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MATRIZES E DETERMINANTES

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Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
1 
 
11 MATRIZES E DETERMINANTES 
 
A teoria das matrizes e determinantes surgiu em 
pesquisas iniciadas no final do século XVII, por Leibnitz, 
na Europa, e Seiki Kowa, no Japão, com a finalidade de 
simplificar as trabalhosas eliminações necessárias à 
resolução de sistemas de equações do 1º grau e n 
incógnitas. 
Matrizes e determinantes são importantes na 
Matemática Aplicada e na área da computação. Para 
elaborar programas de computador, o entendimento dos 
conceitos de matrizes é fundamental. 
 
11.1 MATRIZES – CONCEITOS BÁSICOS 
 
Chama-se matriz a uma tabela de elementos 
dispostos em linhas e colunas. 
 
Exemplo. Considerando a tabela abaixo: 
 
Nome Idade 
(anos) 
Peso (kg) Altura (cm) 
João da Silva 84 65 175 
Maria Pereira 26 64 170 
Mario Silveira 35 78 180 
Luzia Moreira 44 65 182 
Osmar Pedreira 50 72 178 
Orlando Frizanco 63 93 180 
Robson Ricardo 38 90 192 
 
Se forem extraídos os significados das linhas e 
colunas, obtém-se a matriz mostrada a seguir. 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
2 
 
1929038
1809363
1787250
1826544
1807835
1706426
1756584
 
 
Definição: Em matemática, uma matriz m X n é 
uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre 
um conjunto, normalmente um corpo, F, representada 
sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito 
utilizadas para a resolução de sistemas de equações 
lineares e transformações lineares. 
 
Em programação de computadores, as matrizes 
são usadas em memória para organizar e acessar 
dados, sob a forma de tabelas. 
 
Formalmente, em matemática, uma matriz de m 
linhas e n colunas, é representada da seguinte forma: 
 
 
mxnji
nmmm
n
n
mxn a
aaa
aaa
aaa
A ,
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
...
............
...
...













 
 
Onde aij é o elemento característico da matriz, 
com i representando a linha e j, a coluna. 
 
As linhas horizontais da matriz são chamadas de 
linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. 
Uma matriz com m linhas e n colunas é 
chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
3 
 
e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. 
 
Exemplo. 
 
A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com 
elementos naturais. 







654
321
32xA
 
 
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima 
linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i, j)-
ésimo elemento de A. 
Ele é escrito como ai,j ou a[i, j]. No exemplo acima, o 
elemento a1,2 é 2, ou seja, o número na primeira linha e 
segunda coluna do quadro. 
 
Exemplo. 
 
Dada a matriz B a seguir, identifique os elementos 
solicitados. 











0902
92
902log3
0
2
02
33
Cos
tg
Sen
A x 
 
 
a) A3,1 = 2 
 
b) a3,3 = 0 
 
c) a2,2 = 2tg 
 
d) a1,3 = 090Sen 
 
A seguir está mostrado como criar uma matriz A e 
uma matriz B com os respectivos valores utilizando o 
SCILAB. 
----------------------------------------------------------------------- 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
4 
 
-->// Matriz A - Elementos das linhas separados por 
espaço. 
-->A = [1 2 3; 5 -8 9] 
A = 
! 1. 2. 3. ! 
! 5. - 8. 9. ! 
 
-->// Matriz B - Elementos das linhas separados por 
vírgulas. 
 
 -->B = [1, 2, 3; 4, 5, 6] 
B = 
! 1. 2. 3. ! 
! 4. 5. 6. ! 
----------------------------------------------------------------------- 
A seguir está mostrado como o SCILAB também 
permite obter o tamanho das matrizes A e B, conforme mostra 
o exemplo. 
----------------------------------------------------------------------- 
-->size(A) // Dimensão da matriz A 
ans = 
! 2. 3. ! 
 
-->size(B) // Dimensão da matriz B 
ans = 
! 2. 3. ! 
----------------------------------------------------------------------- 
Outra forma de digitar matrizes no ambiente SCILAB, 
é separar os elementos de uma linha por espaço (ou por 
vírgula) e as linhas separadas por enter, conforme mostrado a 
seguir. 
---------------------------------------------------------------------- 
-->M = [ 1 2 3 4 
-->5 6 7 8 
-->9 11 13 15] 
 
M = 
! 1. 2. 3. 4. ! 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
5 
 
! 5. 6. 7. 8. ! 
! 9. 11. 13. 15. ! 
---------------------------------------------------------------------- 
11.2 MATRIZES EQUIVALENTES 
 
Definição: Duas matrizes 
 
mxnjimxn
aA ,
 e 
 
rxsjirxs
bB ,
 são equivalentes se elas têm o mesmo 
número de linhas ( m = r ) e colunas ( n = s ) e todos os 
seus correspondentes são iguais 
 srji ba ,, 
. 
 
Exemplo. 
 
As matrizes A e B a seguir, são equivalentes, ou 
iguais. 






















0041,1
32
1301,09
0902
92
902log3
2
33
0
2
02
33  tgB
Cos
tg
Sen
A xx
 
 
11.3 TIPOS DE MATRIZES 
 
A seguir estão apresentados os tipos especiais 
de matrizes. 
 
Matriz Quadrada: É aquela cujo número de 
linhas é igual ao número de colunas. 
 
Exemplos. 
 
33
632
784
902
x













 
22
24
32
x







 
  114 x
 
 
Matriz Nula: É aquela cujos elementos são 
todos iguais a zero. 
 
Exemplos. 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
6 
 
 
33
000
000
000
x










 
22
00
00
x






 
  110 x
 
 
Matriz Coluna: É aquela que tem apenas uma 
coluna e uma ou mais linhas. É chamada de vetor 
coluna. 
 
Exemplos. 
 
14
0
0
3
3
30
30
x
Cos
Sen














 
13
3
2
1
x










 
12
1
4
x







 
 
Matriz Linha: É aquela que tem apenas uma 
linha e uma ou mais colunas. É chamada de vetor linha. 
 
Exemplos. 
 
 
31
0 0930
x
Sen
 
 
41
53221
x

 
  114 x
 
 
Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde 
apenas a diagonal da esquerda para a direita tem 
valores e os demais são zero. Ou seja, ai,j = 0  i ≠ j. 
 
Exemplos. 
 
33
300
020
001
x










 
22
100
01
x






 
  112 x
 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
7 
 
 
Matriz Identidade: É uma matriz quadrada onde 
a diagonal da esquerda para a direita tem valores iguais 
a 1 e os demais são zero. Ou seja, ai,j = 1  i = j.e ai,j = 0 

i ≠ j. 
Exemplos. 
 
33
100
010
001
x










 
22
10
01
x






 
  111 x
 
 
Uma propriedade da matriz identidade é que 
multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz, ou seja: 
MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordem m x n. 
 
Triangular Superior: É uma matriz quadrada 
onde todos os elementos abaixoda diagonal são nulos, 
isto é, ai,j = 0  i > j. 
 
Exemplo. 
44
1000
2400
1020
1543
x















 
 
Triangular Inferior: É uma matriz quadrada 
onde todos os elementos acima da diagonal são iguais a 
zero, isto é: ai,j = 0  i < j. 
 
Exemplo. 
 
 
 
44
1842
0453
0024
0003
x














Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
8 
 
 
Simétrica: É uma matriz quadrada onde ai,j = aj,i 

 i,j. 
Exemplo. 
 
 
 
 
 
Exemplos de Matrizes no SCILAB. 
 
Podem-se usar funções internas do SCILAB para 
gerar matrizes. Por exemplo, usamos a função ones para 
criar a matriz D € R
2×3
, com todos os elementos iguais a 1. 
---------------------------------------------------------------------- 
-->D = ones(2,3) 
D = 
 
! 1. 1. 1. ! 
! 1. 1. 1. ! 
 
--> 
---------------------------------------------------------------------- 
Pode-se usar a função zeros para criar a matriz E € 
R
3×3
, com todos os elementos iguais a 0, 
---------------------------------------------------------------------- 
-->E = zeros(3,3) 
E = 
 
! 0. 0. 0. ! 
! 0. 0. 0. ! 
! 0. 0. 0. ! 
 
--> 
---------------------------------------------------------------------- 
33
354
572
421
x












Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
9 
 
Criação de uma matriz identidade, através da função 
interna eye, 
---------------------------------------------------------------------- 
-->I = eye(4,4) 
I = 
 
! 1. 0. 0. 0. ! 
! 0. 1. 0. 0. ! 
! 0. 0. 1. 0. ! 
! 0. 0. 0. 1. ! 
--> 
---------------------------------------------------------------------- 
Usando o comando matrix, transformar os números 
inteiros de 1 a 12, numa matriz de 4 linhas e 3 colunas e 
atribui-la a M. 
---------------------------------------------------------------------- 
-->M=matrix(1:12, 4,3) 
M = 
1. 5. 9. 
2. 6. 10. 
3. 7. 11. 
4. 8. 12. 
--> 
---------------------------------------------------------------------- 
Como criar matrizes, no SCILAB, a partir de 
elementos de outras matrizes. 
---------------------------------------------------------------------- 
-->A = [1 2; 3 4]; 
-->B = [5 6; 7 8]; 
-->C = [9 10; 11 12]; 
-->// Definindo a matriz D. 
-->D = [A B C] 
 D = 
 1. 2. 5. 6. 9. 10. 
 3. 4. 7. 8. 11. 12. 
--> 
-->// Definindo uma matriz E a partir dos elementos 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
10 
 
de D. 
-->E = matrix (D,3,4) 
E = 
! 1. 4. 6. 11. ! 
! 3. 5. 8. 10. ! 
! 2. 7. 9. 12. ! 
---------------------------------------------------------------------- 
 
11.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
A seguir estão apresentadas algumas operações 
que podem ser realizadas com matrizes. 
 
11.4.1 Adição 
 
Para efetuar uma adição (soma) de matrizes, as 
mesmas devem ter o mesmo número de linhas e de 
colunas, ou seja: 
 
 
mxnjiji
baBA ,, 
, onde 
 jimxn aA ,
 e 
 jimxn bB ,
 
 
Exemplo. 
 
 
 
 
 
A seguir está mostrado como o SCILAB também 
permite fazer operações com matrizes. 
 
Exemplo. 
 
Definir e somar as matrizes A e B conforme acima. 


































97
75
05
43
53
34
54
22
31
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
11 
 
---------------------------------------------------------------------- 
-->A=[1 -3; 2 -2; 4 5] 
 A = 
 1. - 3. 
 2. - 2. 
 4. 5. 
-->B=[4 3; 3 -5; 3 4] 
 B = 
 4. 3. 
 3. - 5. 
 3. 4. 
-->A+B 
 ans = 
 5. 0. 
 5. - 7. 
 7. 9. 
 --> 
---------------------------------------------------------------------- 
 
11.4.1.1 Propriedades da Adição 
 
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem 
mxn, valem as seguintes propriedades: 
 
(i) A + B = B + A (comutatividade) 
(ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (associatividade) 
(iii) A + 0 = A onde 0 é a matriz nula mxn. 
 
Exemplo. 
 
Dadas as Matrizes A, B e C a seguir, prove que A + 
(B + C) = (A + B) + C . 
 
A= B= C= 
 
Solução: 












604
533
341










654
546
331











604
573
321
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
12 
 
 
 A + ( B + C ) = 
 
+ + = 
+










1258
10113
650
=










18512
15140
991
 
 
 ( A + B ) + C = 
 
+ + = 
 










1258
1073
672
+ =










18512
15140
991
 
 
Verifica-se que os resultados são iguais, logo a 
propriedade é valida. 
A seguir está mostrado como o SCILAB também 
permite fazer este exercício. 
---------------------------------------------------------------------- 
 
-->A=[-1 4 3; -3 3 5; 4 0 6] 
 A = 
 - 1. 4. 3. 
 - 3. 3. 5. 
 4. 0. 6. 
-->B=[0 5 6; 3 11 10; 8 5 12] 
 B = 












604
533
341










654
546
331











604
573
321












604
533
341












604
533
341










654
546
331











604
573
321











604
573
321
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
13 
 
 0. 5. 6. 
 3. 11. 10. 
 8. 5. 12. 
-->C=[1 2 3; -3 7 5 ; 4 0 6] 
 C = 
 1. 2. 3. 
 - 3. 7. 5. 
 4. 0. 6. 
 
-->A+(B+C)==(A+B)+C 
 ans = 
 
 T T T 
 T T T 
 T T T 
----------------------------------------------------------------------- 
O resultado é True (Verdadeiro), logo está 
comprovada a propriedade. 
 
11.4.2 Multiplicação por escalar 
 
Para efetuar uma multiplicação de matrizes por 
um escalar, dadas as matrizes A e B de mesma ordem 
mxn e números reais k, k1 e k2 , têm-se as 
propriedades a seguir. 
 
I) 
II) 
III) 
IV) 
 
Exemplos de operações com matrizes. 
 
1) Dada a Matriz A multiplique a mesma pelo escalar 5. 
AkkAkk
A
AkAkAkk
kBkABAk
)..()..(
0.0
..).(
)(
2121
2121




Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
14 
 
A= 
 
Solução: 
 
A*5 =5*






































302520
251515
15205
5*65*55*4
5*55*35*3
5*35*45*1
654
533
341
 
 
2) Na confecção de três modelos de camisas (A, B e 
C) são usados botõesgrandes (G) e pequenos (P). O número 
de botões por modelos é dado pela tabela: 
 
 Camisa A Camisa B Camisa C 
Botões P 3 1 3 
Botões G 6 5 5 
 
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, 
nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: 
 
 Maio Junho 
Camisa A 100 50 
Camisa B 50 100 
Camisa C 50 50 
 
Nestas condições, pede-se calcular a tabela que dá o 
total de botões usados em maio e junho. 
 
Solução: 
 
Basta somar o total de botões grandes e pequenos 
de cada modelo de camisa e, a seguir, montar uma tabela, 
multiplicando o total de cada camisa no mês correspondente e 
totalizar. 
 Maio Junho 
Camisa A 
100*(3+6)= 
100*(9)= 900 
50*(3+6)= 
50*(9)=450 












654
533
341
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
15 
 
Camisa B 
50*(1+5)= 
50*(6)=300 
100*(1+5)= 
100*(6)=600 
Camisa C 
50*(3+5)= 
50*(8)=400 
50*(3+5)= 
50*(8)=400 
TOTAL 1.600 1.450 
 
Resposta: Em maio foram utilizados 1.600 botões e 
em abril foram utilizados 1.450 botões. 
3) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i 
= j e i – j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas 
condições. E calcule A ̶ A 
 
Solução: Basta utilizar a representação da definição 
de matriz e aplicar, para cada elemento, as condições 
indicadas no enunciado e lembrando que a matriz é do tipo 2 
x 2. 
A = ( aij ) 2 x 2 = 






2,21,2
2,11,1
aa
aa 
 
Aplicando as condições aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ 
j, e lembrando que i é o número da linha e que j é o número 
da coluna, vem: 
 





 















41
12
2212
2111
2,21,2
2,11,1
aa
aa
A
 
 
Calculando A – A, vem: 
 











 





 

00
00
41
12
41
12
AA
 
 
11.5 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
Seja A= [ aij ] uma matriz do tipo m x n e B= [ bij 
] uma matriz do tipo n x p, de modo que o número de 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
16 
 
colunas de A seja igual ao número de linhas de B. 
Define-se matriz produto de A por B, indicada por AB, 
como sendo a matriz AB = [ cij ], mx p, em que 
 
.1,1,...(*) 22111 pimibababac njinjijii 
 
 
Assim, para obter o elemento na i-ésima linha e 
na j-ésima coluna de AB, multiplica-se, mantendo a 
ordem natural, os elementos da i-ésima linha de A pelos 
elementos da j-ésima coluna de B e adiciona-se os 
resultados dessas multiplicações. 
 
Exemplo 
 
Efetuar a multiplicação das duas matrizes a seguir. 
 













412
010
231
A
 e 










1
1
2
0
15
B
, então: 
 
(-1) (5) + (3) (0) + (2) (2) = -1, 
(-1) (1) + (3) (-1) + (2) (-1) = -6, 
(0) (5) + (1) (0) + (0) (2) = 0, 
(0) (1) + (1) (-1) + (0) (-1) = -1, 
(2) (5) + (-1) (0) + (4) (2) = 18, 
(2) (1) + (-1) (-1) + (4) (-1) = -1 
 
logo, 












1
1
18
0
61
AB
 
 
11.5.1 Propriedades do Produto de Matrizes 
 
Dadas as matrizes A, B e C de ordem m x n, n x 
r e r x s, respectivamente valem as seguintes 
propriedades: 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
17 
 
 
( A B ) C = A ( B C ) (associativa) 
 
Sejam as matrizes A e B de ordem m x n, C uma 
matriz r x m e D uma matriz n x s, então: 
 
C ( A + B ) = C A + C B e ( A + B ) D = A D + B D (distributiva) 
 
11.6 MATRIZ TRANSPOSTA 
 
Dada uma matriz A = [ aij ]mxn , indicada por A
t, é 
a matriz obtida escrevendo as linhas de A como colunas. 
Isto é, At = [ aji ] nxm. 
 
Exemplo. 
 
Calcular a Matriz Transposta da Matriz A. 
 
Dado 
34
12
9
11
8
10
7
654
321
x
A














 , vem: 
 
43
12
11
10
963
852
741
x
tA











 
 
11.6.1 Propriedades da Matriz Transposta 
 
A matriz transposta tem as seguintes 
propriedades: 
 
1) 
;)( AA tt 
 
 
2) 
;)( ttt BABA 
 
 
3) 
,)( tt aCaC 
 em que a é um escalar; 
 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
18 
 
4) 
ttt ABAB )(
 (a transposta do produto é o produto 
das transpostas na ordem inversa). 
 
Exercícios. 
 
1) Dada a Matriz A, multiplique-a pelo escalar 7. 
 
A=












354
633
344
 
 
2) Dadas as Matrizes A e B a seguir, calcule A + B. 
 
A=











602
534
342
B=










657
346
531
 
 
3) Dadas as Matrizes A, B e C a seguir, prove que A + (B 
+ C) = (A + B) + C. 
 
A=









 
605
537
311
B=









 
354
646
232
C= 
 
4) Considerando as matrizes A = [ 8 - 2 3 ], B = [ 20 12 
14 ] e C = [ -4 5 -7 ], determine: 
a) A + B – C 
b) A – B – C 
c) A – B +C 
 
5) Identifique na matriz A = os elementos 
a3,2 = ____ ; a2,3= ____ ; a1,3= ____ . 











604
573
321












0
0
02
0
2
1
1
903
302log3
tg
Sen
Cos

Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
19 
 
 
6) Informe pelo menos quatro tipos de matriz conhecidas: 
a) _______________________; b) ________________; 
 c) _______________________; d) ________________. 
 
7) Na confecção de três Antenas de Transmissão / 
Recepção, modelos (1, 2 e 3) são usados parafusos grandes (G) e 
pequenos (P). O número de parafusos por modelo é dado pela 
tabela: 
 
 Antena 1 Antena 2 Antena 3 
Parafuso G 22 10 4 
Parafuso P 40 35 50 
 
O número de antenas montadas, de cada modelo, nos 
meses de novembro e dezembro, é dado pela tabela: 
 
 Novembro Dezembro 
Antena 1 3 4 
Antena 2 6 7 
Antena 3 9 6 
 
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de parafusos 
usados em novembro e dezembro. 
 
 Novembro Dezembro 
Antena 1 
Antena 2 
Antena 3 
TOTAL 
 
1) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3, em que aij = i + j, se i = j e 
i – j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas condições e 
calcule A + A. 
 
1) Os espiões e agentes do serviço secreto utilizam 
mensagens codificadas da seguinte forma: Cada letra do alfabeto é 
substituída por um número, dependendo de sua posição mostrada 
na tabela a seguir. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 26 
A B C D E F G H I J K L … Z 
Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores 
(Autor: Orlando Frizanco) 
 
20 
 
 
Escolhidas as letras e os números correspondentes para a 
mensagem, forma-se a matriz a seguir: 
 
M = 






LetraaLetraa
LetraaLetraa
.4.3
.2.1
. 
 
Por exemplo, se M= 






13
113 , a mensagem é MACA. 
 
Para maior segurança, cada mensagem de 4 letras é 
enviada na forma 7 * M. Sendo assim, a mensagem que resulta em 
 






777
777
, significa: 
 
a) CICA 
b) KAKA 
c) CACO 
d) FICA 
 
 
9) Calcular a Matriz Transposta da Matriz 
 
 
10) Efetuar a multiplicaçãodas duas matrizes a seguir. 
 












443
651
232
A
 e 









7
2
5
3
37
B
 
 
 
34
12
10
11
8
9
7
654
2/123
x
A


















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