CDI II (Capítulo 30)

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CAPÍTULO 30 
 
 
 
 
DIVERGENTE ( Densidade de fluxo ) DE UM CAMPO VETORIAL 
 
 
 
 Seja F( x, y ) = M( x, y )i + N( x, y )j um campo de velocidade de escoamento de um fluido no plano, com 
 e contínuas em R e um ponto P (x, y) também em R temos ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estudando as taxas de escoamento do fluido que deixa o retângulo através das arestas, concluímos 
que o Divergente de F(x, y) no ponto P , no plano, é dado por ... 
 
 
 
 
 
 
Analogamente, no espaço F( x, y, z ) = M( x, y, z )i + N( x, y, z )j + S( x, y, z )k ... 
 
 
 
 
 div F = 
 
 
 
 
 
 
 div F = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ( x + ∆x , y ) 
B ( x + ∆x , y + ∆y ) 
C ( x , y + ∆y ) 
P (x, y) 
• 
 
• 
• 
 
• 
R 
C B 
A 
Exemplos : 
 
 
1 ) Seja F ( x, y ) = ( x² - y )i + ( xy – y² )j, determine div F. 
 
 
Resolução : 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 div F = 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
2 ) Seja F ( x, y, z ) = x² i + y² j + z² k, determine div F. 
 
 
Resolução : 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 div F = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
div F 
div F div F ( ) 
ROTACIONAL ( Densidade de circulação ) DE UM CAMPO VETORIAL 
 
 Ainda, tomando como base F( x, y ) = M( x, y )i + N( x, y )j, o campo de velocidades de escoamento 
no plano, bem como o retângulo de referência, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Chegamos, através do estudo de circulação apresentada, que o Rotacional de F( x, y ) em P , com “k”, 
a componente em relação ao eixo “z”. 
 
 
 
 
 
 
 
 Para F (x, y, z ) temos ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ( x + ∆x , y ) 
B ( x + ∆x , y + ∆y ) 
C ( x , y + ∆y ) 
P (x, y) 
• 
 
• 
• 
 
• C B 
A 
R 
Circulação anti-horária 
 (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
 rot F = |
 
 
 
 
 
 
 
 
| (
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 rot F = (
𝛛𝐍
𝛛𝐱
 
𝛛𝐌
𝛛𝐲
)𝐤 
Obs. : Note que aqui, o rotacional refere-se APENAS à componente k . 
Exemplos : 
 
1 ) Seja F (x, y ) = ( x² - y )i + ( xy – y² )j , determine rot F. 
 
 
Resolução : 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 rot F = (
 
 
 
 
 
) ( ) 
 
 
 
 
 
2 ) Seja F (x, y, z ) = -yi + xyj + zk , determine rot F. 
 
Resolução : 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) ( ) ( ) [ ( )] 
 
 
 ( ) 
 
 
rot F ( ) 
rot F ( ) 
Exercícios : 
 
 
 
 
1 ) Seja G ( x, y, z ) = ( e
x
 )i + ( 4x²yz )j + ( 3xy )k, determine div G. 
 
 
 
 
 
 
2 ) Seja H ( x, y ) = ( 3x²y )i + ( x³ - 2y )j, determine div H. 
 
 
 
 
 
 
3 ) Seja J ( x, y ) = ( sen²x )i + ( 4cosy )j, determine div J. 
 
 
 
 
 
 
 
4 ) Seja K ( x, y ) = ( 2x
4
 )i + ( e
xy
 )j, determine div K. 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: div H 
Resp.: div G 
Resp.: div J 
Resp.: div K 
5 ) Seja F (x, y, z ) = ( 2x + 4z )i + ( y – z )j + ( 3x –yz )k , determine rot F. 
 
 
 
 
 
 
 
6 ) Seja G (x, y, z ) = x² i - 2xy j + yz² k , determine rot G. 
 
 
 
 
 
 
7 ) Seja H (x, y, z ) = ( sen²z )i + ( 4cos x )j – ( sen y ) k , determine rot H. 
 
 
 
 
 
 
 
8 ) Seja I ( x, y ) = ( 2x
4
 )i + ( e
xy
 )j, determine rot I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: rot F ( ) 
Resp.: rot G 
Resp.: rot H ( ) ( ) ( ) 
Resp.: rot I (y exy )k 
Jacobiano 
 
 Estudando futuramente, em Cálculo III, as integrais múltiplas, verificaremos que um dos tópicos 
abordados é a chamada mudança de variáveis, em que, numa integral dupla, dada pela fórmula 
  dvdu
)v,u(
)y,x(
.)v,u(y),v,u(xfdA)y,x(f
SR


 
, é tratado um conceito muito importante denominado 
Jacobiano. Não faremos sua demonstração agora, porém, mostraremos o Jacobiano como sendo mais uma 
aplicação das derivadas parciais estudadas em Cálculo II. 
 
 Sendo a mudança de variável, mencionada anteriormente, dada pela transformação T do plano uv no 
plano xy : T(u,v) = (x,y). 
 
 Resultamos, sem maiores demonstrações, no produto vetorial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde ru e rv são vetores tangentes a uma superfície S pertencente ao plano uv. 
 
 
Chamamos, pois, de Jacobiano da transformação T com x = f(u, v) e y = g(u, v) à 
 
equação: 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Se T for uma transformação de espaços, temos o Jacobiano 
)w,v,u(
)z,y,x(


 análogo. 
ru x rv = 
u
y
.
v
x
v
y
.
u
x
v
y
v
x
u
y
u
x
v
y
u
y
v
x
u
x
)v,u(
)y,x(





























 
Exemplos: 
 
• Calcule os jacobianos 
)v,u(
)y,x(


 a seguir: 
 
1 ) 







v2uy
v5u2x
 
 
Resolução: 
 
Lembrando... 
 
 
 
 
 































1)v2u(
uu
y
5)v5u2(
vv
x
2)v2u(
vv
y
2)v5u2(
uu
x
 
 
 
Portanto, 
  












54)1.5()2.(2
u
y
.
v
x
v
y
.
u
x
)v,u(
)y,x(
 
2 ) 







v3u4y
v2u3x
2
3
 
 
Resolução: 
 
Lembrando... 
 
 
 
9
)v,u(
)y,x(



 
 
 































u8)v3u4(
uu
y
v6)v2u3(
vv
x
3)v3u4(
vv
y
3)v2u3(
uu
x
223
23
 
 
 
Portanto, 
  












)u8.v6()3.(3
u
y
.
v
x
v
y
.
u
x
)v,u(
)y,x( 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2uv489
)v,u(
)y,x(


