Aula 10 Análise de Tensões

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Aula 10 – Análise de Tensões
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ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Analisar as tensões principais;
Verificar as tensões de cisalhamento máximas; 
Reconhecer o Circulo de Mohr para tensões.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ANÁLISE DE TENSÕES PRINCIPAIS
 O estado geral de tensão é caracterizado por seis tensões independentes (3 normais e 3 cisalhantes);
 O estado geral de tensão não é comum em engenharia;
 Engenheiros fazem simplificações e tornam este estado em um plano de tensão, ou seja, um único plano e com três componentes (2 normais e 1 cisalhante).
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ESTADO GERAL DE TENSÃO
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ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL
 z = 0;
 tyz = 0;
 txz = 0.
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ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL
Na prática da engenharia, muitas vezes é importante determinar a orientação dos planos para encontrar situações particulares (tensões máxima e mínima).
As tensões normais e as tensões de cisalhamento variam continuamente quando os eixos são rotacionados através do ângulo q, nos planos em que as tensões agem. Observe a figura a seguir.
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO
x x’ y y’ txy  tx’y’
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO - EXPRESSÕES
Abaixo temos as relações que fazem as transformações
x x’ y y’ txy  tx’y’
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento da figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada.
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
Da figura e observando a convenção de sinais temos que:
x= - 80 Mpa; y= + 50 Mpa ; txy = - 25 Mpa e q = - 30º
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
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TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO
Para determinarmos tais valores devemos derivar a seguinte equação e igualar a zero:
Assim,
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TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO
Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q = qp1 e q = qp2) onde as tensões normais são máxima e mínima. Fazendo as substituições devidas, teremos:
Dependendo do sinal utilizado, determinaremos o valor máximo ou mínimo.
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TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
Para determinarmos este valor devemos derivar a seguinte equação e igualar a zero:
Assim,
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TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q = qp1 e q = qp2) onde a tensão cisalhante é máxima. Os planos para tal condição são aqueles rotacionados de 45º em relação aos planos de tensão principal.
Neste plano, ocorre uma tensão normal denominada média e dada por:
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Suponha que uma torção T seja aplicada a uma barra e produza um estado de cisalhamento puro no material. Determine:
a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão média associada;
b) As tensões principais.
 
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
 
sx = sy= 0 e txy= -t
 
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
 
sx = sy= 0 e txy= t
 
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
 
Substituindo 45º e 135º 
 
s2= - t
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CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES.
Neste tópico, é possível mostrar que as equações para transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica que muitas vezes é mais conveniente.
Além disso, essa abordagem nos permite “visualizar” qual será a variação das componentes de tensão normal e tensão de cisalhamento, à medida que o plano em que agem é orientado em diferentes direções.
 
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CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES.
A partir das equações:
É possível escrever que:
 
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CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES.
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
Devido a carga aplicada a um cilindro maciço um ponto A fica submentido ao estado de tensão abaixo. Desenhe o círculo de Mohr.
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
Pela convenção: sx = -12 MPa; sy= 0 e txy= -6MPa
 Centro do círculo: 
 Ponto inicial A:
 Raio R:
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
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RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
As tensões principais;
As tensões de cisalhamento máximas; 
O círculo de Mohr para tensões;
Aplicações.
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