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Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 1 11 MATRIZES E DETERMINANTES A teoria das matrizes e determinantes surgiu em pesquisas iniciadas no final do século XVII, por Leibnitz, na Europa, e Seiki Kowa, no Japão, com a finalidade de simplificar as trabalhosas eliminações necessárias à resolução de sistemas de equações do 1º grau e n incógnitas. Matrizes e determinantes são importantes na Matemática Aplicada e na área da computação. Para elaborar programas de computador, o entendimento dos conceitos de matrizes é fundamental. 11.1 MATRIZES – CONCEITOS BÁSICOS Chama-se matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo. Considerando a tabela abaixo: Nome Idade (anos) Peso (kg) Altura (cm) João da Silva 84 65 175 Maria Pereira 26 64 170 Mario Silveira 35 78 180 Luzia Moreira 44 65 182 Osmar Pedreira 50 72 178 Orlando Frizanco 63 93 180 Robson Ricardo 38 90 192 Se forem extraídos os significados das linhas e colunas, obtém-se a matriz mostrada a seguir. Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 2 1929038 1809363 1787250 1826544 1807835 1706426 1756584 Definição: Em matemática, uma matriz m X n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares. Em programação de computadores, as matrizes são usadas em memória para organizar e acessar dados, sob a forma de tabelas. Formalmente, em matemática, uma matriz de m linhas e n colunas, é representada da seguinte forma: mxnji nmmm n n mxn a aaa aaa aaa A , ,2,1, ,22,21,2 ,12,11,1 ... ............ ... ... Onde aij é o elemento característico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna. As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 3 e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Exemplo. A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais. 654 321 32xA Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i, j)- ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i, j]. No exemplo acima, o elemento a1,2 é 2, ou seja, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro. Exemplo. Dada a matriz B a seguir, identifique os elementos solicitados. 0902 92 902log3 0 2 02 33 Cos tg Sen A x a) A3,1 = 2 b) a3,3 = 0 c) a2,2 = 2tg d) a1,3 = 090Sen A seguir está mostrado como criar uma matriz A e uma matriz B com os respectivos valores utilizando o SCILAB. ----------------------------------------------------------------------- Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 4 -->// Matriz A - Elementos das linhas separados por espaço. -->A = [1 2 3; 5 -8 9] A = ! 1. 2. 3. ! ! 5. - 8. 9. ! -->// Matriz B - Elementos das linhas separados por vírgulas. -->B = [1, 2, 3; 4, 5, 6] B = ! 1. 2. 3. ! ! 4. 5. 6. ! ----------------------------------------------------------------------- A seguir está mostrado como o SCILAB também permite obter o tamanho das matrizes A e B, conforme mostra o exemplo. ----------------------------------------------------------------------- -->size(A) // Dimensão da matriz A ans = ! 2. 3. ! -->size(B) // Dimensão da matriz B ans = ! 2. 3. ! ----------------------------------------------------------------------- Outra forma de digitar matrizes no ambiente SCILAB, é separar os elementos de uma linha por espaço (ou por vírgula) e as linhas separadas por enter, conforme mostrado a seguir. ---------------------------------------------------------------------- -->M = [ 1 2 3 4 -->5 6 7 8 -->9 11 13 15] M = ! 1. 2. 3. 4. ! Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 5 ! 5. 6. 7. 8. ! ! 9. 11. 13. 15. ! ---------------------------------------------------------------------- 11.2 MATRIZES EQUIVALENTES Definição: Duas matrizes mxnjimxn aA , e rxsjirxs bB , são equivalentes se elas têm o mesmo número de linhas ( m = r ) e colunas ( n = s ) e todos os seus correspondentes são iguais srji ba ,, . Exemplo. As matrizes A e B a seguir, são equivalentes, ou iguais. 0041,1 32 1301,09 0902 92 902log3 2 33 0 2 02 33 tgB Cos tg Sen A xx 11.3 TIPOS DE MATRIZES A seguir estão apresentados os tipos especiais de matrizes. Matriz Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos. 33 632 784 902 x 22 24 32 x 114 x Matriz Nula: É aquela cujos elementos são todos iguais a zero. Exemplos. Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 6 33 000 000 000 x 22 00 00 x 110 x Matriz Coluna: É aquela que tem apenas uma coluna e uma ou mais linhas. É chamada de vetor coluna. Exemplos. 14 0 0 3 3 30 30 x Cos Sen 13 3 2 1 x 12 1 4 x Matriz Linha: É aquela que tem apenas uma linha e uma ou mais colunas. É chamada de vetor linha. Exemplos. 31 0 0930 x Sen 41 53221 x 114 x Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde apenas a diagonal da esquerda para a direita tem valores e os demais são zero. Ou seja, ai,j = 0 i ≠ j. Exemplos. 33 300 020 001 x 22 100 01 x 112 x Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 7 Matriz Identidade: É uma matriz quadrada onde a diagonal da esquerda para a direita tem valores iguais a 1 e os demais são zero. Ou seja, ai,j = 1 i = j.e ai,j = 0 i ≠ j. Exemplos. 33 100 010 001 x 22 10 01 x 111 x Uma propriedade da matriz identidade é que multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz, ou seja: MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordem m x n. Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixoda diagonal são nulos, isto é, ai,j = 0 i > j. Exemplo. 44 1000 2400 1020 1543 x Triangular Inferior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são iguais a zero, isto é: ai,j = 0 i < j. Exemplo. 44 1842 0453 0024 0003 x Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 8 Simétrica: É uma matriz quadrada onde ai,j = aj,i i,j. Exemplo. Exemplos de Matrizes no SCILAB. Podem-se usar funções internas do SCILAB para gerar matrizes. Por exemplo, usamos a função ones para criar a matriz D € R 2×3 , com todos os elementos iguais a 1. ---------------------------------------------------------------------- -->D = ones(2,3) D = ! 1. 1. 1. ! ! 1. 1. 1. ! --> ---------------------------------------------------------------------- Pode-se usar a função zeros para criar a matriz E € R 3×3 , com todos os elementos iguais a 0, ---------------------------------------------------------------------- -->E = zeros(3,3) E = ! 0. 0. 0. ! ! 0. 0. 0. ! ! 0. 0. 0. ! --> ---------------------------------------------------------------------- 33 354 572 421 x Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 9 Criação de uma matriz identidade, através da função interna eye, ---------------------------------------------------------------------- -->I = eye(4,4) I = ! 1. 0. 0. 0. ! ! 0. 1. 0. 0. ! ! 0. 0. 1. 0. ! ! 0. 0. 0. 1. ! --> ---------------------------------------------------------------------- Usando o comando matrix, transformar os números inteiros de 1 a 12, numa matriz de 4 linhas e 3 colunas e atribui-la a M. ---------------------------------------------------------------------- -->M=matrix(1:12, 4,3) M = 1. 5. 9. 2. 6. 10. 3. 7. 11. 4. 8. 12. --> ---------------------------------------------------------------------- Como criar matrizes, no SCILAB, a partir de elementos de outras matrizes. ---------------------------------------------------------------------- -->A = [1 2; 3 4]; -->B = [5 6; 7 8]; -->C = [9 10; 11 12]; -->// Definindo a matriz D. -->D = [A B C] D = 1. 2. 5. 6. 9. 10. 3. 4. 7. 8. 11. 12. --> -->// Definindo uma matriz E a partir dos elementos Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 10 de D. -->E = matrix (D,3,4) E = ! 1. 4. 6. 11. ! ! 3. 5. 8. 10. ! ! 2. 7. 9. 12. ! ---------------------------------------------------------------------- 11.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES A seguir estão apresentadas algumas operações que podem ser realizadas com matrizes. 11.4.1 Adição Para efetuar uma adição (soma) de matrizes, as mesmas devem ter o mesmo número de linhas e de colunas, ou seja: mxnjiji baBA ,, , onde jimxn aA , e jimxn bB , Exemplo. A seguir está mostrado como o SCILAB também permite fazer operações com matrizes. Exemplo. Definir e somar as matrizes A e B conforme acima. 97 75 05 43 53 34 54 22 31 Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 11 ---------------------------------------------------------------------- -->A=[1 -3; 2 -2; 4 5] A = 1. - 3. 2. - 2. 4. 5. -->B=[4 3; 3 -5; 3 4] B = 4. 3. 3. - 5. 3. 4. -->A+B ans = 5. 0. 5. - 7. 7. 9. --> ---------------------------------------------------------------------- 11.4.1.1 Propriedades da Adição Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, valem as seguintes propriedades: (i) A + B = B + A (comutatividade) (ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (associatividade) (iii) A + 0 = A onde 0 é a matriz nula mxn. Exemplo. Dadas as Matrizes A, B e C a seguir, prove que A + (B + C) = (A + B) + C . A= B= C= Solução: 604 533 341 654 546 331 604 573 321 Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 12 A + ( B + C ) = + + = + 1258 10113 650 = 18512 15140 991 ( A + B ) + C = + + = 1258 1073 672 + = 18512 15140 991 Verifica-se que os resultados são iguais, logo a propriedade é valida. A seguir está mostrado como o SCILAB também permite fazer este exercício. ---------------------------------------------------------------------- -->A=[-1 4 3; -3 3 5; 4 0 6] A = - 1. 4. 3. - 3. 3. 5. 4. 0. 6. -->B=[0 5 6; 3 11 10; 8 5 12] B = 604 533 341 654 546 331 604 573 321 604 533 341 604 533 341 654 546 331 604 573 321 604 573 321 Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 13 0. 5. 6. 3. 11. 10. 8. 5. 12. -->C=[1 2 3; -3 7 5 ; 4 0 6] C = 1. 2. 3. - 3. 7. 5. 4. 0. 6. -->A+(B+C)==(A+B)+C ans = T T T T T T T T T ----------------------------------------------------------------------- O resultado é True (Verdadeiro), logo está comprovada a propriedade. 11.4.2 Multiplicação por escalar Para efetuar uma multiplicação de matrizes por um escalar, dadas as matrizes A e B de mesma ordem mxn e números reais k, k1 e k2 , têm-se as propriedades a seguir. I) II) III) IV) Exemplos de operações com matrizes. 1) Dada a Matriz A multiplique a mesma pelo escalar 5. AkkAkk A AkAkAkk kBkABAk )..()..( 0.0 ..).( )( 2121 2121 Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 14 A= Solução: A*5 =5* 302520 251515 15205 5*65*55*4 5*55*35*3 5*35*45*1 654 533 341 2) Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botõesgrandes (G) e pequenos (P). O número de botões por modelos é dado pela tabela: Camisa A Camisa B Camisa C Botões P 3 1 3 Botões G 6 5 5 O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: Maio Junho Camisa A 100 50 Camisa B 50 100 Camisa C 50 50 Nestas condições, pede-se calcular a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. Solução: Basta somar o total de botões grandes e pequenos de cada modelo de camisa e, a seguir, montar uma tabela, multiplicando o total de cada camisa no mês correspondente e totalizar. Maio Junho Camisa A 100*(3+6)= 100*(9)= 900 50*(3+6)= 50*(9)=450 654 533 341 Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 15 Camisa B 50*(1+5)= 50*(6)=300 100*(1+5)= 100*(6)=600 Camisa C 50*(3+5)= 50*(8)=400 50*(3+5)= 50*(8)=400 TOTAL 1.600 1.450 Resposta: Em maio foram utilizados 1.600 botões e em abril foram utilizados 1.450 botões. 3) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas condições. E calcule A ̶ A Solução: Basta utilizar a representação da definição de matriz e aplicar, para cada elemento, as condições indicadas no enunciado e lembrando que a matriz é do tipo 2 x 2. A = ( aij ) 2 x 2 = 2,21,2 2,11,1 aa aa Aplicando as condições aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j, e lembrando que i é o número da linha e que j é o número da coluna, vem: 41 12 2212 2111 2,21,2 2,11,1 aa aa A Calculando A – A, vem: 00 00 41 12 41 12 AA 11.5 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Seja A= [ aij ] uma matriz do tipo m x n e B= [ bij ] uma matriz do tipo n x p, de modo que o número de Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 16 colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Define-se matriz produto de A por B, indicada por AB, como sendo a matriz AB = [ cij ], mx p, em que .1,1,...(*) 22111 pimibababac njinjijii Assim, para obter o elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna de AB, multiplica-se, mantendo a ordem natural, os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B e adiciona-se os resultados dessas multiplicações. Exemplo Efetuar a multiplicação das duas matrizes a seguir. 412 010 231 A e 1 1 2 0 15 B , então: (-1) (5) + (3) (0) + (2) (2) = -1, (-1) (1) + (3) (-1) + (2) (-1) = -6, (0) (5) + (1) (0) + (0) (2) = 0, (0) (1) + (1) (-1) + (0) (-1) = -1, (2) (5) + (-1) (0) + (4) (2) = 18, (2) (1) + (-1) (-1) + (4) (-1) = -1 logo, 1 1 18 0 61 AB 11.5.1 Propriedades do Produto de Matrizes Dadas as matrizes A, B e C de ordem m x n, n x r e r x s, respectivamente valem as seguintes propriedades: Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 17 ( A B ) C = A ( B C ) (associativa) Sejam as matrizes A e B de ordem m x n, C uma matriz r x m e D uma matriz n x s, então: C ( A + B ) = C A + C B e ( A + B ) D = A D + B D (distributiva) 11.6 MATRIZ TRANSPOSTA Dada uma matriz A = [ aij ]mxn , indicada por A t, é a matriz obtida escrevendo as linhas de A como colunas. Isto é, At = [ aji ] nxm. Exemplo. Calcular a Matriz Transposta da Matriz A. Dado 34 12 9 11 8 10 7 654 321 x A , vem: 43 12 11 10 963 852 741 x tA 11.6.1 Propriedades da Matriz Transposta A matriz transposta tem as seguintes propriedades: 1) ;)( AA tt 2) ;)( ttt BABA 3) ,)( tt aCaC em que a é um escalar; Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 18 4) ttt ABAB )( (a transposta do produto é o produto das transpostas na ordem inversa). Exercícios. 1) Dada a Matriz A, multiplique-a pelo escalar 7. A= 354 633 344 2) Dadas as Matrizes A e B a seguir, calcule A + B. A= 602 534 342 B= 657 346 531 3) Dadas as Matrizes A, B e C a seguir, prove que A + (B + C) = (A + B) + C. A= 605 537 311 B= 354 646 232 C= 4) Considerando as matrizes A = [ 8 - 2 3 ], B = [ 20 12 14 ] e C = [ -4 5 -7 ], determine: a) A + B – C b) A – B – C c) A – B +C 5) Identifique na matriz A = os elementos a3,2 = ____ ; a2,3= ____ ; a1,3= ____ . 604 573 321 0 0 02 0 2 1 1 903 302log3 tg Sen Cos Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 19 6) Informe pelo menos quatro tipos de matriz conhecidas: a) _______________________; b) ________________; c) _______________________; d) ________________. 7) Na confecção de três Antenas de Transmissão / Recepção, modelos (1, 2 e 3) são usados parafusos grandes (G) e pequenos (P). O número de parafusos por modelo é dado pela tabela: Antena 1 Antena 2 Antena 3 Parafuso G 22 10 4 Parafuso P 40 35 50 O número de antenas montadas, de cada modelo, nos meses de novembro e dezembro, é dado pela tabela: Novembro Dezembro Antena 1 3 4 Antena 2 6 7 Antena 3 9 6 Nestas condições, obter a tabela que dá o total de parafusos usados em novembro e dezembro. Novembro Dezembro Antena 1 Antena 2 Antena 3 TOTAL 1) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas condições e calcule A + A. 1) Os espiões e agentes do serviço secreto utilizam mensagens codificadas da seguinte forma: Cada letra do alfabeto é substituída por um número, dependendo de sua posição mostrada na tabela a seguir. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 26 A B C D E F G H I J K L … Z Trecho do Livro Matemática Básica Aplicada para Cursos Superiores (Autor: Orlando Frizanco) 20 Escolhidas as letras e os números correspondentes para a mensagem, forma-se a matriz a seguir: M = LetraaLetraa LetraaLetraa .4.3 .2.1 . Por exemplo, se M= 13 113 , a mensagem é MACA. Para maior segurança, cada mensagem de 4 letras é enviada na forma 7 * M. Sendo assim, a mensagem que resulta em 777 777 , significa: a) CICA b) KAKA c) CACO d) FICA 9) Calcular a Matriz Transposta da Matriz 10) Efetuar a multiplicaçãodas duas matrizes a seguir. 443 651 232 A e 7 2 5 3 37 B 34 12 10 11 8 9 7 654 2/123 x A
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