto
Combinações AfimCombinações Afim
• Maneira especial de combinar pontos
• Para 2 pontos P e Q poderíamos ter uma combinação 
afim R = (1 – α)P +αQ = P +α(P – Q)
1 onde
...
1
2211
=
+++
∑
=
n
i
i
nnPPP
α
ααα
P
R= P+α(P – Q)
P
Q
0 < α < 1
α < 0
α > 1Q
Combinações ConvexasCombinações Convexas
• Combinações afim onde se garante que todos 
os coeficientes αi são positivos (ou zero)
• Usa-se esse nome porque qualquer ponto que 
é uma combinação convexa de n outros 
pontos pertence à envoltória convexa desses 
pontos P2
P1
P4 P5
QP3
Geometria Euclidiana Geometria Euclidiana 
• Extensão da geometria afim pela adição de 
um operador chamado produto interno
• Produto interno é um operador que mapeia 
um par de vetores em um escalar. Tem as 
seguintes propriedades:
Š Positividade : (u,u) ≥ 0 e (u,u) = 0 sse u=0
Š Simetria: (u,v) = (v,u)
Š Bilinearidade: (u,v+w)= (u,v)+ (u,w) e
(u,αv)= α(u,v)
Geometria EuclidianaGeometria Euclidiana
• Normalmente usamos o produto escalar como 
operador de produto interno:
• Comprimento de um vetor é definido como:
• Vetor unitário (normalizado):
∑
=
=⋅
d
i
iivuvu
1
rr
vvv rrr ⋅=
v
vv r
r
=ˆ
Geometria EuclidianaGeometria Euclidiana
• Distância entre dois pontos P e Q =|P – Q |
• O ângulo entre dois vetores pode ser determinado 
por 
• Projeção ortogonal: dados dois vetores u e v, deseja-
se decompor u na soma de dois vetores u1 e u2 tais 
que u1 é paralelo a v e u2 é perpendicular a v
)ˆˆ(coscos),( 11 vu
vu
vuvuângulo ⋅=


 ⋅= −− rr
rrrr
121 uuuvvv
vuu rrrrrr
rrr −=⋅
⋅=
v
u
u1
u2
Produto Vetorial (3D)Produto Vetorial (3D)
• Permite achar um vetor perpendicular a outros dois dados
• Útil na construção de sistemas de coordenadas
zyx
zyx
xyyx
zxxz
yzzy
vvv
uuu
kji
vuvu
vuvu
vuvu
vu
rrr
rr =








−
−
−
=× u
vu×v
.
• Propriedades (assume-se u, v linearmente independentes):
Š Antisimetria: u × v = – v × u
Š Bilinearidade: u × (αv) = α (u × v) e u × (v + w) = (u × v) + (u × w) 
Š u × v é perpendicular tanto a u quanto a v 
Š O comprimento de u × v é igual a área do paralelogramo definido
por u e v, isto é, | u × v | = | u | | v | sin θ
OrientaçãoOrientação
• Orientação de 2 pontos em 1D
Š P1 < P2 , P1 = P2 ou P1 > P2
• Orientação de 3 pontos em 2D
Š O percurso P1 , P2 , P3 é feito no sentido dos ponteiros 
do relógio, no sentido contrário ou são colineares
Or (P1, P2, P3) = 0 
P3
Or (P1, P2, P3) = +1 
P1
P3 P2
Or (P1, P2, P3) = -1 
P3
P2
P1P2P1
OrientaçãoOrientação
• Orientação de 4 pontos em 3D
ŠO percurso P1 , P2 , P3 , P4 define um parafuso 
segundo a regra da mão direita, mão esquerda 
ou são coplanares
• O conceito pode ser 
estendido a 
qualquer número de 
dimensões ...
Or (P1, P2, P3, P4) = +1 
P3
P1
P4 P2
Computando orientaçãoComputando orientação
• A orientação de n+1 pontos em um espaço n-
dimensional é dado pelo sinal do determinante da 
matriz cujas colunas são as coordenadas 
homogêneas dos pontos com o 1 vindo primeiro










=
4321
4321
4321
43213
1111
sign),,,(Or
zzzz
yyyy
xxxx
PPPP








=
321
3213212
111
sign),,(Or
yyy
xxxPPP
	Introdução à Computação GráficaGeometria
	Pontos e Vetores (2D)
	Operações com Pontos e Vetores (2D)
	Transformações
	Transformações Lineares em 2D
	Forma Matricial
	Transformando Vetores
	Coordenadas Homogêneas
	Coordenadas Homogêneas - Interpretação
	Modelando Transformações
	Sistemas de coordenadas
	Mudança de Sistema de Coordenadas
	Mudança de Sistema de Coordenadas
	Mudança de Sistema de Coordenadas
	Transformações em 3D
	Transformações Rígidas
	Translação
	Rotação em torno do eixo Z
	Rotação em torno do eixo Z
	Rotação em torno dos eixos coordenados
	Rotações em geral
	Inclinação (“shear”)
	Escala
	Composição de transformações em 3D
	Geometria Afim
	Combinações Afim
	Combinações Convexas
	Geometria Euclidiana
	Geometria Euclidiana
	Geometria Euclidiana
	Produto Vetorial (3D)
	Orientação
	Orientação
	Computando orientação