Vetores em Geometria Analítica

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Professora:Ronaldo
Curso: Ciência da Computação
Vetores ,adição subtração eproduto escalar de vetores
Alexsandro Rodrigo
Belarmina Vilar
Daniel Marques
Jonas José
Willams Gomes
Maceió-AL -junho/ 2017
Vetores
 Em Geometria, ponto é um objeto não definido usado na definição de outros objetos. As retas, por exemplo, são conjuntos de pontos. Apesar de parecerem bem definidas, as retas também não possuem definição, pois, qualquer conjunto contendo dois ou mais pontos é considerado reta.
Por outro lado, na Geometria Analítica, o ponto é tido como uma localização. Qualquer local pode ser representado por um ponto e, além disso, o “endereço” desse ponto é dado por meio de coordenadas.
Entretanto, na Geometria Analítica, os pontos são capazes apenas de indicar localizações. Outros objetos são necessários para indicar trajetória, direção, sentido e intensidade. No caso desses últimos três, o objeto escolhido para representá-los no plano cartesiano é o vetor.
[ x ]
→ O que é um Vetor?
Vetores, portanto, são objetos que indicam direção, sentido e intensidade. São usualmente representados por setas, que partem da origem, e utilizam-se as coordenadas de seu último ponto.
Na imagem acima, os vetores são representados dessa forma, isto é, setas cujas coordenadas correspondem ao seu ponto final. O vetor u possui coordenadas (2,2) e o vetor v possui coordenadas (4,2). Além disso, a seta é utilizada para indicar direção e sentido, e o seu tamanho indica a intensidade.
→ Multiplicação de vetor por um número
Dado o vetor v = (a,b), o produto do número real k por v é dado pela expressão:
k·v = k·(a,b) = (k·a, k·b)
Em outras palavras, para multiplicar um número real por um vetor, deve-se multiplicar o número real por cada uma de suas coordenadas.
Geometricamente, a multiplicação de um vetor por um número real aumenta o tamanho do vetor linearmente:
Note que, no exemplo acima, o vetor u possui coordenadas (2,2), e o vetor u·k possui coordenadas (4,4). Resolvendo a equação (4,4) = k(2,2), pode-se concluir que k = 2.
→ Adição de vetores
Dados dois vetores u = (a,b) e v = (c,d), a soma entre eles será obtida por meio da expressão:
u + v = (a + c, b + d)
Em outras palavras, basta somar as coordenadas correspondentes de cada vetor. Essa operação é expansível para soma de 3 ou mais vetores com 3 ou mais dimensões.
Geometricamente, partindo do ponto final do vetor u, desenha-se um vetor v' paralelo ao vetor v. Partindo do vetor v, desenha-se um vetor u' paralelo ao vetor u. Esses quatro vetores formam um paralelogramo. O vetor u + v é a seguinte diagonal desse paralelogramo:
Para subtrair vetores, considere subtração como soma entre um vetor e o oposto de outro. Por exemplo, para subtrair o vetor v do vetor u, escreve-se: u – v = u + (-v). O vetor -v é o vetor v, porém, com os sinais das coordenadas invertidos.
Observando atentamente, as operações “multiplicação de um vetor por um número” e “adição de vetores” fazem o uso das operações de multiplicação e adição nos números reais, mas em cada componente do vetor. Portanto, para os vetores, são válidas todas as propriedades de soma e multiplicação de números reais, a saber:
Dados os vetores u, v e w e os números reais k e l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) existe um vetor 0 = (0,0) tal que v + 0 = v
iv) Existe um vetor -v tal que v + (-v) = 0
v) k(u + v) = ku + kv
vi) (k + l)v = kv + lv
vii) kl(v) = k(lv)
viii) 1v = v
→ Norma de um vetor
A norma de um vetor é o equivalente ao módulo de um número real, ou seja, a distância entre um vetor e o ponto (0,0) ou, dependendo do referencial, o comprimento do vetor.
A norma do vetor v = (a,b) é denotada por ||v|| e pode ser calculada por meio da expressão:
||v|| = √(a2 + b2)
→ Produto interno
Produto interno é comparável ao produto entre vetores. Note que o produto já citado anteriormente é o produto entre um vetor e um número real. Agora, o “produto” em questão é entre dois vetores. Contudo, não se deve dizer “produto entre dois vetores”, mas, sim, “produto interno entre dois vetores”. O produto interno entre os vetores v = (a,b) e u = (c,d) é denotado por <v,u> e pode ser calculado da seguinte maneira:
<v,u> = a·c + b·d
Também é costume utilizar a seguinte notação:
<v,u> = <(a,b),(c,d)>
Observe que, utilizando a norma do vetor v = (a,b), podemos relacionar norma e produto interno.
||v|| = √(a2 + b2) = √(a·a + b·b) = √(<v,v>)
Produto escalar. Em matemática, em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado. ... O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.
Produto escalar 
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: 
u.v = a.c + b.d 
Exemplos:  
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: 
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: 
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 
    
Propriedades do produto escalar 
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
    
	v.w = w.v
v.v = |v| |v| = |v|2
u.(v+w) = u.v + u.w
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
|kv| = |k| |v|
|u.v| <= |u| |v|    (desigualdade de Schwarz)
|u+v| <= |u| + |v|   (desigualdade triangular) 
Obs: <= significa menor ou igual
  
Ângulo entre dois vetores 
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: 
u.v = |u| |v| cos(x) 
Onde x é o ângulo formado entre u e v. 
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como: 
Desde que nenhum deles seja nulo. 
    
Vetores ortogonais 
Dois vetores u e v são ortogonais se: 
u.v = 0 
Adição de Vetores
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Podemos somar dois ou mais vetores, para obter um vetor soma. 
Regra do polígono: 
Ligam-se os vetores origem com extremidade. O vetor soma é o que tem origem na origem do 1º vetor e extremidade na extremidade do último vetor. 
Subtração de Vetores 
Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro. 
Vetor x Número Real 
O produto de um número real n por um vetor A, resulta em um vetor R com sentido igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo. O módulo do vetor R é igual a n x |A|. 
Decomposição de Vetores 
A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante. 
Seja um vetor R resultado da seguinte operação: R = A + B
Os vetores são considerados iguais quando ambos possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido (isto é, as três características que definem um vetor são idênticas).
- Módulo: 30 cm
- Direção: é a direção da reta formada pelos pontos CD
- Sentido: de C para D (representa pela flecha)
- Módulo: 30 cm
- Direção: é a direção da reta formada pelos pontos EF
- Sentido: de E para F (representa pela flecha)
Como podemos observar, o vetor é igual ao , pois eles têm o mesmo módulo (ambos têm v = t = 30 cm), a mesma direção (são paralelos) e o mesmo sentido (da esquerda para direita). 
Vetores Opostos
Os vetores são considerados opostos quando ambos possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido oposto. Representamos o vetor oposto utilizando o sinal de – na frente do símbolo do vetor, isto é,
Dado o vetor o oposto é representado por 
- Módulo: 30 cm
- Direção: é a direção da reta formada pelos pontos CD
- Sentido: de C para D (representa pela flecha)
- Módulo: 30 cm
- Direção: é a direção da reta formada pelos pontos CD
- Sentido: de D para C (representa pela flecha)
Multiplicação de um Vetor por um Escalar (Número)
Quando multiplicamos um escalar (número) por um vetor, o que temos é a multiplicação desse número pelo valor do módulo do vetor. 
Adição e Subtração de Vetores na Mesma Direção
Para realizar a adição (ou subtração) de dois vetores de mesma direção, basta verificaros sentidos dos vetores. Isto é, se os dois vetores tiverem o mesmo sentido, adicionam-se os módulos dos vetores em questão, mantendo-se a direção e o sentido. Caso contrário, subtraem-se os módulos dos vetores, mantém-se a direção e o sentido é o do vetor que possui o maior módulo. 
Adição e Subtração de Vetores de Direção Diferente
1. Regra do polígono
Utiliza a regra de colocar a flecha de um na origem do outro até usar o último vetor envolvido.
2. Quando os vetores são perpendiculares
Para adicionar (ou subtrair) vetores que têm um ângulo de 90º entre eles, é só aplicar o Teorema de Pitágoras.
3. Quando os vetores não têm a mesma direção e não são perpendiculares
Para realizar a adição (ou subtração) de dois vetores de direção diferentes, temos que lançar mão da regra do paralelogramo.
Exemplo
Dados os vetores abaixo encontre:
1) + 
- Módulo: 30 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da direita para esquerda
- Módulo: 3 x 30 cm = 90 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da direita para esquerda
Resolução: coloca-se a flecha de um dos vetores na origem do outro, isto é,
Logo, teremos:
- Módulo: 30 + 90 cm = 120 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da direita para esquerda
 
2) + 
- Módulo: 30 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da direita para esquerda
- Módulo: 3 x 30 cm = 90 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da esquerda para direita
Resolução: coloca-se a flecha de um dos vetores na origem do outro, isto é,
Logo, teremos:
- Módulo: 90 - 30 cm = 60 cm (quando os vetores têm sentidos contrários, subtraem-se os módulos dos vetores)
- Direção: horizontal (a direção se mantém)
- Sentido: da direita para esquerda (o sentido é o do vetor que possui o maior módulo)
 
3) - 
Observação: o sinal de menos na frente do vetor é para simbolizar o vetor oposto (como já explicamos anteriormente, isto é, inverter apenas o sentido do vetor)
- Módulo: 30 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da direita para esquerda
- Módulo: 3 x 30 cm = 90 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da esquerda para direita
Resolução: 
a) encontrar o vetor oposto de 
- Módulo: 3 x 30 cm = 90 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da direita para esquerda
b) colocar a flecha de um dos vetores na origem do outro, isto é,
Logo, teremos:
- Módulo: 30 + 90 cm = 120 cm
- Direção: horizontal
- Sentido: da direita para esquerda
Exemplo
Dados os vetores abaixo, encontre: + 
- Módulo: 30 cm 
- Direção: da reta que uni AB
- Sentido: de baixo para cima
- Módulo: 40 cm 
- Direção: da reta que une AC
- Sentido: da direita para a esquerda
Resolução: 
a) formar um parelelogramo utilizando a duplicação dos dois vetores, isto é,
b) calcular o módulo do vetor utilizando a fórmula abaixo:
Regra do Paralelogramo:
c2 = a2 + b2 + 2 x a x b x cos 
Cálculo do Módulo de c:
c2 = 302 + 402 + 2 x 30 x 40 x cos 60º
c2 = 900 + 1600 + 2 x 1200 x 0,5 
c2 = 2500 + 1200
c2 = 3700
c = 60,8 cm
Portanto, temos que:
- Módulo: 60,8 cm 
- Direção: da reta que liga os pontos A e D