CALCULO INTEGRAL - INTRODUÇÃO

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Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 1 - 
Orlando Frizanco 
 
 
15 CÁLCULO INTEGRAL 
 
O cálculo diferencial e integral, também chamado de cálculo 
infinitesimal, ou simplesmente “Cálculo” é um ramo importante da matemática, 
desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de 
taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a 
acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume 
de um sólido). 
Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem 
produzindo aceleração, o cálculo é o ramo da matemática a ser empregada. 
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das 
ciências exatas. Desenvolvido inicialmente por Isaac Newton (1643-1727) e 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) em trabalhos independentes, o cálculo 
diferencial auxilia em vários conceitos e definições desde a matemática, 
química, física clássica e até a física moderna. 
Existem dois tipos de integral: a indefinida e a definida. 
A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma 
vez que é um processo que inverte a derivada de funções. 
A integral definida, chamada também de inicialmente “Soma de 
Riemann”, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo 
estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida. 
 
15.1 PARA QUE SERVE O CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL 
 
Quase tudo na natureza depende de várias variáveis, por exemplo: 
 Pressão atmosférica; 
 Temperatura; 
 Densidades de massa; 
 Densidade de carga elétrica; 
 Grandezas econômicas; 
 Grandezas mecânicas como a posição, a velocidade ou a 
aceleração. 
Algumas destas grandezas são representadas matematicamente por 
campos escalares, onde em cada ponto existe um número que significa alguma 
unidade, por exemplo, uma temperatura, ou uma pressão, ou uma densidade 
de massa por unidade de volume. 
Outras grandezas são representadas por campos vectoriais e, em cada 
ponto temos um vetor que representa, por exemplo, uma força aplicada nesse 
ponto, ou a posição de uma partícula ou a sua velocidade. 
 
15.2 SIMBOLOGIA DO CÁLCULO INTEGRAL 
 
O símbolo da integração é 

um S alongado (que significa "soma"). A 
integral indefinida ou antiderivada é escrita da forma: 
 
 dxxf ).(
 
 
é lida como "a integral de f-de-x em relação a x." 
 
A integral definida é escrita da forma: 
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
b
a
dxxf ).(
 
 
é lida como "a integral no intervalo a até b de f-de-x em relação a x." 
 
15.3 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Para definir integral é preciso entender o conceito de função primitiva 
(ou seja, o inverso da derivada). 
Dada uma função f(x) chama-se função primitiva, ou antiderivada, 
toda função F(x), e cuja derivada F´(x) = F(x) 
Porém, quando se calcula a derivada de uma função F(x) todas as 
constantes têm derivada igual a zero, como se viu em exercícios anteriores, 
logo nunca saberemos o valor da constante que originalmente fazia parte da 
função. Deste modo, coloca-se a letra C que passa a ser chamada de 
Constante de Integração, e que representa a existência do valor de uma 
constante que não se conhece. 
Logo, 
 
  CxFdxxf )().(
, onde 
)()(' xfxF 
 
 
Exemplo de integral indefinida. 
 
a) Calcular a integral da função 2x em relação a x. 
Solução: Como a integral indefinida é o inverso da derivada, então 2x 
é uma derivada e quem a gerou é a função y = x² + C cuja derivada é y ' = 2x 
(onde C é qualquer constante), então: 
 
 
 
15.3.1 Integrais Imediatas 
 
As integrais imediatas podem ser resolvidas a simples vista do seu 
formato e utilizando a fórmula correspondente. Assim, com uma lista das 
fórmulas a resolução fica mais fácil. No quadro a seguir está mostrada uma 
lista delas. 
 
INTEGRAIS IMEDIATAS 
a) 
  Cxdx
 
b) 
   Cxkdxkdxk ...
 
c) 
C
n
x
dxx
n
n 



 1
.
1 
d) 
C
x
dx
x

1
.
1
2
 
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INTEGRAIS IMEDIATAS 
e) 
C
n
nm
x
dxx
n
nm
n
m




 .
 
f) 
  CSenxdxCosx.
 
g) 
  CCosxdxSenx.
 
h) 
  CTgxdxxSec .
2
 
i) 
  CCotgxdxxCos .sec
2
 
j) 
CArcSenx
x
dx


 21
 
k) 
CArcCosx
x
dx



 21
 
l) 
CArcTgx
x
dx

 21
 
m) 
Cxdx
x
 ||ln.
1
 
n) 
Cedxe xx  .
 
o) 
Ca
a
dxa xx  .ln
1
.
 
 
Exemplos de cálculo de integrais imediatas. 
 
1) Calcular a integral
dxx .4
 
 
Utilizando a fórmula c, vem: 
 




 C
x
dxx
14
.
14
4
 
C
x
dxx  5
.
5
4
 
 
2) Calcular a integral 
dxx .18 3
 
 
Usando a fórmula c, vem: 
 
C
x
dxx
C
x
dxxdxx







4
.18..18
13
.18.18..18
4
3
13
33
 
Cxdxx 
43 .5,4..18
 
 
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3) Calcular a integral 
dx
x
.
5
2
 
 
Usando a fórmula d, vem: 
 
)
1
.(5.
5
.
1
.5.
5
.
1
.5.
5
2
22
22
C
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x






 
)
5
.
5
2
C
x
dx
x

 
 
4) Calcular a integral 
dxx ..9 2
3

 
 
Usando a fórmula e, vem: 
 
dxxdxx ...9..9 2
3
2
3
 
 
)
2
23
.(9..9
2
23
2
3
C
x
dxx 




 
)
2
5
.(9..9
2
5
2
3
C
x
dxx 
 
)
5,2
.(9..9
2 5
2
3
C
x
dxx 
 
C
x
dxx  5,2
.9..9
2 5
2
3 
Cxdxx 
2 52
3
.6,3..9
 
 
5) Calcular a integral 
 dxxCos .4
 
 
Usando a fórmula f, vem: 
 
  dxCosxdxxCos ..4.4
 
  CSenxdxxCos .4.4
 
 
6) Calcular a integral 
 dxxSen .15
 
 
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Usando a fórmula g, vem: 
 
  dxSenxdxxSen ..15.15
 
  CCosxdxxSen .15.15
 
 
7) Calcular a integral 
 dx
x
Sec ).
3
2(2
 
 
Usando a fórmula h, vem: 
 
  C
x
Tgdx
x
Sec )
3
2().
3
2(2
 
 
8) Calcular a integral

 299 x
dx
 
 
Utilizando a fórmula j, vem: 
 



 )1.(999 22 x
dx
x
dx
 



 )1(.999 22 x
dx
x
dx
 



 )1(.399 22 x
dx
x
dx
 



 )1(3
1
99 22 x
dx
x
dx
 
CSenxArc
x
dx


 ..3
1
99 2
 
 
Exercícios 
 
Calcular as integrais imediatas a seguir. 
 
a) 
 dx2
 
b) 
 dx.001,0
 
c) 
 dxy.
 
d) 
 dxx .
5
 
e) 
 dxx .13
7
 
f) 
dx
x
.
9
2
 
g) 
 dxx .4
5 
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h) 
 dxx .2 2
5
3
 
i) 
 dxCosx.4
 
j) 
 dxxCos .3
 
k) 
 dxxSen .6
 
l) 
 dx
x
Sec .
3
2
 
m) 

 222 x
dx
 
n) 
  299 x
dx
 
o) 
dxx.
 
p) 
 dxxx ..
4 23
 
 
15.3.2 Integrais Imediatas (funções) 
 
As integrais imediatas de funções u, v, w, ... podem ser resolvidas a simples 
vista do seu formato e utilizando fórmulas específicas. No quadro a seguir está 
mostrada uma lista delas. 
 
INTEGRAIS IMEDIATAS DE FUNÇÕES 
a) 
  dvadva.
 
b) 
C
n
v
dvv
n
n 



 1.
1 
c) 
Cv
v
dv
 ln
 
d) 
C
a
a
dva
v
v  ln
.
 
e) 
Cedve vv  .
 
f) 
  CCosvdvSenv.
 
g) 
  CSenvdvCosv.
 
h) 
  CTgvdxvSec .
2
 
i) 
  CCotgvdxvCos .sec
2
 
j) 
  CvCosdvvCotgvCos sec.sec
 
k) 
CSecvCCosvdvTgv  .lnln.
 
 
Exemplos de cálculo de integral imediata (funções). 
 
1) Calcular a integral
dxxxx .)143( 24 
 
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dxdxxdxxdxxdxxxx .1.4.3..)143( 2424  
 
dxdxxdxxC
x
 


1.4.3
14
2
14 
Cx
xxx








.1
11
.
4
12
3
14
111214 
 
Cx
xxx
 .
2
.
4
3
3
5
235 
Cxxx
x
 .2
5
23
5 
 
2) Calcular a integral
dxSenxCosxx .)( 3 
 
 
 dxSenxCosxx .)(
3
 
  dxSenxdxCosxdxx ...
3
 



CCosxSenx
x
13
13 
 CCosxSenx
x
4
4 
 
3) Calcular a integral
dxxxTg .)3( 24 
 
 dxxxTg .)3(
24
 
 CxxCos )3(.ln 24
 
 CxxSec )3(.ln 24
 
 
Exercícios. 
 
Calcular as integrais imediatas de funções a seguir. 
 
a) 
dxxxx .)1295( 24 
 
b) 
dxxx .)3( 23
2
 
 
c) 
dxCosxx .)2( 4 
 
d) 
dxxSenx .)2( 
 
e) 
dxxxTg .)2( 22 
 
f) 
dxxxTg .)4( 32 
 
g) 
dxCosxSenx
x
).
4
(
4
 
 
h) 
  dxx
x ).
1
(
 
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i) 
  dxSenxx ).(
 
j) 

 dvvvv ).362( 44
1
4
5 
k) 
dtSentt ).( 
 
l) 
dzz
zz
).
74
(
47

 
 
15.4 INTEGRAIS DEFINIDAS EM UM INTERVALO 
 
A INTEGRAL DEFINIDA surgiu para permitir o cálculo de áreas em 
regiões com fronteiras curvas. 
Tanto as derivadas como as integrais definidas podem também ser 
aplicadas nos mais diversos campos: 
 determinar o centro de massa ou momento de inércia de um sólido; 
 calcular o trabalho necessário para mandar uma sonda a outro 
planeta; 
 calcular o fluxo sanguíneo através de uma artéria; 
 estimar a depreciação de um equipamento em uma fábrica; 
 cálculo da área de uma superfície curva; 
 etc. 
 
Definição: Chama-se Integral Definida 

b
a
dxxf ).(
, da função 
)(xf
 entre 
os intervalos 
a
 e 
b
, a área limitada entre a curva 
)(xf
, o eixo das abscissas e 
as duas retas paralelas ao eixo das ordenadas, pelos pontos de abscissas 
a
 e 
b
. 
Conforme Granville (1990), sendo considerado que 

b
a
dxxf ).(
 
representa a medida da região delimitada pela curva 
)(xfy 
, o eixo dos 
x
 e 
as ordenadas da curva em 
ax 
 e 
bx 
, esta definição pressupõe que estas 
linhas limitam uma área, isto é, que a curva não tende a mais ou menos infinito 
e nem tampouco corta o eixo dos 
x
. Pressupõe ainda que 
a
 e 
b
são finitos. 
 
15.4.1 Cálculo de uma Integral Definida em um Intervalo 
 
Para calcular uma integral definida em um intervalo 

b
a
dxxf ).(
, o 
primeiro passo é integrar a função 
)(xf
. O segundo passo é, na integral 
indefinida obtida, substituir a variável, primeiro pelo limite1 superior do intervalo 
e, depois, pelo limite inferior. Em seguida, subtrair o último resultado do 
primeiro. 
 
 
 
 
1
 Limite neste contexto significa o extremo do intervalo, nada mais. 
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Exemplos. 
a) Calcular a integral definida 
dxx .
5
1
2

 
5
1
125
1
2
12
. 









x
dxx
 
5
1
35
1
2
3
. 






x
dxx
 
3
1
3
5
.
335
1
2  dxx
 
3
1
3
125
.
5
1
2  dxx
 
3
124
.
5
1
2  dxx
 
3,41.
5
1
2  dxx
 
 
Observação: Na integral definida não é necessário considerar a constante 
de integração porque sempre desaparece com a subtração. 
b) Calcular a integral definida 
dxSenx.
0

 
 

0
0
. CosxdxSenx 
 
   0.
0
CosCosdxSenx  
 
   )1()1(.
0
 dxSenx
 
   11.
0
 dxSenx
 
11.
0
 dxSenx
 
2.
0
 dxSenx
 
 
Exercícios. 
 
Calcular as integrais definidas. 
 
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1) 
dxx .
6
2
2

 
2) 
dxx .
8
5
3

 
3) 
dxxx .)(
5
1
2
 
 
4) 
dxCosx.
0

 
 
15.4.2 Cálculo de Áreas e Volumes usando Integral Definida 
 
O resultado do cálculo da integral de uma função definida em um 
intervalo, nada mais é do que a área (ou o volume) sob a curva da função no 
intervalo considerado. 
 
Exemplos. 
 
Calcule as áreas sob as funções 
)(xf
 nos intervalos indicados em cada 
figura. 
 
a) 
224)( xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) Cálculo de 
a
 e 
.b
 
 
Pelo que se vê na figura 
a
 e 
b
são os pontos onde a curva corta o eixo 
x
, 
logo são as raízes da equação. 
Assim: 
 
224)( xxxf 
 
 
Fazendo 
024 2  xx
, podem-se calcular as raízes. Trata-se de uma 
equação do 2º grau incompleta, onde: 
 
042 2  xx
 
 
Temos a = -2, b = 4 e c = 0 
 
a x 
y 
0 b 
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Orlando Frizanco 
 
 
Calculando o cab ..42  , vem: 
 
16
016
)0.(816
)0).(2.(4)4( 2




 
 
Vê-se que 

 > 0, logo a equação tem duas raízes reais e diferentes. 
Usando a fórmula de Bhaskara, vem: 
 
a
b
x
.2


 
)2(*2
16)4(


x
 
4
44


x
 
Calculando 1x , vem: 
4
44
1


x
 
4
0
1

x
 
01 x 
 
Calculando 2x , vem: 
4
44
2


x
 
4
8
2


x
 
22 x 
 
O conjunto solução é S = { 0; 2 }. 
 
Logo 0a e 2b 
 
a) Cálculo da área, aplicando a integração: 
 
224)( xxxf  

b
a
dxxfÁrea ).(
 
 
b
a
dxxxÁrea ).24( 2
 
 
2
0
2 ).24( dxxxÁrea
 
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Orlando Frizanco 
 
 
 
2
0
2
0
2 .2.4 dxxdxxÁrea
 
 
2
0
2
0
2 .2.4 dxxdxxÁrea
 
2
0
3
2
0
2
3
2
2
4













xx
Área
 













3
)0(2
3
)2(2
2
)0.(4
2
)2.(4 3322
Área
 













3
)0(2
3
)8(2
2
)0.(4
2
)4.(4
Área
 













3
)0(
3
16
2
)0(
2
16
Área
 













3
16
2
16
Área
 





 

6
16*216*3
Área
 





 

6
3248
Área
 
3
8
6
16






Área
 
 
7,2Área
 Unidades de Área (U.A.) 
 
 
Existem vários softwares que resolvem problemas de cálculo integral, 
porém poucos mostram passo a passo, as transformações algébricas que a 
função vai sofrendo até chegar ao resultado. 
 
Um software interessante, que faz isto é o “Calculus Solved” da 
Bagatrix. 
 
Embora não seja gratuito, está mostradoa seguir, como exemplo, uma 
resolução da integral  
2
0
2 ).24( dxxx , usando o software Calculus Solved®
2. 
 
2 Calculus Solved é um software que resolve algebricamente uma série de problemas 
matemáticos. É um produto comercializado pela Bagatrix Inc. e está disponível na Internet. 
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- 13 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
 
Exercícios. 
 
Calcule a Área limitada sob a curva das funções, nos intervalos indicados 
no gráfico. 
 
a) 
2)( xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
x
xf
1
)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
82)( 2  xxxf
 
 
 
 
 
 
y 
x 0 5 
y 
x 0 10 1 
a x 
y 
0 b 
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- 14 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
 
 
 
15.5 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 
 
O processo de integração por substituição de variáveis consiste em 
substituir a variável da função integranda por outra, de forma a recair em uma 
das integrais imediatas. 
Este artificio facilita a solução de integrais não imediatas. Não há 
uma regra fixa para isso, só praticando continuamente pode-se optar por uma 
melhor substituição. 
 
Exemplo. 
 
1) Calcular 
  dxx .)1(
3
 
 
Fazendo 
ux  )1(
, 
 
tem-se 
dudx 
, então: 
 
  duudxx ..)1(
33
, 
 
logo: 
C
u
duu 



 13
.
13
3
 
C
u
duu  4
.
4
3
, 
 
retornando à função original, vem: 
 
C
x
dxx 

 4
)1(
.)1(
4
3
 
 
O mesmo exercício acima está mostrado a seguir, calculado pelo software 
Bagatrix – Calculus Solved®. 
--------------------------------------------------------------------- 
 
 
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- 15 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
----------------------------------------------------------- 
 
2) Calcular 
  dxxCos ).1(
 
 
Fazendo 
ux  )1(
, tem-se 
dudx 
, então: 
 
  duCosudxxCos .).1(
, logo: 
 
  CSenuduCosu.
, então: 
 
CxSendxxCos  )1().1(
 
 
O mesmo exercício está mostrado a seguir, calculado pelo software Bagatrix 
– Calculus Solved®. 
 
----------------------------------------------------------- 
 
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- 16 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
----------------------------------------------------------- 
3) Calcular 
  x
dx
1
 
 
Fazendo 
ux  )1(
, tem-se 
dudx 
, então: 
 
Cu
u
du
u
du
x
dx



  
ln
1
 
 
Fazendo 
xu 1
, vem: 
 
CxCu
x
dx


1lnln
1
 
 
O mesmo exercício está mostrado a seguir, calculado pelo software Bagatrix 
– Calculus Solved®. 
----------------------------------------------------------- 
 
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- 17 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
----------------------------------------------------------- 
 
4) Calcular 
  4x
dx
 
 
Fazendo 
ux 4
, tem-se 
dudx 
, então: 
 
Cu
u
du
x
dx

 
ln
4
 
 
Fazendo 
4 xu
, vem: 
 
Cx
x
dx


4ln
4
 
 
Exercícios. 
 
Integre as funções a seguir, usando os recursos dos métodos de 
integração. 
 
1) 
  dxx .)3(
5
 
 
2) 
dtt .)1( 2 
 
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- 18 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
3) 
  dxxCos ).2(
 
 
4) 
  dxxSen ).21(
 
 
5) 
  dttSec ).1(.3
2
 
 
6) 
  dyyCos ).3(sec
2
 
7) 
  x
dx
3
 
8) 
  9x
dx
 
 
15.6 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
O método de Integração por Partes é um artifício para calcular a 
integral a partir da fórmula que expressa a diferencial (ou a derivada) do 
produto de duas funções. 
Como se sabe, quando: 
 
´.´.´. uvvuyvuy 
 
 
ou 
 
duvdvuvud ..).( 
, 
 
onde isolando 
dvu.
, vem: 
 
duvvuddvu .).(. 
 
 
integrando membro a membro vem: 
 
  duvvuddvu .).(.
 
 
donde: 
 
  duvvudvu ...
 (1) 
 
A fórmula (1) simplifica as integrações de funções do tipo 
dvu.
, ou 
seja, onde for possível identificar uma função 
)(xu
, multiplicando a diferencial 
de uma função 
)(xv
. 
 
Exemplos. 
 
1) Calcular 
 dxCosxx ..
 
 
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- 19 - 
Orlando Frizanco 
 
 
Nota-se que 
Cosx
 é derivada de 
Senx
, logo se pode fazer: 
ux 
, donde 
dudx 
 
 
e 
 
dvdxCosx .
, logo: 
vSenx
 
 
Com isto pode-se fazer: 
 
  duvvudxCosxx ....
 
 
 
u
 
dv
 
 dxSenxSenxx ..
 
 
donde: 
 
CCosxSenxxdxCosxx  )(...
 
 
ou 
 
CCosxSenxxdxCosxx  ...
 
 
2) Calcular 
dxex x ..
 
 
Fazendo 
ux 
, vem 
dudx 
 
 
e, sabendo que: 
 
  xx ee
dx
d

, tem-se que xev  e xedv  
 
logo: 
 
dxex x ..
 
 
 
u
 
dv
 
 duvvu ..
 
 
 
dxeex xx .. 
 
 
 
Ceex xx  .
 
 
donde: 
 
Cxedxex xx  )1(..
 
 
A seguir está mostrado o mesmo resultado calculado pelo Calculus 
Solved®. 
------------------------------------------------------------------ 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 20 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------- 
 
3) Resolver 
dxex x ..

 (1) 
 
Fazendo 
xu 
, vem: 
dxdu 
 
 
Sabendo que, se 
uey 
, vem: 
´.´ uey u
 (a) 
 
Então, se 
xey 
, 
fazendo 
xu 
 (b), resulta 
1´ u
 (c). 
 
Aplicando (b) e (c) em (a), vem: 
 
´.´ uey u
 
)1.(´  xey
 
 
logo 
 
xey ´
, donde: 
xey  ´
, ou: 
 xe
dx
d 
 
e, percebendo que o xe em (1) equivale a 
 xe
dx
d 
, tem-se que 
xev  
 
Logo, 
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- 21 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
dxex x ..

 
 vu.
 
 
u
 -
dv
 
 duvvu ..
 
 
 dxeex xx .).( 
 
 
 
  Ceex xx  .
 
 
Ceex xx  .
 
Cxedxex xx   )1(..
 
 
Exercícios. 
 
a) Calcular 
dxex x ...5

 
b) Calcular 
dxex x ...
2
3

 
 
c) Resolver 
 dxSenxx ..
 
 
15.7 INTEGRAL - APLICAÇÕES 
 
O cálculo integral tem inúmeras aplicações na maioria das áreas de 
conhecimento. A seguir estão mostrados alguns problemas exemplo, resolvidos 
por meio do cálculo integral. 
 
Exemplo 1. 
 
O administrador de uma fabrica constata que o custo marginal, em reais (R$), 
da produção de x unidades de um componente de uma lavadora de roupas é dado por 
x03,040 
. Considerando o custo da produção de uma unidade igual a R$ 30,00, 
determinar a função custo e o custo da produção de 150 unidades. 
 
Solução: 
 
Se 
fc
 é a função custo, então o custo marginal é a taxa de variação de 
fc
 
em relação a 
x
, isto é: 
 
xxfc 03,040)`( 
 
 
logo: 
 
  dxxdxxfc ).03,040(.)`(
 
 
donde: 
 
  dxxdxxfc .03,0.40)(
 
C
x
xxfc 
2
03,0
40)(
2 
 
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- 22 - 
Orlando Frizanco 
 
 
Cxxxfc  2015,040)(
 (a) função custo. 
 
Como ocusto de uma unidade é R$ 30,00, logo, para x=1, vem 
30)1( fc
 e 
substituindo em (a), tem-se: 
 
Cxxxfc  2015,040)(
 
 
Cfc  2)1.(015,0)1.(40)1(
 
 
C 015,04030
 
 
C 015,04030
 
 
C 40015,30
 
 
C 985,9
 Valor da constante C em (a). 
 
Substituindo o valor de C em (a), vem: 
 
985,9015,040)( 2  xxxfc
 
 
 
Para calcular o custo de 150 unidades basta substituir x por 150 nesta equação. 
Logo: 
 
985,9015,040)( 2  xxxfc
 
 
985,9)150(015,0)150.(40)150( 2 fc
 
 
985,9)22500.(015,06000)150( fc
 
 
985,95,3376000)150( fc
 
 
485,3476000)150( fc
 
 
51,5652)150( fc
 
 
Então, o custo de 150 unidades será R$ 5.652,51. 
 
Exemplo 2. 
 
Joga-se uma pedra verticalmente para cima a partir de um ponto situado a 45 
metros acima do solo e com velocidade inicial de 30 metros por segundo. 
Desprezando a resistência do ar, calcular: 
a) A distância da pedra ao solo, após t segundos; 
b) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe; 
c) O instante em que a pedra atinge o solo e a velocidade nesse instante. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
L 
 
45 m 
Em t=0 s 
S(t) 
Solo 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 23 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
 
 
 
 
O movimento pode ser representado por um ponto em uma coordenada 
vertical L, com uma origem no solo e direção positiva para cima. 
 
Condições Iniciais: 
 
- velocidade inicial - 
smV /30)0( 
 
- distância inicial - 
mS 45)0( 
 
- aceleração é negativa - 
2/8,9)´()( smtVta 
 
 
a) Cálculo da distância da pedra ao solo, após t segundos. 
 
Sabe-se que: 
 
)´()( tStV 
 (1) 
 
e que 
 
)´()( tVta 
 (2) 
 
Aplicando integral na (2), vem: 
 
  dttVdtta ).´().(
 
 
ou 
 
  dttadttV ).().´(
 (3) 
 
Pela (3) e o dado inicial, vem: 
 
CtdttV  .8,9).´(
 
 
CttV  8,9)(
 
 
Como 
30)0( V
 no instante 
0t
, vem: 
 
CtV  8,9)0(
 
 
C )0.(8,930
 
 
C30
, valor da constante C, logo: 
 
CttV  8,9)(
, fica sendo: 
 
308,9)(  ttV
, que é a função da velocidade. 
 
Como: 
 
)()´( tVtS 
 pela (1), 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 24 - 
Orlando Frizanco 
 
 
Então: 
 
  dttVdttS ).().´(
 
 
  dttdttS ).308,9().´(
 
 
Ct
t
tS  30
2
8,9
)(
2 
 
CtttS  309,4)( 2
 (4) 
 
Onde se pode calcular C, fazendo 
0t
 e 
45)0( S
 (condição inicial). Logo, 
substituindo na (4), vem: 
 
CtttS  309,4)( 2
 
 
CS  )0.(30)0.(9,4)0( 2
 
 
C 0045
 
 
C45
 (5) 
 
Substituindo (5) em (4), vem: 
 
45309,4)( 2  tttS
, que é a fórmula da distância da pedra após t 
segundos. 
 
b) Cálculo do intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe. 
 
Sabe-se que a pedra sobe até que a 
0)( tV
, ou seja, até que: 
 
0308,9)(  ttV
, ou 
 
0308,9  t
 
 
Donde 
 
t8,930 
 
t
8,9
30
 
 
segundost 3
 
 
c) Cálculo do instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade neste 
instante. 
 
A pedra atinge o solo quando o espaço 
0)( tS
. Isto acontece quando: 
 
045309,4)( 2  tttS
, ou 
 
045309,4 2  tt
, ou 
 
045309,4 2  tt
 (6) 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 25 - 
Orlando Frizanco 
 
 
Resolvendo a equação do 2º grau (6) pela fórmula de Bhaskara, vem: 
 
a
cabb
t
.2
..42 

 
 
Em (6) temos 
45;30;9,4  cba
, logo: 
 
)9,4.(2
)45).(9,4.(4)30()30( 2 
t
 
)9,4.(2
)45).(9,4.(490030 
t
 
8,9
88290030 
t
 
8,9
88290030 
t
 
8,9
782.130
t
 
8,9
2.4230
t
 
segundost 2,1
8,9
2,12
8,9
2.4230
1 


 
 
Como 
2t
 será negativo, deve ser descartado. Logo a pedra atinge o solo, 
após 1,2 segundos. 
 
A velocidade neste instante será dada pela equação: 
 
308,9)(  ttV
 
 
Logo, para t=1,2 segundos, vem: 
 
30)2,1(8,9)2,1( V
 
 
3076,11)2,1( V
 
 
smV /24,18)2,1( 
 
 
A velocidade com que a pedra atinge o solo será de 18,24 m/s. 
 
Exercícios. 
 
a) Um fabricante de blusas esporte determina que o custo de fabricação de 
x unidades é dado por 
x015,020
. Considerando que o custo de fabricação de uma 
unidade é R$ 25,00, determinar a função custo e o custo de fabricação de 64 
unidades. 
 
b) Se a função custo marginal de um produto é dada por 
x
2
 e se o custo 
de produção de 8 unidades é R$ 20,00. Determine a função custo e o custo de 
produção de 64 unidades. 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 26 - 
Orlando Frizanco 
 
 
c) Um fabricante constata que o custo marginal (em reais) da produção de x 
unidades de uma peça eletrônica de impressora é dado por 
x03,030
. Se o custo da 
produção de 1 unidade é R$ 25,00 determine a função custo e o custo de produção de 
110 unidades. 
 
d) Atira-se um projetil verticalmente para cima, de um ponto situado a 35 
metros acima do solo e com velocidade inicial de 70 m/s. Desprezando a resistência 
do ar e aplicando o cálculo integral, determine: 
1) A distância do projetil ao solo após t segundos; 
2) O intervalo de tempo durante o qual o projetil sobe; 
3) O instante em que o projetil atinge o solo, e a velocidade neste instante. 
 
e) Atira-se uma pedra verticalmente para cima, de um ponto situado a 100 
metros acima do solo e com velocidade inicial de 50 m/s. Desprezando a resistência 
do ar e aplicando o cálculo integral, determine: 
1) A distância da pedra ao solo após t segundos; 
2) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe; 
3) O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade neste instante. 
 
15.8 INTEGRAL – VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO. 
 
O volume de sólidos desempenha papel importante em muitos 
problemas nas ciências físicas, tais como determinação de centros de massa e 
de momentos de inércia. 
As diretrizes para achar o volume de um sólido gerado por revolução 
de uma área no plano são as seguintes. 
1) Esboçar a região R a ser revolvida e marcar as fronteiras a e b. 
Desenhar um retângulo típico vertical de largura dx ou um retângulo horizontal 
de largura dy; 
2) Esboçar o sólido gerado por R e o disco gerado pelo retângulo de 
(1), acima; 
3) Expressar o raio do disco em termos de x ou y, conforme sua 
espessura dx ou dy; 
4) Utilizar a fórmula que calcula o volume do disco 
espessuraraioV .).( 2 ; 
5) Aplicar o operador limite de somas 

b
a
à expansão da diretriz (4) e 
calcular a integral definida. 
 
 
Exemplo. 
 
A região delimitada pelo eixo-x, no gráfico da equação 22  xy e pelas 
retas 2x e 2x gira em torno do eixo-x. Determinar o volume do sólido 
resultante. 
 
Solução: 
 
Esboço da região R. 
 
 y 
2x
2x
22  xy
2 
xdx 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 27 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboço do sólido gerado por R e o disco gerado pelo retângulo de (1), acima. 
 
 
 
(1) Expressão do raio do disco em termos de x ou y, conforme sua 
espessura dx ou dy. 
 
xdxespessura 
 
22  xRaio
 
 
(2) Utilizando a fórmula que calcula o volume do disco. 
 espessuraraioV .).( 2 , donde: 
 
xRaioscoVolumedoDi  .. 2 
 
dxxscoVolumedoDi .)2.( 22   
 
(3) Aplicando o operador limite de somas à expansão da diretriz (4) e 
calculara integral. 
 
Sabendo que 
2a
 e que 
2b
, vem: 
 
dxxVolume
b
a
.)2.( 22  
 
dxxVolume .)2.( 2
2
2
2  


 

b
a
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 28 - 
Orlando Frizanco 
 
 
dxxxVolume ).44.( 2
2
2
4  


 
dxxxVolume ).44( 2
2
2
4  


 






 

2
2
2
2
2
2
2
4 .4.4.. dxdxxdxxVolume 
 






 

2
2
2
2
2
2
2
4 .4..4.. dxdxxdxxVolume 
 
 




















 

2
2
2
2
3
2
2
5
.4
3
.4
5
. x
xx
Volume 
 
 











 





 
 )2(2.4
3
)2(
3
2
.4
5
)2(
5
2
.
3355Volume
 











 





 
 22.4
3
)8(
3
8
.4
5
)32(
5
32
.Volume 
 


















 4.4
3
16
.4
5
64
.Volume
 


















 16
3
64
5
64
.Volume
 





 

15
240320192
.Volume
 







15
752
.Volume
 
 13,50.795462643383235897932383,14159265Volume
 
 
4,157Volume
 Unidades de Volume 
 
A seguir está mostrado o mesmo resultado calculado pelo Calculus 
Solved®. 
------------------------------------------------------------------ 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 29 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
------------------------------------------------------------------ 
 
Exercícios. 
 
1) A região delimitada pelo eixo-x, pelo gráfico da equação 
12  xy
 e 
pelas retas 
1x
 e 
1x
 gira em torno do eixo-x. Determinar o volume do sólido 
resultante. 
 
2) Usando integral calcular o volume do sólido obtido pela rotação da área 
sombreada, em torno do eixo indicado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o 
volume do sólido gerado pela revolução de R, em torno do eixo indicado. 
 
a) 
;0;3;1;
1
 yxx
x
y
 Eixo x 
 
b) 
;2;2  yxy
 Eixo y 
 
c) 
;0;4;  yxxy
 Eixo x 
y 
x 0 -2 +2 
2x
2x
2
2
1 2  xy
2 
xdx 
 5;2
 5,2;2
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 30 - 
Orlando Frizanco 
 
 
 
15.9 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
O conceito de integral (no sentido de Soma de Riemann), representado 
por: 

b
a
...
 
pode ser generalizado, mudando o intervalo  ba; por uma região n-
dimensional. 
Se for substituído o intervalo  ba; por uma região bidimensional, um 
retângulo, por exemplo, podemos utilizar o conceito de integral dupla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma, se for substituído o intervalo  ba; por uma região 
tridimensional, um paralelogramo, por exemplo, podemos utilizar o conceito de 
integral tripla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.9.1 Definição de Integral Múltipla 
 
Seja F uma função definida e limitada num intervalo fechado de I no 
espaço En. Se P é uma partição de I em P subintervalos I1, I2, I3, ..., Ip e se ti ɛ 
Ii, então a soma: 
 
)()(
p
i
ii ImtfS
 
 
é denominada “Soma de Riemann”. 
1a
2a
2b
1b
y
x

21
2
1
1
....
b
a
b
a
dxdy
1b
2b
3b
y
x
z
0

321
000
.....
bbb
dxdzdy
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 31 - 
Orlando Frizanco 
 
 
Considerando, para todo 
0r
, uma partição Pr de I tal que uma 
partição de P, mais refinada que Pr, implique na desigualdade: 
 
rAS 
 
 
e existe A e é único, tem-se a integral múltipla, que é representada por: 
 

I
dxxfA ).(
 
ou 
 
      
I
nn xxxxdxxxxA ,...,,,.,...,,,... 321321
 
No caso de E2, a integral 
 
  dydxyxA
I
.., 
 
 
é chamada “Integral Dupla”. 
 
No caso de E3, a integral 
 
  dzdydxzyxA
I
...,,  
 
 
é chamada “Integral Tripla”. 
 
Exemplos. 
 
1) Calcular a integral dupla a seguir: 
 
  dydxyx
y
..
2
1 0
2
  
 
  dydxyx
y
..
2
1 0
2
 









 
dyxy
x
y
..
3
2
1 0
3
 






 
dyyyy
y
.0.
3
0
.
3
2
1
33
 


















 
dyy
y
.0
3
2
1
2
3
 












 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 32 - 
Orlando Frizanco 
 
 
dyy
y
.
3
2
1
2
3
 






 
dyydy
y
..
3
2
1
3
1
2
3
 
 
2
1
3
2
1
4
34.3













yy 
2
1
3
2
1
4
312













yy 













3
1
3
2
12
1
12
2 3344
 













3
1
3
8
12
1
12
16
 













3
7
12
15
 













3
7
4
5
 
12
2815

 
12
43

 
 
2) Calcular a integral tripla a seguir: 
dzdydxzyx
x yx
..... 2
1
0 0
.
0
3
  
 
dydxdzzyx
xyx
.....
0
2
1
0 0
3








  
 
dydx
z
yx
yxx
..
2
..
.
0
2
2
1
0 0
3






  
 
   
dydx
yx
yx
x
..
2
0
2
.
..
22
2
1
0 0
3






  
 
dydx
yx
yx
x
..0
2
.
..
22
2
1
0 0
3






  
 
dydx
yx
yx
x
..
2
.
..
22
2
1
0 0
3
 
 
dydx
yx
x
..
2
.
1
0 0
45
 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
- 33 - 
Orlando Frizanco 
 
 
dxdyy
x
x
..
2
1
0 0
4
5
  






 
dx
yx
x
.
52
0
1
0
55
 






 
dx
xx
.
5
0
52
1
0
555
 






 
dx
xx
.0
52
1
0
55
 






 
dx
xx
.
5
.
2
1
0
55

 
dx
x
.
10
1
0
55



 
dx
x
.
10
1
0
10

 
dxx .
10
1
1
0
10

 
1
0
11
1110
1







x 







11
0
11
1
10
1 1111
 






 0
11
1
10
1 11
 







11
1
10
1
 
110
1

 
 
Exercícios. 
 
a) Calcular a Integral 
 
2
1
2
0
.
x
dxdy
 
b) Calcular 
 
2
1
2
.
x
x
dxdy
 
c) Calcular 
 


6
0
)6(
.).26(
x
x
dxdyy
 
d) Calcular 
  
2
1 0 0
223 ....
x xy
dxdyzyx
 
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- 34 - 
Orlando Frizanco 
 
 
e) Calcular 
  
2
1 1
223 ....
x xy
x
dxdyzyx
 
f) Calcular 
  
2
1 1
223 ....
x y
x
dxdyzyx