Relatório II ─ Módulo da Aceleração da Gravidade (g) a partir do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)

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FÍSICA EXPERIMENTAL I (FIS111)
Nome / Curso / DRE: Rafael Avona / Nanotecnologia / 112024257
Turma / Horário: EAM3 / Quarta-feira (15:00 as 17:00)
Professor: Raul Edgardo Rapp
Data: 18 de setembro de 2013
Título
Módulo da Aceleração da Gravidade () a partir do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Introdução / Objetivos
Calcular, experimentalmente, baseado em um modelo teórico, o módulo da aceleração da gravidade, , utilizando o movimento de um carrinho sobre um trilho de ar inclinado sobre um ângulo .
Modelo Teórico
Utilizar o movimento de um carrinho sobre o trilho de ar comprimido inclinado com o intuito de calcular, experimentalmente, o módulo da aceleração da gravidade é coerente com as leis e modelos da mecânica clássica, pois quando o carrinho está em movimento sobre um plano inclinado próximo à superfície da Terra, de acordo com a segunda Lei de Newton (), está sob efeito de uma força resultante (constante), que é o resultado da soma das forças que atuam no carrinho, ou seja, neste caso especial onde a força de atrito, , será desconsiderada pelo uso do trilho de ar que a reduz a aproximadamente zero, a força resultante, , será a soma da força peso (constante) e da força normal (constante). Então, o movimento que o carrinho faz pode ser descrito como um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV).
Figura 1: Esquema representando as forças que atuam no carrinho de massa m sobre o trilho de ar
Funções do tempo que descrevem o MRUV:
 
 
Colocando o eixo do sistema de coordenadas na direção do trilho de ar, apontando no sentido da maior altura para a menor e a força normal, , apontando no sentido do eixo , a força peso, , pode ser representada em termos de suas componentes nestes eixos:
Figura 2: Esquema mostrando as componentes da força peso e as demais forças que atuam no carrinho
Na Figura 2, pode-se observar que a componente da força peso no eixo y, , tem o mesmo módulo e direção da força normal, , porém sentido contrário. Logo, lembrando que a força resultante equivale ao somatório de todas as forças que atuam em um corpo, a componente no eixo y da força resultante, , é igual a zero, pois a soma das componentes das forças que atuam no carrinho no eixo y é zero. Por fim, pode-se concluir que:
Como a aceleração do carrinho, , tem a direção e sentido do vetor unitário , a expressão vetorial , pode ser escrita apenas em função do módulo dos vetores como:
A fórmula que correlaciona a frequência ao período será importante para entender o tempo entre as faíscas em função da frequência utilizada no centelhador.
A incerteza total na medida da posição do carrinho (equivalente a ) é a incerteza da régua somada à incerteza da posição da faísca e a incerteza relacionada à frequência do centelhador, que implica a incerteza no tempo, pode ser desconsiderada. Assim, a incerteza contida nas medidas de posição a partir da fita termo sensível utilizada para coletar os dados será a única que influenciará nos valores para a incerteza da velocidade média que será obtida entre o intervalo de tempo e . Para os valores do seno de θ, a incerteza será a incerteza propagada a partir das medidas de , e , cada uma com uma incerteza associada equivalente a . As demais incertezas serão propagadas a partir destas, seguindo as regras para incerteza propagada.
O programa de ajuste linear será usado para determinar os coeficientes da reta do gráfico e, assim, determinar o módulo da aceleração do carrinho (coeficiente angular da reta ajustada) e, posteriormente, novamente com o programa de ajuste linear, o módulo da gravidade a partir do coeficiente do gráfico de , ambos com a devida incerteza associada. É esperado que o módulo da aceleração da gravidade que será obtido se aproxime do que é encontrado na literatura: .
Procedimento Experimental
Para realizar o experimento é importante certificar-se que o trilho de ar esteja nivelado e que a instalação elétrica do centelhador esteja correta.
A fixação da fita termo sensível deve ser feita com especial cuidado, para aproveitar o movimento da melhor maneira, ou seja, obter pontos com espaçamento adequado (nem muito próximos e nem muito distantes um em relação ao outro). Para este experimento, é também importante escolher o tamanho adequado para a fita, de modo a se conseguir a quantidade de pontos desejada para os cálculos que serão feitos. É fortemente aconselhável realizar um teste antes de capturar os dados na fita a fim de verificar o movimento descrito pelo carrinho sobre o trilho de ar.
Para a captura dos dados, deve-se ligar o trilho de ar e ajustar o centelhador na frequência de .
Como o objetivo é medir , é importante escolher um sistema, que seja acelerado devido a influência de . Conforme o modelo teórico, este sistema é o movimento do carrinho sobre o trilho de ar inclinado. Então, é necessário inclinar o trilho de ar, de modo a se obter uma força resultante, .
O trilho será inclinado com o auxílio de blocos de madeira com alturas não conhecidas. Assim, para se calcular o seno do ângulo formado entre a mesa e o trilho inclinado () e depois o próprio , será necessário medir duas alturas ( e ) e calcular a diferença entre elas () e medir a distância entre os pontos onde as alturas foram medidas.
Figura 3: Esquema ilustrando as grandezas envolvidas no cálculo do seno de θ
O procedimento será repetido cinco vezes em inclinações distintas, com isso serão obtidas, ao todo, cinco fitas com dados de posição. Serão considerados, para análise, apenas um a cada três pontos da fita, assim a frequência entre os pontos considerados será .
Dados (Tabelas, etc.)
Segundo a equação , o intervalo de tempo entre cada faísca considerada () é igual a .
O ponto 0 representa o ponto inicial do experimento, isto é, o primeiro momento em que o movimento passa a ser monitorado. Neste ponto e .
O movimento foi monitorado entre os instantes e em intervalos de tempo .
As incertezas de e de da Tabela 1 foram calculadas conforme as equações e incluídas abaixo.
Tabela 1: Medidas experimentais de , de e de e valores calculados com as equações e de e de 
	Tomada de dados
	
	
	
	
	
	Primeira
	140 1
	156 1
	1000 1
	16 2
	16 2
	Segunda
	144 1
	194 1
	1000 1
	50 2
	50 2
	Terceira
	149 1
	245 1
	1000 1
	96 2
	96 2
	Quarta
	153 1
	299 1
	1000 1
	146 2
	146 2
	Quinta
	158 1
	378 1
	1000 1
	220 2
	220 2
A velocidade no tempo médio entre os tempos e (com e próximos) pode ser aproximada pela velocidade média entre estes tempos, da mesma forma que a reta tangente pode ser aproximada por uma reta secante. Portanto, as velocidades em cada instante presentes na tabela serão calculadas utilizando a expressão , o que justifica a velocidade não ser calculada nos instantes inicial e final.
Considerando como uma constante, a incerteza na medida de velocidade fica:
As próximas tabelas (Tabela 2, Tabela 3, Tabela 4, Tabela 5 e Tabela 6) mostram os dados experimentais do tempo e da posição do carrinho e os valores calculados para a velocidade e a incerteza associada à posição e à velocidade para cada ponto considerado.
Tabela 2: Valores referentes à primeira tomada de dados, à primeira fita
	
	
	
	
	
	
	0
	0,0
	0
	1
	-
	-
	1
	0,05
	31
	1
	62
	2
	2
	0,10
	62
	1
	63
	2
	3
	0,15
	94
	1
	63
	2
	4
	0,20
	125
	1
	64
	2
	5
	0,25
	158
	1
	66
	2
	6
	0,30
	191
	1
	66
	2
	7
	0,35
	224
	1
	66
	2
	8
	0,40
	257
	1
	68
	2
	9
	0,45
	292
	1
	69
	2
	10
	0,50
	326
	1
	69
	2
	11
	0,55
	361
	1
	70
	2
	12
	0,60
	396
	1
	-
	-
Tabela 3: Valores referentes à segunda tomada de dados, à segunda fita
	
	
	
	
	
	
	0
	0,0
	0
	1
	-
	-
	1
	0,05
	36
	1
	72
	2
	2
	0,10
	72
	1
	74
	2
	3
	0,15
	110
	1
	77
	2
	4
	0,20
	1491
	79
	2
	5
	0,25
	189
	1
	81
	2
	6
	0,30
	230
	1
	84
	2
	7
	0,35
	273
	1
	87
	2
	8
	0,40
	317
	1
	89
	2
	9
	0,45
	362
	1
	91
	2
	10
	0,50
	408
	1
	94
	2
	11
	0,55
	456
	1
	96
	2
	12
	0,60
	504
	1
	-
	-
Tabela 4: Valores referentes à terceira tomada de dados, à terceira fita
	
	
	
	
	
	
	0
	0,0
	0
	1
	-
	-
	1
	0,05
	47
	1
	86
	2
	2
	0,10
	86
	1
	101
	2
	3
	0,15
	148
	1
	116
	2
	4
	0,20
	202
	1
	111
	2
	5
	0,25
	259
	1
	115
	2
	6
	0,30
	317
	1
	120
	2
	7
	0,35
	379
	1
	125
	2
	8
	0,40
	442
	1
	129
	2
	9
	0,45
	508
	1
	134
	2
	10
	0,50
	576
	1
	137
	2
	11
	0,55
	645
	1
	139
	2
	12
	0,60
	715
	1
	-
	-
Tabela 5: Valores referentes à quarta tomada de dados, à quarta fita
	
	
	
	
	
	
	0
	0,0
	0
	1
	-
	-
	1
	0,05
	49
	1
	100
	2
	2
	0,10
	100
	1
	107
	2
	3
	0,15
	156
	1
	115
	2
	4
	0,20
	215
	1
	122
	2
	5
	0,25
	278
	1
	129
	2
	6
	0,30
	344
	1
	137
	2
	7
	0,35
	415
	1
	144
	2
	8
	0,40
	488
	1
	150
	2
	9
	0,45
	565
	1
	157
	2
	10
	0,50
	645
	1
	164
	2
	11
	0,55
	729
	1
	172
	2
	12
	0,60
	817
	1
	-
	-
Tabela 6: Valores referentes à quinta tomada de dados, à quinta fita
	
	
	
	
	
	
	0
	0,0
	0
	1
	-
	-
	1
	0,05
	38
	1
	82
	2
	2
	0,10
	82
	1
	92
	2
	3
	0,15
	130
	1
	102
	2
	4
	0,20
	184
	1
	113
	2
	5
	0,25
	243
	1
	117
	2
	6
	0,30
	301
	1
	133
	2
	7
	0,35
	376
	1
	148
	2
	8
	0,40
	449
	1
	152
	2
	9
	0,45
	528
	1
	163
	2
	10
	0,50
	612
	1
	243
	2
	11
	0,55
	771
	1
	184
	2
	12
	0,60
	796
	1
	-
	-
Na quinta tomada de dados, a velocidade do carrinho no ponto foi desconsiderada para efeito de construção do gráfico da Figura 8, devido ao seu grande desvio em relação aos demais pontos e por ficar fora da escala utilizada para a melhor comparação entre os gráficos, porém, o valor ainda foi considerado no programa de ajuste linear. A Tabela 7 mostra os resultados obtidos no programa de ajuste linear.
Tabela 7: Valores para os coeficientes e da equação da reta () do gráfico de cada tomada de dados
	Tomada de dados
	
	
	
	
	Primeira
	16
	4
	61
	1
	Segunda
	49
	4
	69
	1
	Terceira
	93
	4
	92
	1
	Quarta
	143
	4
	93
	1
	Quinta
	256
	4
	62
	1
O coeficiente angular da equação da reta do gráfico é a própria aceleração do carrinho, isto porque a aceleração é a derivada da velocidade em função do tempo e a derivada de uma função em um ponto é a sua inclinação neste ponto e para uma reta a inclinação é constante e igual a . O coeficiente linear mostra a velocidade no ponto inicial, , ou a velocidade no tempo .
Então, para aceleração constante tem-se que:
De vem:
Abaixo, na Tabela 8, estarão relacionados os valores previamente calculados para o seno de θ e sua incerteza, , e os valores obtidos acima para o módulo da aceleração do carrinho e sua incerteza, . Além disso, nesta tabela, serão apresentados os valores do módulo da aceleração da gravidade, (e sua incerteza, ), calculados a partir dos dados da tabela.
Tabela 8: Seno de θ, módulo da aceleração do carrinho, , e módulo da aceleração da gravidade, 
	
	
	
	
	16 2
	16 4
	10
	4
	50 2
	49 4
	10
	1
	96 2
	93 4
	9,7
	0,6
	146 2
	143 4
	9,8
	0,4
	220 2
	256 4
	11,6
	0,3
O módulo da aceleração da gravidade, , obtido com o programa de ajuste linear para todas as tomadas de dados foi de .Entretanto, percebe-se que o valor de obtido na quinta tomada de dados não condiz com os demais, então, descartando ele e considerando apenas os outros quatro valores, temos que .
Resultados e Conclusões
Será considerado que houve alguma falha durante à quinta tomada de dados, pois ela está discrepante se comparada com as demais, portanto, ela não será levada em conta para os resultados e para a conclusão.
Logo, como obtivemos os gráficos de e de conforme o esperado (retas), o módulo da aceleração da gravidade (valor encontrado na literatura), é coerente concluir que o modelo teórico proposto explica os resultados obtidos e condiz com a realidade.