9 Números Complexos e Análise de Circuito em CA

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29/05/2016 1/34
Número Complexos e Análise de 
Circuitos em CA
Engenharia Elétrica
Circuitos Elétricos
2016.1
Natal, Prof. Jan Erik, Msc.
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Número Complexo
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Números Complexos
Introdução
Em nossa análise dos circuitos de corrente contínua, vimos a necessidade de calcular
somas algébricas de tensões e de correntes.
A questão agora é: como se calcula a soma algébrica de duas ou mais tensões (ou
correntes) senoidais? Por isso, o objetivo é induzir um sistema de números complexos
que, quando aplicado a formas de onda senoidais, resulta em uma técnica, de aplicação
rápida, direta e precisa, para determinar a soma algébrica de formas de onda.
conjunto dos números complexos compreende todos os reais e os chamados
números imaginários, representados por pares ordenados, nos quais a abscissa é um
número real e a ordenada, um múltiplo real da raiz quadrada de –1. Em matemática, a
unidade imaginária ( −1) é indicada por i, e, em eletricidade, para não confundirmos
com a corrente elétrica, por j:
𝒋 = −𝟏
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Números Complexos
Forma Cartesiana e Polar
Em uma representação de números complexos, um número pode ser representado na
forma polar e na forma cartesiana:
Em que:
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏
𝑧 = |𝑍|∠𝜑 (forma polar)
(forma cartesiana)
𝑍 = 𝑎2 + 𝑏2
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑎
(módulo)
(fase)
𝑎 = 𝑍. cos(𝜑)
𝑏 = 𝑍. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
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Números Complexos
Exercícios
Dado os números complexo (na forma cartesiana) abaixo, represente-os no plano
complexo e encontre sua representação na forma polar.
𝑎) 𝐴 = 3 + 𝑗4
b) 𝐵 = 0 − 𝑗6
c) 𝐶 = −10 − 𝑗20
Dado os números abaixo na forma polar, encontre sua representação na forma cartesiana. 
𝑎) 𝐴 = 5,65∠45𝑜
b) 𝐵 = 10∠60𝑜
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Operações com Números Complexos
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Números Complexos
Soma e Subtração
Para a operação de soma e subtração de números complexos, em circuitos elétricos,
usa-se somente a forma cartesiana.
Sejam dois números complexos:
𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2e
O resultado da soma entre eles será dada como:
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑗(𝑏1+𝑏2)
E da subtração será:
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑗(𝑏1−𝑏2)
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Números Complexos
Multiplicação e Divisão
Para a operação de multiplicação e divisão de números complexos, em circuitos
elétricos, usa-se somente a forma polar.
Sejam dois números complexos:
𝑧1 = 𝑍1∠𝜑1 e
O resultado da multiplicação entre eles será dada como:
𝑧1. 𝑧2 = 𝑍1. 𝑍2∠(𝜑1 + 𝜑2)
E da divisão será:
𝑧1
𝑧2
=
𝑍1
𝑍2
∠(𝜑1 − 𝜑2)
𝑧2 = 𝑍2∠𝜑2
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Números Complexos
Exercícios
Dado os números complexos abaixo:
Calcule o seguinte:
𝑧1 = 4 + 𝑗4 𝑧2 = 5 + 𝑗8,66
𝑧1. 𝑧2
𝑧1 + 𝑧2
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Impedância
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Impedância
Impedância total
A partir de agora analisaremos os circuitos nos quais ocorrem combinações entre os
três elementos básicos: resistências, capacitores e indutores. A somatória dos efeitos de
oposição à passagem de corrente é denominada impedância, representada por Z.
𝐙 = 𝐗𝐋 − 𝐗𝐂 + 𝐑𝟐
Esta passa a ser a equação geral para a impedância total do circuito, não importando
sua configuração. À impedância podem-se aplicar todas as leis de eletricidade conhecidas.
Em que:
𝑹 : é a resistência
𝐗𝐋 : é a reatância indutiva
𝐗𝐂 : é a reatância capacitiva
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Circuitos RL e RC em série em CA
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Circuitos RL e RC em série
Análise de Impedâncias
Os circuitos RL e RC em série funcionam como divisores de tensão reativos que
defasam a tensão do gerador em relação à corrente de um ângulo 𝜑.
𝑍𝐿 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿
A representação cartesiana e polar das impedâncias dos circuitos RL e RC em série:
𝑍𝐶 = 𝑅 − 𝑗𝑋𝐶𝑍𝐿 = 𝑍∠𝜑 𝑍𝐶 = 𝑍∠ − 𝜑e e
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Circuitos RL e RC em série
Análise de Impedâncias
Dos diagramas complexo do slide anterior, concluímos que:
O Circuito RL em série O Circuito RC em série
𝑍 = 𝑅2 + 𝑋𝐿
2 (módulo)
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑋𝐿
𝑅
(fase)
𝑍 = 𝑅2 + 𝑋𝐶
2 (módulo)
𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑋𝐶
𝑅
(fase)
Como já era esperado, a fase 𝜑 da impedância indutiva é positiva entre 0o e +90o,
enquanto na impedância capacitiva ela é negativa entre 0o e -90o. Naturalmente, essa
fase corresponde à defasagem entre tensão (V) do gerador e a corrente (I) que ele
fornece ao circuito.
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Circuitos RL e RC em série
Análise fasorial
 A análise fasorial é um método gráfico de aplicação das leis de Kirchhoff para as
tensões alternadas dos circuitos em série.
 “a soma fasorial das tensões das tensões nos dispositivos é igual á tensão fasorial do
gerador”.
 Para que a analise seja possível, considere que a corrente tem uma fase inicial 𝜃𝑖 , isto
é, 𝑖 = 𝐼∠𝜃𝑖 .
 Nos circuitos em série, a tensão de VR está em fase com a corrente I. Porém, no circuito
RL, a tensão VL está adiantada de 90
o, enquanto no circuito RC, a tensão VC está
atrasada em 90o em relação a corrente.
 A defasagem entre a tensão e a corrente é igual a fase 𝜑 da impedância.
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Circuitos RL e RC em série
Expressões e fórmulas paras as tensões
Pode-se equacionar os circuitos, aplicando a lei de Kirchhoff para as tensões
alternadas em conformidade com suas representações fasoriais.
O Circuito RL em série O Circuito RC em série
𝑉 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿
𝑉𝑅 = 𝑅∠0
𝑜 . 𝐼∠𝜃𝑖 = 𝑅. 𝐼∠𝜃𝑖
𝑉𝐿 = 𝑋𝐿∠90
𝑜 . 𝐼∠𝜃𝑖 = 𝑋𝐿. 𝐼∠(𝜃𝑖+90
𝑜)
𝑉 = 𝑍∠𝜑 . 𝐼∠𝜃𝑖 = 𝑍. 𝐼∠(𝜃𝑖+𝜑)
Em que:
𝑉 = 𝑉𝑅
2 + 𝑉𝐿
2
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑉𝐿
𝑉𝑅
(módulo)
(fase)
𝑉 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶
𝑉𝑅 = 𝑅∠0
𝑜 . 𝐼∠𝜃𝑖 = 𝑅. 𝐼∠𝜃𝑖
𝑉𝐶 = 𝑋𝐶∠ − 90
𝑜 . 𝐼∠𝜃𝑖 = 𝑋𝐶 . 𝐼∠(𝜃𝑖−90
𝑜)
𝑉 = 𝑍∠ − 𝜑 . 𝐼∠𝜃𝑖 = 𝑍. 𝐼∠(𝜃𝑖−𝜑)
Em que:
𝑉 = 𝑉𝑅
2 + 𝑉𝐶
2
𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑉𝐶
𝑉𝑅
(módulo)
(fase)
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Circuitos RL e RC em paralelo em CA
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Circuitos RL e RC em paralelo
Análise de Impedâncias
Os circuitos RL e RC em paralelo funcionam como divisores de corrente reativos que
defasam a tensão do gerador em relação à corrente de ângulo 𝜑.
A representação cartesiana e polar das impedâncias dos circuitos RL e RC em paralelo:
𝑍𝐿 =
𝑗𝑅𝑋𝐿
𝑅 +𝑗𝑋𝐿
𝑍𝐶 =
−𝑗𝑅𝑋𝐶
𝑅 −𝑗𝑋𝐶
𝑍𝐿 = 𝑍∠𝜑 𝑍𝐶 = 𝑍∠ − 𝜑e e
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Circuitos RL e RC em paralelo
Análise de Impedâncias
Dos diagramas complexo do slide anterior, concluímos que:
O Circuito RL em paralelo O Circuito RC em paralelo
𝑍 =
𝑅. 𝑋𝐿
𝑅2 + 𝑋𝐿
2
(módulo)
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑅
𝑋𝐿
(fase)
𝑍 =
𝑅. 𝑋𝐶
𝑅2 + 𝑋𝑐
2
(módulo)
𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑅
𝑋𝐶
(fase)
Nos circuitos em paralelo, a fase 𝜑 da impedância indutiva é positiva entre 0o e
+90o, enquanto na impedância capacitiva ela é negativa entre 0o e -90o. Naturalmente,
essa fase corresponde à defasagem entre tensão (V) do gerador e a corrente (I) que ele
fornece ao circuito.
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Circuitos RL e RC em paralelo
Análise fasorial
 A análise fasorial é um método gráfico de aplicação das leis de Kirchhoff para as
correntes alternadas dos circuitos em paralelo.
 “a soma fasorial das tensões das correntes nos dispositivos é igual á corrente fasorial
do gerador”.
 Para que a analise seja possível, considere que a corrente tem uma fase inicial 𝜃𝑉, isto
é, v = 𝑉∠𝜃𝑣 .
 Nos circuitos em paralelo, a corrente de IR está em fase com a tensão V. Porém, no
circuito RL, a corrente IL está atrasada de 90
o, enquanto no circuito RC, a corrente IC
está adiantada em 90o em relação a tensão V.
 A defasagem entre a tensão e a corrente é igual a fase 𝜑da impedância.
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Circuitos RL e RC em paraleo
Expressões e fórmulas paras as tensões
Pode-se equacionar os circuitos, aplicando a lei de Kirchhoff para as correntes
alternadas em conformidade com suas representações fasoriais.
O Circuito RL em paralelo O Circuito RC em paralelo
𝐼 = 𝐼𝑅 + 𝐼𝐿
𝐼𝑅 = 𝑉∠𝜃𝑣/𝑅∠0
𝑜 =
𝑉
𝑅
∠𝜃𝑣
𝐼𝐿 = 𝑉∠𝜃𝑣/𝑋𝐿∠90
𝑜 =
𝑉
𝑋𝐿
∠(𝜃𝑣−90
𝑜)
𝐼 = 𝑉∠𝜃𝑣/𝑍∠𝜑 =
𝑉
𝑍
∠(𝜃𝑣−𝜑)
Em que:
𝐼 = 𝐼𝑅
2 + 𝐼𝐿
2
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐼𝐿
𝐼𝑅
(módulo)
(fase)
𝐼 = 𝐼𝑅 + 𝐼𝐶
𝐼𝑅 = 𝑉∠𝜃𝑣/𝑅∠0
𝑜 =
𝑉
𝑅
∠𝜃𝑣
𝐼𝑐 = 𝑉∠𝜃𝑣/𝑋𝐶∠ − 90
𝑜 =
𝑉
𝑋𝑐
∠(𝜃𝑣+90
𝑜)
𝐼 = 𝑉∠𝜃𝑣/𝑍∠ − 𝜑 =
𝑉
𝑍
∠(𝜃𝑣+𝜑)
Em que:
𝐼 = 𝐼𝑅
2 + 𝐼𝐶
2
𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝐼𝐶
𝐼𝑅
(módulo)
(fase)
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Potência em CA
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Potência em CA
Potência CA
Considere um gerador em CA 𝑣 = 𝑉∠𝜃𝑣 fornecendo uma corrente 𝑖 = 𝐼∠𝜃𝑖 a um a
impedância Z conforme o esquema abaixo.
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Potência Ativa, Reativa e Aparente
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Potência em CA
Potência Ativa
A potência ativa P, em watt (W), é aquela correspondente ao produto da corrente
com a parcela da tensão que está em fase com ela. Esta potência é fornecida pelo gerador
à componente resistiva da impedância, sendo dissipada por ela. Portanto:
𝑃 = 𝑉𝑅 . 𝐼𝑅 𝑃 = 𝑅. 𝐼𝑅
2
𝑃 =
𝑉𝑅
2
𝑅
ou ou
A potência ativa é convertida em calor por efeito Joule. Na prática, essa energia
térmica pode ser utilizada para realizar trabalho. É por isso que a potência ativa é
denominada também de potência útil, de trabalho ou real.
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Potência em CA
Potência Reativa
A potência reativa Q, em volt.ampére reativo (VAR), é a potência referentes as
elementos indutivos e/ou capacitivos. Corresponde a parcela da energia devolvida ao
gerador, ou seja, é totalmente perdida pois não realiza trabalho útil.
ou ou𝑄 = 𝑉𝐿. 𝐼𝑅 𝑄 = 𝑋𝐿. 𝐼𝐿
2
𝑄 =
𝑉𝐿
2
𝑋𝐿
Em um circuito indutivo, a potência reativa será dada:
ou ou𝑄 = 𝑉𝐶 . 𝐼𝐶 𝑄 = 𝑋𝐶 . 𝐼𝐶
2
𝑄 =
𝑉𝐶
2
𝑋𝐶
Em um circuito capacitivo, a potência reativa será dada:
“Em um circuito, a potência reativa total fornecida pelo gerador é a soma algébrica das 
potências reativas desenvolvidas pelas componentes reativas do circuitos”.
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Potência em CA
Potência Aparente
A potência Aparente S, em volt.ampére (VA), é a potência total fornecida pelo
gerador à impedância, isto é:.
𝑆 = 𝑉. 𝐼
ou𝑆 = 𝑍. 𝐼2 𝑆 =
𝑉2
𝑍
A potência Aparente pode ser determinada, também, em função do valor da 
impedância Z:
“Em um circuito, a potência Aparente total fornecida pelo gerador é o produto da sua 
tensão pela corrente fornecida ao circuito”.
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Triângulo das potências e fator de potência
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Potência em CA
Triângulo de potência
Pode-se representar as potências em uma impedância por um triângulo de potências.
Na impedância Indutiva Na impedância Capacitiva
𝑃 = 𝑆. cos(𝜑)
𝑄 = 𝑆. sen(𝜑)
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Potência em CA
fator de potência
Analisando o triângulo de potências, percebe-se que, quanto maior a potência
reativa, maior a corrente elétrica no circuito (não desejável); quanto maior o fator de
potência, mais próximos se tornam os valores das potências aparente e ativa.
A relação entre a potência ativa (consumida) e a potência aparente (fornecida pelo
gerador) é denominada de fator de potência, que será dado por:
𝐹𝑝 ≥ 0,92
Para evitar excessos no sistema elétrico, as concessionárias exigem que o fator de
potência tenha valor mínimo:
𝐹𝑝 =
𝑃
𝑆
ou 𝐹𝑝 = cos(𝜑)
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Exercícios
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Exercícios
Exercícios
1 - Considerando que no circuito abaixo 𝑉 = 100∠0𝑜 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠, R = 50 Ohms e L = 10 mH, e a 
frequência é de 50Hz, encontre o que se pede.
a) Calcule a impedância do circuito (módulo e fase);
b) Encontre a corrente (módulo e fase) e a expressão da corrente i(t).
c) Calcule as potências aparente, ativa, reativa e o Fator de Potência do circuito
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Exercícios
Exercícios
2 – Dado o circuito abaixo, determine:
a) A tensão do gerador (módulo e fase);
b) Encontre as correntes no dispositivos (módulo e fase);
c) Calcule as potências aparente, ativa, reativa e o Fator de Potência do circuito
d) Diagrama fasorial e forma de onda
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Exercícios
Exercícios
2 – Considerando que no circuito abaixo 𝑉 = 220∠45𝑜 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠, R = 1k Ohms e C = 100 µF, e 
a frequência é de 60Hz, encontre o que se pede:
a) Calcule a impedância do circuito (módulo e fase);
b) Encontre a corrente (módulo e fase) e esboce o gráfico da defasagem entre tensão e
corrente
c) Calcule as potências aparente, ativa, reativa e o Fator de Potência do circuito