DERIVADAS

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Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
 
14 DERIVADAS 
 
Um dos conceitos fundamentais do cálculo é a 
derivada. As aplicações da derivada são variadas, dentre 
elas pode-se citar: 
 investigação da taxa de crescimento de 
bactérias em uma cultura; 
 previsão de resultados em uma reação 
química; 
 medidas de variações na corrente elétrica; 
 descrição de comportamento de partículas 
atômicas; 
 estimativa da evolução de um tumor na terapia 
radioativa; 
 previsão de resultados econômicos; 
 análise de vibrações em um sistema 
mecânico; 
 etc. 
A derivada também é utilizada para resolver 
problemas que envolvem valores máximos ou mínimos, 
por exemplo: 
 fabricar um caixa retangular de volume dado e 
pelo menor custo; 
 cálculo da distância máxima a ser percorrida 
por um foguete; 
 obter o fluxo máximo de tráfego através de 
uma ponte; 
 determinar o número de poços a perfurar em 
um campo de petróleo para obter a produção mais 
eficiente; 
 maximizar o lucro na fabricação de um 
produto. 
A derivada representa a taxa de variação 
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instantânea de uma função. Um exemplo típico é a 
função velocidade que representa a taxa de variação 
(derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função 
aceleração é a derivada da função velocidade. 
Diz-se que uma função f é derivável (ou 
diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu 
domínio, a função f(x) − f(a) se comportar, 
aproximadamente, como uma função linear, ou seja, se o 
seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de 
tal reta é a derivada da função 
)(xf
 no ponto a e 
representa-se por 
 
)(' af
 ou por 
)(a
dx
df
. 
 
14.1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO 
 
Sabendo que a inclinação de uma curva em um 
ponto é o número determinado pela fórmula 
tgm 
 , 
onde 

 é o ângulo formado pela tangente à curva no 
ponto considerado e o semieixo de abscissas. 
 
 
A inclinação da tangente no ponto 
0x
é dada por: 
 
ooo tgmxf )('
 
 
o
)(xf
xox

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Neste caso a inclinação é positiva em 
0x
. 
 
A inclinação da tangente pode ser negativa como 
mostra a figura a seguir. 
 
 
 
A inclinação da tangente no ponto 
1x
é dada por: 
 
111
, )( tgmxg  
 
Onde a inclinação é negativa em . 
 
A inclinação da tangente também pode ser nula, 
como no caso mostrado a seguir para a função h(x). 
 
 
A inclinação da tangente no ponto 
2x
é dada por: 
 
0)( 222
,  tgmxh 
 
Onde a inclinação é nula em 
2x
. 
)(xg 1
x
1x

1x
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Definição: Seja f = I 

 IR uma função definida 
no intervalo I e 
0x
 em ponto de I. Ao mesmo 
tgm 
, 
que também se representa por 
)(, oxf
, dá-se o nome de 
DERIVADA DA FUNÇÃO 
)(xf
 no ponto 
ox
. 
 
Exemplo. 
 
Calcular a derivada de 
2)( xxf 
 em 
1ox
 e
 1 1 x
. 
Para 
 ox
 temos: 
2)( ooo xyxf 
 
2)1( 
)1.(2)1( 1 
,
,


f
fxSe o
 
 
Em 
xxo 
, tem-se: 
 
222
2
)(.2
)()(
xxxxyx
xxyyxxf
ooo
ooo

 
22)(2 ooo xxxxxy 
 
0
2
2
)(.2
:se- tem Fazendo
)(2
x
xxx
x
y
x
y
tgm
xxxy
o
x
o
o















 
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
oo
ox
x
o
o
x
o
x
xxf
x
x
y
tgmxf
xx
x
y
x
xxx
x
y
o
o
o
2)( 
2)(
:Logo
2
)(.2
,
Quando
0
,
2

































 
 
Conhecendo a função derivada, pode-se calcular 
o seu valor em um ponto 
0x
 qualquer. 
Por exemplo: 
 
2(1) 
1.2)1( 1 
,
,


f
fxSe o
 
Graficamente a representação é a seguinte. 
 
 
 
O estudo de derivada está relacionado com a 
determinação da reta tangente a uma curva y = f(x) em 
um determinado ponto dado. 
O estudo foi feito por Isac Newton e outros 
1
2)( xxf 
o
x
1

1

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matemáticos. A derivada se aplica em vários ramos da 
matemática aplicada, tais como administração, ciências 
contábeis, economia, etc. 
 
14.2 DERIVADA DE FUNÇÕES SIMPLES 
 
Na verdade para calcular a derivada de uma 
função simples, não há necessidade de efetuar todas as 
operações mostradas no exemplo anterior. Basta aplicar 
as formulas conhecidas. 
No caso de funções simples, o quadro a seguir 
mostra as fórmulas que se aplicam. 
 
Função Derivada 
y = k y´ = 0 
y = x y´ = 1 
y = x2 y´ = 2x 
y = xm y´ = m.xm-1 , com m  |N 
y = k . f(x) y´ = k . f´ (x), com k  |R 
y = kx y´ = kx.ln k 
y = ex y´ = ex 
y = log ax y´ = 1/x . log ae 
y = ln x y´ = 1/x 
 
Exemplos. 
 
1) Determinar as derivadas das funções simples a 
seguir. 
 
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0´
3/5)


y
ya
 
 
0´
5)


y
yb
 
 
0´
7)


y
yc
 
 
2
3
3´
)
xy
xyd


 
 
2
3
3´
)
xy
xye

 
 
2
3
6´
2)
xy
xyf

 
 
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Orlando Frizanco 
 
A fórmula mais utilizada é a mostrada a seguir. 
 


 m com , m.x = y´
:,xy
1-m
m então
Se
 
 
Observa-se que o expoente passou a multiplicar a base da potência e 
foi subtraído 1 do expoente. 
 
Exemplos. 
 
Calcular as derivadas a seguir. 
 
a) 
1011121314 *1*05*13*2*2*3*4'   xxxxxy
05664' 0123  xxxxy
 
5664' 23  xxxy
 
 
b) 
566
7
4 23  xxxy
 
10111213 5*06*16*2
7
4
*3'   xxxxy
 
0612
7
12
' 012  xxxy
 
612
7
12
' 2  xxy
 
 
Exercícios. 
 
Calcular as derivadas a seguir. 
a) 
4
3
y
 
b) 
4
7
y
 
c) 
xy 5
 
d) 
34 25 xxy 
 
e) 
2577 43  xxxy
 
f) 
xxxy 52 35 
 
g) 
xxxy 5
3
2 35  
 
h) 
525  xxy
 
 
14.3 DERIVADA DE OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
 
O quadro a seguir mostra as fórmulas para o cálculo das derivadas de 
1532 234  xxxxy
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operações com funções. 
 
OPERAÇÃO FUNÇÃO DERIVADA 
Derivada da Soma de 
Funções wvuy 
 
'''' wvuy 
 
Derivada do Inverso de 
uma Função 
u
y
1

 
2
´
´
u
u
y


 
Derivada do Produto de 
Duas Funções vuy .
 
vuvuy '.'.' 
 
Derivada do Quociente de 
duas Funções 
v
u
y 
 
2
'.'.
'
v
vuuv
y


 
Derivada da Potência de 
uma Função 
 muy 
N c/ m
 
 '.. 1, uumy m
 
Derivada da Raiz de uma 
Função uy  
u
u
y
2
', 
 
Derivada de uma função 
como expoente de uma 
constante 
 
y = a
u
 
 
y´ = a
u
.ln a.u´ 
Derivada de uma função 
como expoente do número 
e 
y = e
u
 y´ = e
u
.u´ 
Derivada do logaritmo 
neperiano de uma função 
y = ln u y´ = u´ / u 
 
14.3.1 Derivada da Soma de Funções 
 
A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das 
funções.'''' wvuy
wvuy

 
 
Exemplo. 
 
Dadas as funções 
23xu 
, 
xv
2
3

 e 
23  xw
, calcular 
'''' wvuy 
. 
 
Solução: calculam-se as derivadas de cada função e, ao final, efetua-se a 
soma das derivadas. 
 
23xu 
 donde 
xxu 63*2' 12  
 
xv
2
3

 donde 
2
3
2
3
2
3
*1' 011   xxv
 
23  xw
 donde 
3303*1' 011   xxw
 
 
Sendo 
'''' wvuy 
, vem: 
 
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5,46'
2
9
6'
2
63
6'
3
2
3
6'





xy
xy
xy
xy
 
 
14.3.2 Derivada do Inverso de uma Função 
 
A derivada do inverso de uma função é igual a derivada da função com 
o sinal trocado, dividido pelo quadrado da função, ou seja: 
 
2
'
'
1
u
u
y
u
y



 
 
Exemplo. 
 
Dada a função 
23
1
x
u 
 calcular 
2
'
'
u
u
y


. 
 
Solução: calcula-se a derivada da função e, ao final, aplica-se na fórmula da 
derivada do inverso. 
 
23xu 
, donde 
xxu 63*2' 12  
 
 
Aplicando na fórmula, vem: 
 
3
4
22
2
3
2
'
:,,
9
6
'
)3(
6
'
'
'
x
y
vemndosimplifica
x
x
y
x
x
y
u
u
y








 
 
14.3.3 Derivada do Produto de Duas Funções 
 
A derivada do produto de duas funções é igual a soma dos produtos de 
uma das funções, pela derivada da outra, ou seja: 
 
vuvuy
vuy
'.'.'
.

 
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Orlando Frizanco 
 
 
Exemplo. 
 
Dadas as funções 
xxu 53 2 
 e 
xxxv 34 23 
, calcular
vuvuy '.'.' 
. 
 
Solução: calculam-se as derivadas de cada função e, ao final, efetua-se o 
produto aplicando na fórmula da derivada do produto. 
 
Cálculo de u’. 
xxu 53 2 
 
1112 5*13*2'   xxu
 
01 56' xxu 
 
56'  xu
 
 
Cálculo de v’. 
 
xxxv 34 23 
 
111213 324*3'   xxxv
 
012 3212' xxxv 
 
3212' 2  xxv
 
 
Cálculo de y’ 
 
vuvuy '.'.'  
 u v’ + u’ v 
 
)34).(56()3212).(53(' 2322 xxxxxxxxy 
 
Resolvendo as multiplicações, vem: 
 
 
 
)34).(56()3212).(53(' 2322 xxxxxxxxy 
 
)1552018624(
)1510609636('
23234
23234
xxxxxx
xxxxxxy

 
 
xxxxxx
xxxxxxy
1552018624
1510609636'
23234
23234


 
 
xxx
xxxxxxxxy
15155
18106020662436'
2
22333344


 
xxxxy 30339260' 234 
 
 
14.3.4 Derivada do Quociente de Duas Funções 
 
A derivada do quociente de duas funções u e v é igual a diferença dos 
produtos de uma das funções pela derivada da outra, dividida pelo quadrado da 
função v, ou seja: 
 
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Orlando Frizanco 
 
2
'.'.
'
v
vuuv
y
v
u
y



 
 
Exemplo. 
 
Dadas as funções 
23xu 
 e 
34xv 
, calcular. 
2
'.'.
'
v
vuuv
y


. 
 
Solução: calculam-se as derivadas de cada função e, ao final, efetua-se o 
quociente aplicando na fórmula da derivada do quociente. 
 
Cálculo de u’. 
 
23xu 
, donde: 
xu
xu
6'
3*2' 12

 
 
 
Cálculo de v’. 
 
34xv 
, donde: 
134*3'  xv
 
212' xv 
 
 
Cálculo de y’ 
 
2
'.'.
'
v
vuuv
y


, substituindo os valores, vem: 
 v u’ - u v’ 
 
23
223
)4(
)12).(3()6).(4(
'
x
xxxx
y


 
 
 v2 
 
6
44
4
3624
'
x
xx
y


 
 
6
4
16
12
'
x
x
y


, simplificando vem: 
 
24
3
'
x
y


 
 
14.3.5 Derivada da Potência de uma Função 
 
A derivada da potência de uma função é igual ao produto do expoente 
pela função, com o expoente subtraído de um, multiplicado pela derivada da 
função, ou seja: 
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Se a função for 
 muy  N c/ m
 , então: 
 
 '.. 1, uumy m
 
 
Exemplo. 
 
Dada a função 
3)53(  xy
, sendo 
53  xu
, calcular 
 '.. 1, uumy m
. 
 
Solução: calcula-se a derivada da função u e, ao final, aplica-se na fórmula 
da derivada da potência de função. 
 
Cálculo de u’ 
 
53  xu
 
03*1' 11  xu
 
03' xu 
 
3'u
 
 
Aplicando na fórmula, vem: 
 
 '.. 1, uumy m
 
 
 m u m-1 u’ 
 
 )3(*)53(*3 13,  xy
 
 
 )3(*)53(*3 2,  xy
 
 b) -(a tipodo Notável Produto)53(*9 22,  xy
 
 
Desenvolvendo o produto notável, vem: 
 
 ]55*3*29[*9 22,  xxy
 
 ]25309[*9 2,  xxy
 
22527081 2,  xxy
 
 
14.3.6 Derivada da Raiz de uma Função 
 
A derivada da raiz de uma função é igual ao quociente da derivada de 
u pelo dobro da raiz quadrada de u, ou seja: 
Se a função for 
uy 
, então 
u
u
y
2
', 
. 
 
Exemplo: Dada a função 
)54( 2 xxy 
, sendo 
xxu 54 2 
, calcular
u
u
y
2
', 
. 
 
Solução: calcula-se a derivada da função u e, ao final, aplica-se na fórmula 
da derivada da raiz de função. 
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Cálculo de u’ 
 
xxu 54 2 
 
 
1112 *54*2'   xxu
 
 
01 *58' xxu 
 
 
58'  xu
 
 
Cálculo de 
u
u
y
2
', 
 
 
xx
x
y
542
58
'
2 


 
 
Exercícios. 
 
a) Dadas as funções 
25xu 
, 
xv 7
 e 
xxw 23 2 
, calcular 
'''' wvuy 
. 
 
b) Dada a função 
22
1
x
u 
 calcular 
2
'
'
u
u
y


. 
 
c) Dadas as funções 
xxu 35 2 
 e 
xxxv 723 23 
, calcular
vuvuy '.'.' 
. 
 
d) Dadas as funções 
32xu 
 e 
25xv 
, calcular. 
2
'.'.
'
v
vuuv
y


 
 
e) Dada a função 
4)32(  xy
, sendo 
32  xu
, calcular. 
 '.. 1, uumy m
. 
 
f) Dada a função 
)3( 2 xxy 
, sendo 
xxu 32 
, calcular
u
u
y
2
', 
 
 
14.4 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
 
Quando se obtém a derivada de uma função o resultado é também 
uma função de x e, como tal, também pode ser derivada novamente. 
Calculando-se a derivada da derivada obtém-se a segunda derivada da 
função f. 
Da mesma forma, a derivada da segunda derivada é chamada de 
terceira derivada e assim por diante. 
A notação mais utilizada é: 
 
 f'(x), f''(x), f'''(x), … 
 
Exemplo: Obter a terceira derivada de 
135734 2345  xxxxxy
 . 
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Solução: 
 
Cálculo da 1ª derivada. 
 
135734 2345  xxxxxy
 
057*233*44*5' 1112131415   xxxxxy
 
01234 51431220' xxxxxy 
 
51431220' 234  xxxxy
 
 
Cálculo da 2ª derivada. 
 
51431220' 234  xxxxy
 
0143*212*320*4'' 11121314   xxxxy
 
0123 1463680'' xxxxy 
 
1463680'' 23  xxxy
 
 
Cálculo da 3ª derivada. 
 
1463680'' 23  xxxy
 
0636*280*3''' 111213   xxxy
 
012 672240''' xxxy 
 
672240''' 2  xxy
 
 
Exercícios. 
 
g) Obter a segunda derivada de 
2472 234  xxxxy
 
 
h) Obter a terceira derivada de 
14553 345  xxxxy
 
 
14.5 APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
 
Matematicamente, a derivada é utilizada para o estudo de taxas nas 
quais variam grandezasfísicas. De modo geral, ela permite aplicar suas 
propriedades a qualquer quantidade ou grandeza, desde que ela seja 
representada por uma função. 
As aplicações da derivada são variadas, mas em todos os casos ela 
está sempre relacionada a uma taxa de variação. Pensa-se na derivada como 
o coeficiente angular da reta tangente, porém é importante lembrar que ela 
pode ser usada para indicar a taxa que o gráfico apresenta em uma curva que 
deve subir ou descer. 
Entre as numerosas aplicações da derivada, muitas estão ligadas a: 
tempo, temperatura, volume, custo, pressão, consumo de gasolina, poluição do 
ar, lucros e despesas de uma companhia, ou seja, qualquer quantidade que 
possa ser representada por uma função. Os problemas citados são chamados 
de problemas de otimização. 
 
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14.5.1 Taxa de variação num ponto da função 
 
Uma das aplicações de derivadas mostradas a seguir envolve taxas 
instantâneas de variação num ponto, ou simplesmente taxa de variação 
num ponto da função. 
 
Definição: De modo geral, se 
)(xfy 
 é uma função, a razão 
x
y


 é 
chamada de taxa média de variação da função 
f
 no intervalo 
 xxx ,
 e a 
derivada 
x
xfxxf
x
y
f
xx 






)()(
limlim'
00
 é chamada de taxa de variação 
da função 
f
 no ponto 
x
, ou seja: 
 
Toda taxa de variação pode ser interpretada como uma derivada. 
 
Interpretando a derivada desta forma, vários problemas de taxa de 
variação podem ser resolvidos. 
 
Exemplos de aplicações de derivadas. 
 
Exemplo 1: Supondo que um caminhão tanque acidentado derrama óleo que 
se espalha em forma circular em um terreno plano e que o raio da contaminação 
cresce a uma taxa de 3 m/h. Com que velocidade a área de derramamento estará 
crescendo no instante em que o raio atingir 80 m? 
 
Solução: A taxa de crescimento do raio é de 3 m/h e pode-se interpretar em 
relação a variação do tempo como: 
 
hm
dt
dr
t
r
tempo
raio
/3





 
 
Como se quer calcular a velocidade de crescimento da área de 
derramamento pode-se fazer: 
 
dt
dA
t
A
tempo
Área






 
 
Como a área do derramamento é circular, então 
2.rA 
 e pelas 
propriedades das razões pode-se multiplicar e dividir a razão acima por 
dr
, sem que 
isto altere o resultado, logo: 
 
dt
dr
dr
dA
dr
dr
dt
dA
dt
dA
** 
 
 
Como 
hm
dt
dr
/3
 e 
2.rA 
, vem: 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
- 17 - 
Orlando Frizanco 
 
3*
..2
**
2
dr
r
dt
dr
dr
dA
dr
dr
dt
dA
dt
dA 

 
 
Donde: 
 
3*..2 r
dt
dA

 
3*80*14,3*2
dt
dA
 
3,1507
dt
dA
 
 
Resposta: A área de derramamento estará crescendo no instante em que o 
raio atingir 80 m, na velocidade de 1507,3 m/h.
 
Exemplo 2: Uma cidade é atingida por uma doença epidêmica. A área de 
saúde do município calcula que o número n de pessoas atingidas pela doença depois 
de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, 
aproximadamente, dado por 
3
60
3t
tn 
. 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 5? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 7° dia? 
Solução: 
 
a) A taxa de expansão da epidemia pode ser interpretada em relação à 
variação do tempo como: 
 
3
60
3t
tn 
 
13*
3
3
60  t
dt
dn
 
260 t
dt
dn

 
 
Donde para t=5, vem: 
 
352560560)5( 2 
dt
dn
 
 
Logo, no tempo t=5, a moléstia estará se espalhando na razão de 35 pessoas 
por dia. 
 
b) Para o tempo igual a 8 dias vem: 
 
46460860)8( 2 
dt
dn
 
 
Observação: No 8º dia a epidemia estará controlada, pois o número de 
pessoas afetadas é menor que 1. 
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- 18 - 
Orlando Frizanco 
 
 
c) O número de pessoas atingidas pela doença no 7º dia será dado por: 
 
114960760)7( 2 
dt
dn
 
 
Logo, no tempo t=7, a doença atingiu 11 pessoas. 
 
Exemplo 3: Um administrador estima que quando x unidades de certo 
produto são vendidas, a receita bruta associada ao produto é dada por 
124,0 2  xxR
 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita quando 5 
unidades estão sendo vendidas? Interprete o resultado obtido. 
 
Solução: A taxa de variação da receita é dada pela derivada da função: 
 
124,0 2  xxR
 
 
101112 1*02*14,0*2'   xxxR
 
 
028,0' 01  xxR
 
 
28,0'  xR
 
 
Observação: apenas para ilustrar, usamos a notação 
'R
 para a derivada, ao 
invés de 
dx
dR
, como foi feito nos exercícios anteriores. 
 
Para x=5 unidades vendidas do produto vêm: 
 
2)5(*8,0' R
 
 
624' R
 
 
Logo, a receita para uma venda de 5 unidades estará aumentando na razão 
de 6 mil por unidade. 
 
Exercícios. 
 
1) Um navio esbarrou em um recife ao se aproximar no porto. Isto causou 
um rasgo no casco e um vazamento de óleo combustível. O derramamento de óleo se 
espalha em forma circular no mar de tal modo que o raio da contaminação cresce a 
uma taxa de 2 m/h. Com que velocidade a área de derramamento estará crescendo no 
instante em que o raio atingir 40 m? 
 
2) Uma cidade é atingida por uma doença epidêmica. A área de saúde do 
município calcula que o número n de pessoas atingidas pela doença depois de um 
tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, 
dado por 
3
81
3t
tn 
. 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 9? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 6° dia? 
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- 19 - 
Orlando Frizanco 
 
 
3) Um comerciante estima que quando x unidades de certo produto são 
vendidas, a receita bruta associada ao produto é dada por 234,0 23  xxxR 
milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita quando 8 unidades estão 
sendo vendidas? Interprete o resultado obtido. 
 
14.5.2 Cálculo de Máximos e Mínimos de Funções 
 
Outra aplicação de derivadas envolve o cálculo de máximos e mínimos 
de funções, conforme exemplos mostrados adiante. 
 
Definição: Uma função 
f
 se diz ter um máximo relativo em 
0x
 se 
houver um intervalo aberto contendo 
0x
, no qual 
)( 0xf
 é o maior valor, isto é, 
)()( 0 xfxf 
 para todo 
x
 no intervalo. Da mesma forma, se diz que 
f
 tem um 
mínimo relativo em 
0x
 se houver um intervalo aberto contendo 
0x
, no qual 
)( 0xf
 é o menor valor, isto é 
)()( 0 xfxf 
 para todo 
x
 no intervalo. Quando 
f
 
tiver um máximo ou mínimo relativo em 
0x
 se diz que 
f
 tem um extremo 
relativo em 
0x
. 
 
Exemplo 1: Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 90 m, 
cuja área é a maior possível. 
 
Solução: 
 
Em um retângulo tem-se: 
 
 x 
 
 y y 
 
 x 
onde o perímetro é a soma dos lados e, no caso igual a 90 metros. 
 
9022  yx
 Equação 1 
 
A área do retângulo é dada por: 
 
yxA .
 Equação 2 
 
Como x e y são os lados do retângulo, as duas equações estão relacionadas. 
Da equação 1 vem: 
 
9022  yx
 
xy 2902 
 
2
290 x
y


 
xy  45
 
 
Substituindo este valor de y na Equação 2, vem: 
 
yxA .
 
)45.( xxA 
 
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- 20 - 
Orlando Frizanco 
 
245 xxA 
 Equação 3 
 
Como x representa o comprimento, este não pode ser negativo e como os 
dois lados de comprimento x não podem ter um comprimento juntos que ultrapasse o 
perímetro de 90 m, então a variável x está restrita ao intervalo 
 450  x
. 
Logo, o problema está determinado a encontrar o valor ou valores de x no 
intervalo [0, 45] para que A seja máxima. Como A é um polinômio contínuo em [0, 45], 
o máximo ocorre nos extremos deste intervalo ou em um ponto estacionário. 
 
Calculando a derivada da Equação 3, vem: 
 
245 xxA 
 
1211 *245'   xxA
 
10 *245' xxA 
 
xA 245' 
 
 
Fazendo A’ = 0, vem: 
 
0245  x
 
x245
 
x
2
45
 ou 
5,22x
 
 
Assim, o máximo ocorre em um dos pontos: 
 
x = 0, x = 22,5 ou x = 45 
 
Ao substituir os valores acima em (3), encontra-se os valores apresentados 
na tabela abaixo, de modo que a área máxima é de 625 m2 e ocorre em x = 22,5, que 
está totalmente de acordo com o gráfico de (3). A partir de (2), resulta y = 22,5. 
Portanto, o retângulo de perímetro 90 m com maior área é um quadrado de lado igual 
a 22,5 m. 
 
x A 
0 0 
22,5 506,25 
45 0 
 
 
 
Para x=22,5, vem: 
 
245 xxA 
 
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- 21 - 
Orlando Frizanco 
 
2)5,22()5,22(*45 A
 
506,251012,5A
 
506,25A
 
 
Para x=45, vem: 
245 xxA 
 
2)45()45(*45 A
 
20252025A
 
0A
 
 
Observação: No caso, foram incluídos os valores de x = 0 e x = 45 como 
possíveis valores de x, mesmo que esses valores resultem em um retângulo com dois 
lados de comprimento zero. Utilizar ou não esses valores dependerá do problema em 
questão. Se for um problema real, no qual o retângulo é formado com algum material 
concreto, então estes valores devem ser descartados. 
 
Exemplo 2: Um determinado produto fabricado por uma indústria é vendido 
a granel a um preço de R$ 150,00 por unidade. Se o custo da produção, em reais, 
para x unidades for 
2003,060000.300)( xxxC 
 e se a capacidade de produção 
for de, no máximo, 25.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades do 
produto devem ser fabricados e vendidos naquele tempo para maximizar o lucro? 
 
Solução: 
 
Antes de resolver é preciso fazer algumas considerações sobre lucro, receita 
e custo aplicáveis ao caso em questão e que são levados em consideração por 
economistas, administradores, empresários e industriais. 
 
Função-custo 

 C(x) = Custo total da produção de x unidades de um 
produto, durante certo período de tempo; 
Função-rendimento ou Função-receita 

 R(x) = Rendimento total da 
venda de x unidades de um produto, durante certo período de tempo, e 
Função-lucro 

 L(x) = Lucro total obtido na venda de x unidades de um 
produto, durante certo período de tempo. 
Se for considerado que todas as unidades produzidas serão vendidas, haverá 
a seguinte relação entre estas funções: 
 
L(x) = R(x) - C(x) 
[Lucro] = [Receita] – [Custo] 
 
No problema, considera-se que cada unidade do produto é vendida a um 
preço de R$ 150,00 por unidade, ou seja, o rendimento total da venda de x unidades 
desse produto é dada pela função: 
 
R(x) = 150x 
 
Como o problema informa a função custo total de produção para x unidades, 
logo o lucro L(x) sobre x unidades será: 
 
)()()( xCxRxL 
 
 
)003,060000.300(150)( 2xxxxL 
 
 
2003,060000.300150)( xxxxL 
 
 
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- 22 - 
Orlando Frizanco 
 
2003,0000.30090)( xxxL 
 
 
000.30090003,0)( 2  xxxL
 
 
Como a capacidade de produção é de no máximo 25.000 unidades, então x 
deve pertencer ao intervalo [ 0; 25.000 ]. Assim, para descobrir quantas unidades 
devem ser fabricadas e vendidas em um determinado tempo para maximizar o lucro, 
tem-se que derivar a função lucro e encontrar o possível ponto crítico (máximo) no 
intervalo determinado. 
Assim vem: 
 
000.30090003,0)( 2  xxxL
 
 
Derivando, 
 
101112 *000.300*090*1*)003,0(*2'   xxxL
 
 
090006,0' 0  xxL
 
 
90006,0'  xL
 
 
Fazendo 
0'L
 para encontrar o ponto crítico, vem: 
 
090006,0  x
 
 
90006,0  x
 
 
006,0
90


x
 
 
15000x
 
 
O resultado encontrado pertence ao intervalo [ 0 ; 25000 ], então o lucro 
máximo deve ocorrer em um dos pontos: 
 
0x
, 
15000x
 ou 
25000x
 
 
Substituindo estes valores de x na função lucro
)(xL
, vem: 
 
Para 
0x
 
 
000.30090003,0)( 2  xxxL
 
 
000.300)0(90)0(003,0)0( 2 L
 
 
000.300)0( L
 
 
Para 
15000x
 
 
000.30090003,0)( 2  xxxL
 
 
000.300)15000(90)15000(003,0)15000( 2 L
 
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000.300)15000(90225000000*003,0)15000( L
 
000.3001350000675000)15000( L
 
 
375000)15000( L
 
 
Para 
25000x
 
 
000.30090003,0)( 2  xxxL
 
 
000.300)25000(90)25000(003,0)25000( 2 L
 
 
000.3002250000)625000000(003,0)25000( L
 
 
000.30022500001875000)25000( L
 
 
000.30022500001875000)25000( L
 
 
75000)25000( L
 
 
Pelos cálculos se vê que o lucro máximo é de L=375.000 e acontece quando 
x = 15.000 unidades forem fabricadas e vendidas no tempo especificado, conforme 
mostra a tabela a seguir. 
 
x L(x) 
0 - 300.000 
15.000 375.000 
25.000 75.000 
 
Exercícios. 
 
1) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 120 m, cuja área é 
a maior possível. 
 
2) Um determinado produto fabricado por uma indústria é vendido a granel a 
um preço de R$ 250,00 por unidade. Se o custo da produção, em reais, para x 
unidades for 
2005,070000.150)( xxxC 
 e se a capacidade de produção for de, 
no máximo, 25.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades do produto 
devem ser fabricados e vendidos naquele tempo para maximizar o lucro?