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Engenharia Econômica 
Lista de exercícios # 1 
Gabarito 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
A resolução desta lista deve ser escrita à mão e entregue ao professor, na sala de 
aula, até no máximo dia 6 de Junho. 
Apenas será dada nota não-nula aos exercícios cuja resolução estiver detalhada. 
Todos os exercícios têm o mesmo valor, 1 ponto. 
(Q.1) [Bueno et al., 2011, Ex1.1, adaptado] Um capital de $20.000,00 é aplicado 
durante cinco anos a uma taxa de juros efetiva anual de 7.5%. Obter os valores (i) do 
capital inicial, (ii) do juro e (iii) do investimento (montante) referentes ao final de cada 
um dos cinco instantes. Para isso, considere taxa de juros simples e compostos. 
Comparar os regimes de capitalização com o auxílio de um gráfico contendo, no eixo 
horizontal, os instantes de tempo, e, no eixo vertical, os valores instantâneos dos três 
componentes. 
R: esta questão seria mais eficientemente resolvida com o auxílio de uma planilha 
eletrônica, conforme se pode encontrar no repositório do TIDIA, planilha 
“lista_1_ex_1.xlsx”. 
(a) Juro simples 
Uma forma de montar uma tabela que calcule, a cada instante de tempo, os valores de 
C0, Ct e Jt é com base no procedimento resumido na tabela abaixo, o qual segue os dois 
princípios gerais de capitalização e a definição do regime de juro simples (nota de aula 
1). Nela, os números dentro de colchetes indicam a ordem de cada passo e também a 
operação matemática a ser feita. 
Juro simples 
t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * C0] Ct [C = A + B] Jt [C - C0] 
0 C0 NA NA C0 0 
1 C0 [1] Ct-1 = C0 [2] iC0 [3 = 1 + 2] [4 = 3 - C0] 
2 C0 [5 = 3] Ct-1 = C1 [6] iC0 [7 = 5 + 6] [8 = 7 - C0] 
3 C0 [9 = 7] Ct-1 = C2 [10] iC0 [11 = 9 + 10] [12 = 11 - C0] 
4 C0 ... ... ... ... 
5 C0 ... ... ... ... 
 
2 
 
Trata-se, pois, de aplicar passo a passo os princípios gerais e a definição do regime de 
juro simples. Fazendo isso para todos os instante t = 1,.., 5, chega-se aos resultados na 
tabela abaixo. 
Juro simples 
t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * C0] Ct [A + B] Ct [C0(1+Ti)] Jt 
0 20.000,00 NA NA 20.000,00 20.000,00 - 
1 20.000,00 20.000,00 1.500,00 21.500,00 21.500,00 1.500,00 
2 20.000,00 21.500,00 1.500,00 23.000,00 23.000,00 3.000,00 
3 20.000,00 23.000,00 1.500,00 24.500,00 24.500,00 4.500,00 
4 20.000,00 24.500,00 1.500,00 26.000,00 26.000,00 6.000,00 
5 20.000,00 26.000,00 1.500,00 27.500,00 27.500,00 7.500,00 
 
A coluna “Ct [C0(1+Ti)]” é apenas para fins de checagem e contém a fórmula geral da 
capitalização a juro simples, como indicado. 
É importante recordar que o valor absoluto do juro, calculado na terceira coluna, é 
sempre dado por Jt = Ct – C0. 
O gráfico abaixo representa os valores de C0, Ct e Jt ao longo do tempo. 
 
(b) Juro composto 
Seguindo um procedimento análogo ao anterior é possível construir uma tabela que 
reporte, para cada t, C0, Ct e Jt, no caso de juro composto. A única alteração a fazer é a 
de considerar, ao calcular o acréscimo, que a base de incidência é o montante do 
período anterior (Ct-1) e não o capital inicial (C0), este sendo a base apenas no caso de 
juro simples. A tabela a seguir apresenta um procedimento possível. 
 
 
 -
 5.000,00
 10.000,00
 15.000,00
 20.000,00
 25.000,00
 30.000,00
1 2 3 4 5 6
Va
lo
re
s m
on
et
ár
io
s (
C0
, C
t, 
Jt
)
Tempo
C0 Ct [A + B] Jt
3 
 
 
Juro composto 
t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * Ct-1] Ct [C = A + B] Jt [C - C0] 
0 C0 NA NA C0 0 
1 C0 [1] Ct-1 = C0 [2] iCt-1 = iC0 [3 = 1 + 2] [4 = 3 - C0] 
2 C0 [5 = 3] Ct-1 = C1 [6] iCt-1 = iC1 [7 = 5 + 6] [8 = 7 - C0] 
3 C0 [9 = 7] Ct-1 = C2 [6] iCt-1 = iC2 [11 = 9 + 10] [12 = 11 - C0] 
4 C0 ... ... ... ... 
5 C0 ... ... ... ... 
 
Deve-se notar que a única alteração no procedimento, em relação ao visto para o caso de 
juro simples, está na coluna correspondente ao acréscimo. 
Os resultados se encontram na tabela abaixo e no gráfico que a sucede. 
Juro composto 
t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * C0] Ct [A + B] Ct [C0(1+Ni)] Jt 
0 20000 NA NA 20.000,00 20.000,00 - 
1 20000 20.000,00 1.500,00 21.500,00 21.500,00 1.500,00 
2 20000 21.500,00 1.612,50 23.112,50 23.112,50 3.112,50 
3 20000 23.112,50 1.733,44 24.845,94 24.845,94 4.845,94 
4 20000 24.845,94 1.863,45 26.709,38 26.709,38 6.709,38 
5 20000 26.709,38 2.003,20 28.712,59 28.712,59 8.712,59 
 
 
 
Deve-se notar, apesar de não ser tão nítido, que as curvas para o montante e o juro 
descrevem linhas não-lineares, enquanto que, a juro simples, tem-se linhas lineares. Isso 
vai ficar mais claro no próximo passo. 
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
1 2 3 4 5 6
C0 Ct [A + B] Jt
4 
 
(c) Comparação dos dois regimes 
A principal diferença entre os regimes, que é a base de incidência da taxa de juro, 
resulta em uma diferença na trajetória de crescimento do capital aplicado. Esta trajetória 
é linear no caso de juro simples e exponencial sob juro composto, o que significa que, 
para um mesmo período de aplicação (T), um mesmo capital inicial (C0) e uma mesma 
taxa de juro, o montante obtido ao final é maior sob juro composto. É o que o gráfico a 
seguir ilustra (notar que a curva referente ao juro composto descola da curva de juro 
simples a partir de t = 2). 
 
 
Se o montante (Ct) é maior, o juro, dado por Ct-1 – C0, também tem de crescer mais 
rápido sob juro composto. E é de fato o que se observa no gráfico abaixo. 
 20.000,00
 21.000,00
 22.000,00
 23.000,00
 24.000,00
 25.000,00
 26.000,00
 27.000,00
 28.000,00
 29.000,00
 30.000,00
0 1 2 3 4 5
Montante, juro simples Montante, juro composto
5 
 
 
 
(Q.2) (BOVESPA, 2008, Q23, adaptado) [Escolha a alternativa que responde 
corretamente à questão a seguir, apresentando a dedução do montante no regime de 
capitalização composta como justificativa para sua escolha.] Em um investimento que 
está sob o regime de capitalização composta: 
a) A taxa de juro em cada período de capitalização incide sobre o capital inicial 
investido 
b) Os juros em cada período de capitalização tendem a ser constantes 
c) O valor dos juros gerados a cada período de capitalização decresce em função do 
tempo 
d) A taxa de juro incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o 
período de capitalização anterior. 
R: A dedução pedida no enunciado está apresenta na nota de aula 1 e não será aqui 
reproduzida para economizar espaço. Ela é a base para a obtenção dos apresentados 
no item b e é recomendado, pois, que aos alunos que retomem a nota de aula 1. 
(Item a) A determinação de que este item é falso não depende de uma demonstração, 
uma vez que ele está em desacordo com a definição de juro composto, a qual estabelece 
que, sob tal regime de capitalização, a taxa de juro incide sobre o capital inicial e 
sobre o juro acumulado até o período antecedente; ou seja, incide sobre o valor do 
montante correspondente ao final do período anterior. 
 -
 1.000,00
 2.000,00
 3.000,00
 4.000,00
 5.000,00
 6.000,00
 7.000,00
 8.000,00
 9.000,00
 10.000,00
0 1 2 3 4 5
Juro (absoluto), juro simples Juro (absoluto), juro composto
6 
 
(Item b) Esta afirmação pode ser expressa de maneira mais clara da seguinte forma “o 
juro (absoluto) é constante ao longo do tempo em que o capital é deixado para 
acumular”. O que é equivocado, pois, com a taxa de juros incidindo sobre o juro, a 
cada período, o último tem obrigatoriamente de crescer ao longo do tempo. Basta 
considerar o que segue. 
Seja o montante em um dado período T denotado por CT e a taxa de juro denotada por 
i, então Ct = Ct-1 (1+ i) (i). 
O montante sempre, em todos instantesde tempo, pode ser expresso como a soma de 
duas parcelas, o capital inicial, C0, e o juro gerado ao final no instante em questão, Jt. 
Desta maneira, Ct = C0 + Jt (ii.a) e Ct-1 = C0 + Jt-1 (ii.b). 
Incorporando (ii.a) e (ii.b) em (i): 
C0 + Jt = (C0 + Jt-1)(1+ i) ↔ Jt = C0 + iC0 + Jt-1 +iJt-1 - C0 ↔ Jt – Jt-1 = iC0 + iJt-1 > 0 
E, portanto, o juro cresce entre dois períodos em uma magnitude positiva, não nula, 
não sendo, portanto, constante no tempo. Talvez o enunciado quisesse dizer que a 
magnitude em que o juro cresce de um instante para outro é constante, mas isso 
também é equivocado. Basta notar que, do lado esquerdo da última equação acima há 
iJt-1, sendo Jt-1 uma grandeza variável no tempo conforme indica o fato de possuir um 
índice de tempo “t-1” definindo-a. 
(Item c) Esta afirmação está equivocada. Como demonstrado no item anterior, a 
magnitude em que o juro varia entre dois períodos de tempo quaisquer é positiva e, 
portanto, o valor do juro cresce (aumenta) com o tempo. Uma maneira mais rápida de 
confirmar é com base na dedução a seguir: Jt = Ct – C0 = C0(1+i)t – C0  
Jt = C0[(1+i)t – 1], uma função exponencial do tempo sendo a base, (1+i), é tal que 
(1+i) > 1. Portanto o valor absoluto do juro aumenta com o tempo (isso pode ser mais 
rigorosamente confirmado derivado Jt em função de t). 
(Item d) A afirmação é correta. Por definição, o regime de capitalização composta 
compreende a incidência de juro sobre a soma do capital inicial e do juro acumulado 
até o período anterior. Considerando os resultados (i) e (ii.b) obtidos no item b, tem-se 
que CT = (C0 + JT-1)(1+ i) = CT-1 + i(C0 + JT-1), o que indica que o montante obtido no 
T-ésimo período é equivalente ao montante obtido no período anterior, T-1, acrescido 
de um valor, i(C0 + JT-1), que corresponde ao gerado pela incidência da taxa de juro 
sobre o capital inicial e sobre o juro gerado no período anterior. 
(Q.3) (BOVESPA, 70) Dada uma taxa efetiva igual a 25,44% ao ano com capitalização 
semestral, então a correspondente taxa nominal ao ano é mais próxima da taxa de: 
a) 24% 
b) 25% 
7 
 
c) 23% 
d) 26% 
R: (alternativa a) a taxa nominal, ief., tem a seguinte relação com a taxa efetiva quando 
a última é definida no período de capitalização (semestre): inom. /N = ief. Porém, a taxa 
efetiva do enunciado está definida em um período anual. Denotando-a por ief.a, tem-se: 
ief.a = (1 + inom./N)N – 1 
Basta isolar inom. na equação acima: inom. = [(ief.a + 1)1/N – 1] N = [(0,2544 + 1)1/2 – 1]2 
= 0,24 % a.a. Trata-se de uma taxa anual pois o período de referência é anual, 
segundo o enunciado, e a taxa nominal é sempre definida em função do período de 
referência. 
(Q.4) (BOVESPA, 2008, Q73) Considere uma empresa que precisa de recursos por 12 
meses e encontra diversas alternativas: (i) 24% ao ano de taxa de juro efetiva; (ii) 24% 
ao ano de taxa de juro nominal com capitalização semestral; e (iii) 24% ao ano de taxa 
de juro nominal com capitalização mensal. Classifique as alternativas da melhor para a 
pior: 
a) (i); (ii) e (iii) 
b) (i); (iii) e (ii) 
c) (iii); (ii) e (i) 
d) (ii); (iii) e (i) 
R: a resposta a esta questão não exige, obrigatoriamente, a conversão das três taxas de 
juro em um período comum de capitalização. É preciso recordar que a taxa nominal de 
i% ao ano corresponde a uma taxa anual efetiva de (1+i/N)N – 1, em que N é o número 
de vezes que o período de capitalização efetiva da taxa nominal cabe dentro do período 
de um ano. 
Além disso, há um detalhe no enunciado que está pouco claro: o objetivo da empresa é 
tomar crédito às taxas apresentadas e não aplicar seu capital a tais taxas. A incidência 
do juro para a empresa é, portanto, um custo e não um benefício. Desta maneira, a 
melhor aplicação para ela é a que requer a menor taxa. 
Tendo isso em mente, a resolução pode ser apresentada como segue. 
(1) [relação de (iii) com (i) e de (iii) com (ii)] Uma taxa nominal de 24% ao ano 
(alternativa iii) corresponde a uma taxa efetiva de 2% ao mês. Se a capitalização 
ocorresse a juro simples a taxa anual correspondente seria de 24% a.a., e, no semestre, 
de 12% a.s. Porém, como a capitalização é composta, as taxas correspondentes ao ano 
e ao semestre são, respectivamente, superiores a 24% a.a., esta a taxa paga pela 
alternativa (i) e a 12% a.s, esta a taxa efetiva paga pela alternativa (ii). Desta maneira, 
portanto, a taxa nominal de 24% (alternativa (iii)) representa o maior rendimento para 
8 
 
o credor e, consequentemente, o maior custo para a empresa, sendo a prior alternativa 
da perspectiva da última. 
(2) [relação de (i) e (ii)] Quanto às taxas (i) e (ii), a taxa nominal de 24% ao ano com 
capitalização semestral corresponde a uma taxa semestral efetiva de 12% e a uma taxa 
anual efetiva superior a 24%, sendo, pois, superior à taxa anual. Para a empresa, a 
alternativa (ii) é pior pois representa um maior custo. 
(3) Com base em (1) e (2), as alternativas podem ser ordenadas de maneira crescente 
de acordo com o custo que representam a empresa da seguinte maneira: (i), (ii) e (iii). 
A resposta correta é a “a”. 
 
 
(Q.5) (BOVESPA, 2008, Q13) Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa 
de 1,8% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será 
feita seis meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no 
final deste período. 
a) R$166.946,73 
b) R$312.000,00 
c) R$151.620,00 
d) R$166.200,00 
 
R: do ponto de vista da organização credora, i.e., do concessor do empréstimo, tal 
operação consiste em aplicar um capital de R$150.000,00 a juro simples de 1,8% ao 
mês durante seis meses. O valor final desta aplicação é o valor da dívida a ser paga 
pelo tomador. Trata-se de: 
CT = C0(1+Ti)  C6 = 150.000(1+6 x 0.018) = R$166.200. A resposta correta é o item 
d. 
(Q.6) (BOVESPA, 2008, Q26) Um banco emitiu um CDB de 126 dias úteis no valor de 
R$1.000.000,00, taxa de 10% ao ano (base 252 dias úteis). O valor dos juros, de acordo 
com o regime composto de capitalização, ao final do período é: 
a) R$100.000,00 
b) R$50.000,00 
c) R$48.809,00 
d) R$47.320,00 
9 
 
R: A taxa de juro informada é a que seria obtida caso o CDB tivesse duração de um 
ano, i.e., de 252 dias úteis. Mas, porém, a duração efetiva é corresponde a meio ano, 
126 dias úteis. Isso dá a entender que o enunciado se refere a uma taxa nominal, dado 
que o período de referência da aplicação, 126 dias úteis, não corresponde ao período 
de capitalização, 252 dias úteis. Porém, o enunciado não é claro o bastante para 
garantir que esta conclusão esteja correta, a qual estaria de acordo com o item b. De 
fato, o gabarito oficial aponta para o item c, o qual apenas é correto caso seja 
considerado que a taxa de 10% é efetiva. Desta maneira, as duas respostas serão 
consideradas como corretas, b e c e serão apresentadas duas soluções alternativas 
para o exercício. 
(Solução 1, assumindo que a taxa de 10% ao ano é nominal) 
A taxa efetiva corresponde a 0,1/2 = 0,05, uma vez que o período de referência é a 
metade do período de capitalização. Uma vez que o capital inicial investido é de 
R$1.000.000,00, uma taxa de juro de 5% aplicada a ele rende um juro de R$50.000,00. 
A resposta correta é o item b. 
(Solução 2, assumindo que a taxa de 10% ao ano é efetiva) 
Neste caso, para obter o juro pago após seis meses ou 126 dias, é preciso, em primeiro 
lugar, encontrar a taxa diária equivalente que, em 252 dias pagaria um rendimento de 
10%. E, em segundo lugar, calcular o rendimento percentual que esta taxa proporciona 
em 126 dias, ou seja, trata-se de obter a seguinte taxa: 
(1+0,1)252/126 – 1 = 0,048808848 e então aplicar tal taxa ao capital inicial, o que dá um 
valor de 48.808,84817 ~ 48.809. O item c seria o correto neste caso. 
(Q.7) (BOVESPA, 2008,Q42) Um determinado título de renda fixa tem valor nominal 
de R$1.000,00 no vencimento e pode ser adquirido, a 221 dias úteis do vencimento, por 
R$904,21. Por sua vez, um determinado banco oferece um CDB com valor de face 
equivalente a R$100.000,00 na data de emissão, a ser resgatado por R$118.450,30 em 
18 meses. Com base nestas informações assinale a alternativa correta: 
a) O título de renda fixa oferece uma taxa de juro menor, 12,17% ao ano ante 12,95% ao 
ano do CDB 
b) O CDB oferece uma taxa de juro menor, 0,95% ao mês ante 0,96% ao mês do título 
público 
c) O CDB e o título de renda fixa possuem a mesma taxa de rentabilidade 
d) O título de renda fixa oferece uma taxa de juro maior, 12,17% ao ano ante 10,95% ao 
ano do CDB 
R: Para resolver este exercício, é preciso conhecer a taxa de juro paga pelas duas 
oportunidades de aplicação em dois períodos de capitalização, mensal e anual. 
10 
 
(Investimento 1, renda fixa) 
A taxa gerada, após 221 dias, pelo título, é de it,221 = 1000/9004,21 – 1 = 0.10593778. 
Para encontrar as taxas efetivas nas bases mensal e anual, it,m, it,a, respectivamente, 
basta fazer os cálculos abaixo. 
Taxa anual: it,a = (1+i)252/221 = 0.121669379 
Taxa mensal: it,m = (1+i)21/221 = 0.009614096 
(Investimento 2, CDB) 
A taxa gerada, após 18 meses, pelo CDB é de 118.450,3/100.000 – 1 = . 
As taxas efetivas nas bases mensal e anual, iCDB,m, iCDB,a, respectivamente, são 
encontradas abaixo. 
Taxa anual: it,a = (1+i)12/18 = 0.119500031 
Taxa mensal: it,m = (1+i)1/18 = 0.009451232 
Fica nítido, pois, que o título é a melhor aplicação. Mas é preciso avaliar item a item. 
Item a: equivocado pois não bate com as taxas calculadas. 
Item b: correto, as taxas informadas equivalem às obtidas, e o título é realmente a 
melhor aplicação. 
Item c: equivocado 
Item d: a taxa informada para o CDB está equivocada. 
(Q.8) (BOVESPA, 2008, Q208) Um investidor aplica R$40.000,00 à taxa de juro de 
18% ao ano. Considerando que este montante fica aplicado por um prazo de três anos e 
que a capitalização é contínua, calcule o valor de resgate do investimento. 
a) R$65.721,28 
b) R$61.600,00 
c) R$47.888,69 
d) R$68.640,27 
R: Aplicando a fórmula do montante de uma capitalização contínua, tem-se que o valor 
resgatado é de Ct = 40.000etr, considerando t = 3, tem-se Ct = 40.000e3 x 0.18 = 
68640.27449. A resposta correta é o item d. 
(Q.9) (BOVESPA, 2008, Q211, adaptado) Considere que você tenha aplicado um valor 
de R$120.000,00 à taxa de juro instantânea (contínua) de 1,85% ao mês. Sabendo que o 
valor de resgate foi de R$330.000,00, determine o tempo de aplicação deste capital. 
11 
 
a) 1 mês 
b) 25 meses 
c) 53 meses 
d) 55 meses 
R: Basta manipular a fórmula do montante para que ela reporte o tempo de aplicação. 
Sabemos que Ct = C0etr, aplicando o logaritmo natural na equação resulta que lnCt = 
lnC0+tr, e, pois, t = ln(Ct/C0)/r. Incorporando os dados do problema: 
t = ln(330.000/120.000)/0,0185 = 54.68113036 ~ 55 meses. O item d é a resposta 
correta. 
(Q.10) (BOVESPA, 2008, Q114) Um banco tomou R$1.000.000,00 por seis meses a 
uma taxa equivalente a 24% ao ano e aplicou, também por seis meses, a uma taxa 
equivalente a 2% ao mês. O lucro desta operação foi próximo a: 
a) R$12.610,00 
b) R$11.580,00 
c) R$13.920,00 
d) R$11.950,00 
R: Há duas operações financeiras simultâneas ocorrendo, a tomada de crédito pelo 
banco e a concessão de crédito pelo mesmo banco. O diagrama abaixo ilustra isso. 
 
Em que CRt ≡ valor que o banco tem a receber e CDt ≡ valor que o banco deve 
devolver (dívida). O lucro da operação, pois, é dado por CRt – CDt, uma vez que lucro 
sempre se define como a receita deduzida da despesa. Como CRt = 106(1+ir)6 e CDt = 
106(1+idm)6, então L= CRt – CDt = 106[(1+ir)6 - (1+ idm)6] (i). 
A taxa a que foi tomado o empréstimo, id, está originalmente definida em um período de 
capitalização distinto do período de aplicação e, pois, deve ser convertida, obtendo-se 
a taxa equivalente mensal, idm. Basta fazer considerar que (1 + idm)12 = (1+ id), tal que 
idm = (1+ id)1/12 - 1 (ii). 
Combinando (i) e (ii): L= 106[(1+ir)6 - (1+ id)6/12] = 106[(1+0,02)6 - (1+0,24)6/12] = 
1.000.000,00$ CRt
↑ ↑
0 1 2 3 4 5 6
↓ ↓
1.000.000,00$ CDt
12 
 
106[1,126162419 - 1,113552873] = 12.609,5467 ~ 12.610 (item a).