Apostila Calculo IV Funções Várias Variáveis 3

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Funções de várias Variáveis
Notas de Aula
3
o
Bimestre/2016
2
o
ano - Licenciatura em Física
Cálculo Diferencial e Integral IV
Prof
a
Dr
a
Analice Costacurta Brandi
Sumário
1 Funções de várias Variáveis 2
2 Funções de várias Variáveis reais a valores reais 3
3 Grá�co e Curvas de Nível 7
4 Superfícies de Nível 14
5 Limite e Continuidade 15
Referências Bibliográ�cas 23
1
1 Funções de várias Variáveis
Recordemos que uma função f é uma correspondência que associa a cada elemento de
um conjunto X um único elemento de um conjunto Y . Se X e Y são subconjuntos de R, f
é dita função de uma variável real. Se X é subconjunto de Rn e Y é um suconjunto de R,
f é uma função de n variáveis reais.
Como ilustração, consideremos a temperatura T em um ponto da superfície da Terra
em dado instante de tempo que depende da longitude x e da latitude y do ponto. Podemos
pensar T como uma função de duas variáveis x e y, ou seja, T = f(x, y).
O volume V de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. Assim, V
é uma função de r e h, ou seja, V (r, h) = pi r2h. Dizemos que a variável (dependente) V é
uma função de duas variáveis (independentes) r e h, e escrevemos V = f(r, h).
Aqui daremos ênfase ao estudo das funções reais de duas variáveis reais, pois não é difícil
generalizar os resultados para funções de mais de duas variáveis.
Observações: 1) O conjunto R = R1 é o espaço numérico 1 - dimensional, representado
por uma reta (1D).
2) O conjunto R2 é o espaço numérico 2 - dimensional, representado por um plano (2D).
3) O conjunto R3 é o espaço numérico 3 - dimensional, representado pelo espaço tridimen-
sional (3D).
4) Para n ≥ 4, não conseguimos representar geometricamente este conjunto.
2
2 Funções de várias Variáveis reais a valores reais
De�nição 1: Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : A→ R,
onde A é um subconjunto de R2. Uma tal função associa, a cada par (x, y) ∈ A, um único
número f(x, y) ∈ R. O conjunto A é o domínio de f e será indicado por Df . O conjunto
Im(f) = {f(x, y) ∈ R/(x, y) ∈ Df}
é a imagem de f . As palavras aplicação e transformação são sinônimas de função.
f transforma o par ordenado (x, y) no número f(x, y).
Se a relação f transforma o par ordenado (x, y) de A no número real z, escrevemos
z = f(x, y). E ainda, z é chamada variável dependente enquanto x, y são ditas variáveis
independentes.
As funções a três ou mais variáveis são de�nidas por uma extensão óbvia da De�nição
1, como se segue.
De�nição 2: Uma função de n variáveis reais a valores reais é uma função f : A → R,
onde A é um subconjunto de Rn. Uma tal função associa a cada n-upla ordenada
(x1, x2, . . . , xn) ∈ A, um único número real z = f(x1, x2, . . . , xn). O conjunto A é o domínio
de f .
Na equação z = f(x1, x2, . . . , xn), z é chamada variável dependende e x1, x2, . . . , xn são
ditas variáveis independentes.
A imagem de f é o conjunto Im(f) = {f(x1, x2, . . . , xn) ∈ R : (x1, x2, . . . , xn) ∈ A}.
Exemplos:
1. Seja f a função de duas variáveis reais a valores reais dada por f(x, y) =
x+ y
x− y .
a) Determine o domínio de f .
Solução:
3
b) Calcule f(2, 3), f(1, 0) e f(a+ b, a− b).
Solução:
2. Represente gra�camente o domínio das funções:
a) f(x, y) =
√
y − x+√1− y
Solução:
b) f(x, y) = 5x2y − 3x
Solução:
4
c) w = f(u, v) dada por u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0
Solução:
d) z = f(x, y) dada por z =
√
y − x2
Solução:
e)f(x, y) =
xy − 5
2
√
y − x2
Solução:
5
f) f(x, y) =
√
x+ y + 1
x− 1
Solução:
g) f(x, y) = x ln(y2 − x)
Solução:
h) f(x, y) =
√
9− x2 − y2
Solução:
6
3 Grá�co e Curvas de Nível
Outra forma de visualizar o comportamento de uma função de duas variáveis é considerar
seu grá�co.
De�nição 3: O grá�co de uma função f : A ⊂ R2 → R é o conjunto de todos os pontos
(x, y, z) ∈ R3 tais que z = f(x, y).
Considerando um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o grá�co de f pode ser
pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, y, f(x, y)), quando (x, y) percorre
o domínio de f .
Observação: O grá�co de uma função f de duas variáveis é uma superfície que representa
o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional cujas coordenadas cartesianas são
dadas por triplas ordenadas de números reais (x, y, z). Como o domínio de f é um conjunto
de pontos no plano xy, e como cada par ordenado (x, y) no domínio de f corresponde um
único valor de z, nenhuma reta perpendicular ao plano xy pode interceptar o grá�co de f
em mais de um ponto.
A representação geométrica do grá�co de uma função de duas variáveis não é fácil.
Assim sendo, quando se pretende ter uma visão geométrica da função desenha-se suas
curvas de nível, cuja representação geométrica é sempre mais fácil de ser obtida do que o
grá�co de uma função.
De�nição 4: Sejam z = f(x, y) e c ∈ Im(f). O conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ Df
tais que f(x, y) = c é denominado curva de nível de f correspondente ao nível z = c. Assim,
f é constante sobre cada curva de nível.
O grá�co de f é um subconjunto do R3. Uma curva de nível é um subconjunto do
domínio de f , portanto, do R2.
Exemplos:
1. O grá�co da função constante f(x, y) = k é um plano paralelo ao plano xy.
Solução:
7
2. Esboce o grá�co das seguintes funções:
a) f(x, y) = 6− 3x− 2y
Solução:
8
b) g(x, y) =
√
9− x2 − y2
Solução:
9
c) f(x, y) = x2 + y2
Solução:
10
3. Esboce o grá�co das curvas de nível da função f(x, y) = 6 − 3x − 2y para os valores
k = −6, 0, 6 e 12.
Solução:
11
4. Esboce as curvas de nível da função g(x, y) =
√
9− x2 − y2 para k = 0, 1, 2 e 3.
Solução:
12
5. Esboce o grá�co da função f(x, y) = x2 + y2 e suas curvas de nível para k = 1, 2, 3, 4, 5
e 6.
Solução:
6. Construa o grá�co das curvas de nível de f(x, y) = x2 + y2 + 1, para k = 3, 4 e 5.
Solução:
13
4 Superfícies de Nível
Seja f : A ⊂ R3 → R uma função que associa a cada terna (x, y, z) ∈ A um único número
real w = f(x, y, z). Temos que G(f) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : w = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ A}.
O grá�co de f é então um subconjunto de R4, não sendo, portanto, possível representá-lo
geometricamente. Para obter uma visão geométrica de tal função utilizamos as superfícies
de nível.
Se c ∈ Im(f), o conjunto de todos os pontos (x, y, z) ∈ A tais que f(x, y, z) = c
denomina-se superfície de nível correspondente ao nível w = c.
Exemplos:
1. Determine as superfícies de nível da função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Solução:
2. Se f(x, y, z) = y, a superfície de nível correspondente é o plano y = c, para cada c ∈ R.
Solução:
14
5 Limite e Continuidade
O conceito de limite pode ser estendido facilmente para funções de duas ou mais va-
riáveis. Por exemplo, a�rmar que f(x, y) tende ao limite L quando (x, y) tende a (x0, y0)
signi�ca que o número f(x, y) pode estar arbitrariamente próximo do número L desde que
o ponto (x, y) esteja su�cientemente próximo de (x0, y0), contando que (x, y) 6= (x0, y0).
A notação é
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L ou lim
x→x0
f(x, y) = L.
De�nição 5: Sejam f : A ⊂ R2 → R uma função, (x0, y0) um ponto de acumulação de A
e L ∈ R. De�nimos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ Df ,
0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ε.
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L signi�ca que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x, y) pertence ao
intervalo (L−ε, L+ε) quando (x, y), (x, y) 6= (x0, y0) varia na bola aberta de centro (x0, y0)
e raio δ.
Exemplos:
1. Se f(x, y) = k (função constante) então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = k, ∀(x, y) ∈ R2.
2. Se f(x, y) = x,∀(x, y) ∈ R2, então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
x = x0, ∀(x0,y0) ∈ R2.
15
3. Prove que lim
(x,y)→(1,2)
(3x+ 2y) = 7.
Solução:
Enunciaremos algumas propriedades para limite de funções de duas variáveis:
1. Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L1 e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L2, então:
a) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2
b) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)− g(x, y)] = L1 − L2
c) lim
(x,y)→(x0,y0)
[k f(x, y)] = k L1 (k constante)
d) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y).g(x, y] = L1.L2
e) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)
=
L1
L2
, desde que L2 6= 0.
2. (Teorema do Confronto): Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para 0 < ‖(x, y)−(x0, y0)‖ <
r e se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L = lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) então lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L.
16
3. Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0 e se |g(x, y)| < M para 0 < ‖(x, y) − (x0, y0)‖ < r,
onde r > 0 e M > 0 são números reais, então:
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) g(x, y) = 0.
4. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0⇔ lim
(x,y)→(x0,y0)
|f(x, y)| = 0.
5. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L⇔ lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)− L] = 0.
6. lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L⇔ lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) = L.
Exemplos:
1. lim
(x,y)→(0,0)
1√
4− x2 − y2
Solução:
2. lim
(x,y)→(−1,2)
5x2y + 2xy − 3y
2
x+ y
Solução:
3. lim
(x,y)→(0,0)
[esin(5x
2+y2) + cos(3xy)]
Solução:
17
4. lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
Solução:
Observamos que lim
x→a
f(x) existe se, e somente se, os limites laterais lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x),
existem e são iguais. Tratando com um limite de uma função f a duas variáveis, isto é,
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y), devemos supor que o ponto (x, y) se aproxime do ponto (a, b) não apenas
pela direita ou pela esquerda, mas também por qualquer outra direção. Podemos ainda su-
por que (x, y) se aproxime de (a, b) ao longo de uma curva. Dizer que lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L
signi�ca que (x, y) tende a (a, b) por qualquer direção, f(x, y) tende ao mesmo limite L.
Portanto, um meio conveniente de mostrar que um particular limite lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) não
existe é mostrar que f(x, y) tende a dois limites diferentes quando (x, y) tende a (a, b) por
duas direções diferentes.
Assim, se f(x, y) → L1 quando (x, y) → (a, b) ao longo da curva C1 e f(x, y) → L2
quando (x, y)→ (a, b) ao longo da curva C2, com L1 6= L2 então lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) não existe.
18
Exemplos:
1. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
não existe.
Solução:
2. Calcule, caso exista, lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
.
Solução:
19
3. Se f(x, y) =
xy2
x2 + y4
, será que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) existe?
Solução:
4. Determine, se existir, lim
(x,y)→(0,0)
3x2y
x2 + y2
.
Solução:
20
De�nição 6: Seja f : A ⊂ R2 → R uma função de duas variáveis e (x0, y0) ∈ A. Dizemos
que f é contínua em (x0, y0) se:
a) Existe lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y);
b) lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Exemplos:
1. Veri�que se f(x, y) =

x2 − 4y2
x− 2y , se x 6= 2y
5, se x = 2y
é contínua em (2, 1).
Solução:
2. Determine se f é contínua em (0, 0) se f(x, y) =

3x2y
x2 − y2 se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
Solução:
21
Propriedades da Continuidade: Se f e g forem duas funções contínuas em um ponto
(x0, y0), então:
i) f + g é contínua em (x0, y0);
ii) f − g é contínua em (x0, y0);
iii) f.g é contínua em (x0, y0);
iv)
f
g
é contínua em (x0, y0) desde que g(x0, y0) 6= 0.
Exemplos: 1. Determine todos os pontos em que f é contínua se
f(x, y) =
{
x2 + y2, se x2 + y2 ≤ 1
0, se x2 + y2 > 1
.
Solução:
22
Referências Bibliográ�cas
[1] Fürkotter, M., Notas de Aula - Cálculo Diferencial e Integral II, FCT/UNESP - Pre-
sidente Prudente, 1995.
[2] Guidorizzi, H. L., Um curso de cálculo, vol. II, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e
Cientí�cos, 1986.
[3] Stewart, J., Cálculo, vol. 2, 6. ed., São Paulo, Cengage Learning, 2009.
[4] Thomas, G. B., Cálculo, vol. 2, 11. ed., São Paulo, Pearson, 2009.
23
	Funções de várias Variáveis
	Funções de várias Variáveis reais a valores reais
	Gráfico e Curvas de Nível
	Superfícies de Nível
	Limite e Continuidade
	Referências Bibliográficas