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Página 1 de 18 INTEGRAIS MÚLTIPLAS - Introdução; revisão de integrais definidas; - Integral dupla e aplicações - Integral Tripla e suas aplicações. 1. INTEGRAL DEFINIDA 1.1 - Integral de Riemann A definição formal da integral definida envolve a soma de muitos termos. A integral de Riemann (ou definida) de uma função ( )xf num intervalo [ ]b,a , é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva ( )xf , ou seja: onde: kc coordenada entre 1kx - e kx ( )kcf ordenada de kc (altura do retângulo) 1kkk xxx --=D (base do retângulo) A área do ésimok - retângulo é dada por ( ) xkk xcfA D×= Somando todas as áreas dos retângulos sob a curva ( )xf , tem-se uma aproximação (devido às quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for kxD , melhor é a aproximação. Assim: å = ®D D n 1k kk0||x|| x)c(flim k = área sob a curva ( ) Axf = . Definição: Integral definida de Riemann: Seja ( )xf uma função contínua num intervalo [ ]ba, , então se o limite å = ®D D n 1k kk0||x|| x)c(flim k existe, a função ( )xf é integrável em [ ]b,a no sentido de Riemann, e é definida por òå =D = ®D b a n 1k kk0||x|| dx)x(fx)c(flim k , onde a integral definida de ( )xf , no intervalo [ ]b,a , dará Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva. ............................. ...................... Y X ( )[ ]kk cfc , ( )[ ]nn cfc , kc nc kA 1- - nn xx1-- kk xx Página 2 de 18 uma nova função ( )xg calculada no intervalo [ ]b,a , o que é escrito na forma ( ) baxg , ou seja, )a(g)b(g)x(g ba -= , assim: )a(g)b(gdx)x(f b a -=ò Exercício: Determinar a área delimitada pela parábola 01642 =-+ yx e o eixo X . Resposta : 64 A 3 = Observação: Seja ( )xf uma função integrável em [ ]b,a no sentido de Riemann, então a integral definida de Riemann é numericamente igual à área "com sinal" sob o gráfico de ( )xf , entre ax = e bx = . Assim, a integral definida corresponde à soma algébrica das áreas, onde aquelas acima do eixo das abcissas são positivas e aquelas abaixo dos eixo das abcissas serão precedidas de sinal negativo, ou seja, 21 b a AAdx)x(f -=ò . · Exemplo: Resolver a Integral definida da função ( ) 3x 3 1xf = entre [ ]2,1- . Resposta: 2 3 1 1 5 x dx 3 4- =ò y A1 x = a f(x) A2 x = b x (A1 e A2) é a soma algébrica de todas as áreas (positivas e negativas) 1- ( )xf 1 0 2 Y X Y X 1 1 0 ( )xfy = Página 3 de 18 · Definições: a) Se ( )xf é uma função contínua no intervalo fechado [ ]b,a , então ( )xf é Riemann - integrável em [ ]b,a . b) Se ( )xf é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [ ]b,a , então ( )xf é Riemann – integrável em [ ]b,a . c) Se ( )xf é uma função qualquer e a é um valor pertencente ao domínio D de ( )xf , define-se: 0dx)x(f a a =ò d) Se ba > e ( )xf é Riemann - integrável em [ ]b,a , então define-se: ò-=ò a b b a dx)x(fdx)x(f Exercícios de Revisão: Calcule as seguintes integrais: 01) x dx a b 2ò Resposta: b a3 3 3 - 02) 1 1 4 x dxò Resposta: )4ln( 03) 1 1 20 1 +ò x dx Resposta: ( ) 40 1 arctan p=x 04) 1 1 20 2 2 - ò x dx Resposta: ( ) 4 0 2 2 arcsen p=x 05) [ ]sin x x dx2 2 0 2 ( ) cos ( )+ò p Resposta: p 2 06) Resolver 4 dxxxdy = no intervalo [ ]2,0 . Resposta: 5 22 =y 07) Determinar a área limitada pelas funções xxy 23 += e xy 3= . Resposta: .. 2 1 auA = 8o Exercício: Determinar a área limitada pelas funções xxy 23 2 -= e xy 4= , Resposta: auA .4= Página 4 de 18 2 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS 2.1 - Integrais Duplas A integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes. Definição: Considere uma função z=f(x,y) contínua e definida numa região fechada e limitada D no plano xy Representação gráfica do domínio ""D , da imagem ""I e da superfície ""S de uma função ),( yxfz = Z Y X S D I Z Y X Representação gráfica de uma função ),( yxfz = ),( yxfz = 0x 0y 0z ),,( 000 zyx D Página 5 de 18 A definição de integral dupla ( )dxdyy,xfòò comporta uma interpretação geométrica análoga à definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume (ou cubatura) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área dA , ou seja, dxdy , com a finalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas. Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata área da base vezes a altura é tal que para cada área elementar iii dydxdA = o valor de "z" i fica univocamente definido. Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes VD das colunas infinitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, com mostram as Figuras. Z Y X Representação gráfica de uma função ),( yxfs = dxdydA = Z Y X Decomposição em paralelepípedos de uma função ),( yxfs = dxdydA = Representação gráfica de uma função ),( yxfs = ( ) ( ) ( ){ }2 0 1 0 1, /D x y x x x y y y= Π£ £ £ £U 1xx = 1yy = Z X Y 0yy = 1zz = 0zz = ( )yxfs ,= 0xx = D Página 6 de 18 Se ( ) 0y,xf < os volumes VD são negativos e obtém-se V- como integral. Assim, uma definição precisa de Integral Dupla pode ser colocada na forma: Supondo que o domínio D de uma função pode ser colocada no interior de um retângulo definido pela base bxa ££ e pela altura dyc ££ no plano XY , e a base bxa ££ for dividido em n intervalos, isto é, n ab - , a altura dyc ££ também for dividido em m intervalos, isto é, m cd - . Então, esta decomposição do retângulo bxa ££ , dyc ££ em mn ´ sub-retângulos é denominado de partição regular, e cada sub-retângulo é uma célula desta partição, onde cada uma possui uma área ijji Ayx D=D×D , donde, åå = = D= n 1i m 1j ijAD . Note-se que quanto maiores forem n e m menor será cada. Assim, para cada ponto toma-se o valor médio das coordenadas, isto é, ( )*j*iji y,x2 y , 2 x =÷÷ ø ö çç è æ e obter-se-á uma área infinitesimal AD e ( ) Ay,xfV ji D×=D . O volume total aproximado será dado pela soma de todos os VD , isto é, ( ) A.y,xfV ji D» åå . Desta forma a soma de Riemann corresponde à partição estendida, quando ¥®n e 0Am ®DÞ¥® é o volume V total dado pela soma, ( ) ( )ååòò = = ¥® D== n 1i m 1j jij,i D ji Ay,xfimdAy,xfV l , denominada integral dupla de ( )j,xf sobre o domínio D , onde ( ) ( )ò òòò = d c b a jiji D ji dydxy,xfdAy,xf. Página 7 de 18 Vejamos a sequência de figuras: Página 8 de 18 OBSERVAÇÕES: 1)Notamos que o significado geométrico da Integral Dupla equivale ao volume do sólido. 2)A integral Dupla tem propriedades análogas as propriedades de integrais simples. Exemplos: 01) Se ( ){ }22,11/, 2 ££-££-ÂÎ= yxyxD calcular o volume correspondente à função ( ) 21 xxf -= por integral dupla. Solução: Se 21 xz -= , então 122 =+ zx e 0³z , logo a integral dupla òò - D dAx 21 representará o volume do sólido S que está abaixo do cilindro circular 122 =+ zx e acima do retângulo definido por D . O volume de S é a área de um semicírculo com raio uma vez o comprimento do cilindro, ou seja, Resposta: 2 . .V uvp= 02 Calcular as integrais ò ò= 2 1 3 0 2 1 ydydxxI e ò ò= 3 0 2 1 2 2 ydxdyxI Resposta a) 1 21 I 2 = b) 2 21 I 2 = . Obs.: Assim, se ( )yxf , for contínua no domínio ( ){ }dycbxayxD ££££ÂÎ= ,/, 2 , então ( ) ( ) ( )ò òò òòò == d c b a b a d c D dydxyxfdxdyyxfdAyxf ,,, . Chamadas Integrais Iteradas. Esse resultado (Teorema de Fubini) é válido ao supor-se que a função ( )yxf , seja limitado em D , podendo ser descontínua num número finito de curvas lisas, e se a integral iterada existir. 03)Se ( ){ 1,20/, 2 £££ÂÎ= xyxD teorema de Fubini para esta integral dupla. ( )= - = - = -ò ò ò ò 2 2 2 22 2 0 1 1 0 Resposta: I x 3y dydx x 3y dxdy 12 OUTROS EXEMPLOS: 04) O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado R Resposta 13,5. 2 2 1 1 0 x y (1,1) (2,2) (2,1) (1,2) R11 R22 R21 R12 }2££ y calcular a integral dupla (òò= D xI teorema de Fubini para esta integral dupla. ( )= - = - = -ò ò ò ò 2 2 2 22 2 0 1 1 0 Resposta: I x 3y dydx x 3y dxdy 12 04) O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do canto superior de cada quadrado Rij. Página 9 de 18 )- dAyx 23 e mostre 04) O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do 05) Calcule o valor da integral òò R 2 ydAx O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da fun abaixo. 06) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. ydA , onde R = [0,3] x [1,2] Resposta 13,5. O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x 06) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Resposta 48 Página 10 de 18 Resposta 13,5. ção f(x,y) = x2y da figura + 2y2 + z = 16, os Página 11 de 18 07) Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z= 1- y e inferiormente pelo retângulo definido0 x 1£ £ e 0 y 1£ £ Resposta : ½ u.v INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por ( ) î í ì = DemestánãomasRemestá)y,x(se,0 Demestáy,xse),y,x(f )y,x(F Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por òòòò = RD dA)y,x(FdA)y,x(f R DDD DDD x x y y 0 0 Página 12 de 18 Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas Tipo 01 - Regiões planas inscritas em faixas verticais: Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja: D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: ò òòò = b a )x(g )x(gD dxdy)y,x(fdA)y,x(f 2 1 sempre que f for contínua em D. Tipo 02- Regiões planas inscritas em faixas horizontais: Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: ò òòò = d c )x(h )x(hD dydx)y,x(fdA)y,x(f 2 1 sempre que f for contínua em D. DDD x y 0 DDD x y 0 DDD x y 0 b b b a a a y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x) DDD x y 0 DDD x y 0 DDD x y 0 d d d c c c x = h1(y) x = h1(y) x = h1(y) x = h2(y) x = h2(y) x = h2(y) Página 13 de 18 08) Calcule òò + D dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. Resposta: 32/15 09) Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x } Assim, o volume é: 216/35 x y –1 1 y = 2x2 y = 1 + x2 y = 2x y = x2 10) Calcule òò D xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x Solução: A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: [y2 = 2x + 6] Ç [y = x – 1] Þ 2 yx 2 - = Þ y = –2 ( x = Resposta: 36 , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: 6- e x = y + 1 Þ 1y 2 6y2 += - Þ y2 – 2y – 8 = 0 2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) y2 = 2x + 6 y = x – 1 Página 14 de 18 2 = 2x + 6. 8 = 0 Página 15 de 18 11) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos,duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro: A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. Portanto o volume de T é: 1/3 u.v (1, ½, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 2) x + 2y + z = 2 x = 2y x y z x y 1 1 ½ x + 2y = 2 x = 2y D T Página 16 de 18 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS: 1) òòòòòò +=+ DDD dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[ 2) òòòò = DD dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c é uma constante 3) òòòòòò += 21 DDD dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f , 12) Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem òò D xdAcosy2 , onde D é a região do plano xy limitada pelos gráficos de 6 x p= , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: 1) Inscrita na faixa vertical p/6 £ x £ 4 e, nesse caso dividi-la em D1 = { (x,y) | p/6 £ x £ 1, 1 £ y £ 3 } e D2 = { (x,y) | 1 £ x £ 4, 3 x10yx -££ } ò òò ò òòòòòò - p += += 4 1 3 x10 x 1 6 3 1 DDD dxxdycosy2dxxdycosy2 xdAcosy2xdAcosy2xdAcosy2 21 2) Inscrita na faixa horizontal 1 £ y £ 3 e, nesse caso, dividi-la em D1 = { (x,y) | 1 £ y £ 2, p/6 £ x £ y2 } e D2 = { (x,y) | 2 £ y £ 3, p/6 £ x £ 10 – 3y } ò òò ò òòòòòò - pp += += 3 2 y310 6 2 1 y 6 DDD dyxdxcosy2dyxdxcosy2 xdAcosy2xdAcosy2xdAcosy2 2 21 se D = D1 È D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras. 3 p/6 y =3 y =1 x =p/6 3y + x = 10 x = y2 D Página 17 de 18 13) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide 16zy2x 22 =++ e os planos 2=x e 2=y , e os três planos coordenados. Resposta 48 X Z Y 16 2 Página 18 de 18 14) Calcular a integral dupla ( )òò -+ D dAyx4 , sabendo que o domínio é ( ){ }1,20/, 2 +££££ÂÎ= xyxxyxD . Resposta : 7 15) Calcular a integral dupla òò - D dAx 24 , sabendo que o domínio é um círculo de raio igual a dois, isto é, 2=r mas 42 22222222 =+Þ+=Þ+= yxyxyxr , donde 222 44 xyxy -±=Þ-= Solução: Então domínio será ( ){ }222 x4yx4,2x2/y,xD -+££--££-ÂÎ= Donde a integral de volume òò -= D dAxV 24 será: Resposta: 64/3
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