Lista de exercício 2 AlgebraLinear

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Prof. Eduardo Cabral – profeduardocabral@gmail.com 
 2ª Lista de exercício de Álgebra Linear 
 
1) Sejam a1 = [
1
−2
−5
], a2 = [
2
5
6
], e b = [
7
4
−3
]. Determine se b pode ser gerado (ou escrito) como uma 
combinação linear de a1 e a2. Isto é, determine se existem pesos x1 e x2 tais que x1a1 + x2a2 = b. Se a 
equação vetorial tiver solução, encontre-a. 
 
2) Sejam a1 = [
1
−2
3
], a2 = [
5
−13
−3
] e b = [
−3
8
1
]. Então Span {a1 a2} é um plano pela origem no R3. O vetor b 
pertence a esse plano? 
 
 
3) Uma empresa produz dois artigos. Para cada dólar faturado com o produto B, a empresa gasta $ 0,45 
com matéria prima, $ 0,25 com mão de obra e $0,15 com as demais despesas. Para cada dólar do 
produto C, a empresa gasta $ 0,40 com matéria prima, $ 0,30 com mão de obra e $ 0,15 com as demais 
despesas. Sejam 
b = [
0,45
0,25
0,15
] e c = [
0,40
0,30
0,15
] 
 Então b e c representam o “custo por dólar de faturamento” para os dois produtos. 
a) Qual é a interpretação econômica que pode ser dada ao vetor 100b? 
b) Suponha que a empresa quer produzir x1 dólares do produto B e x2 dólares do produto C. Encontre o 
vetor que descreva os diferentes custos da empresa (para matéria prima, mão de obra e demais 
custos). 
 
4) Sejam v1 = [
1
0
−2
], v2 = [
−2
1
7
] e y = [
ℎ
−3
−5
]. Para que valores de h o vetor y pertence ao plano gerado por 
v1 e v2? 
 
 
Prof. Eduardo Cabral – profeduardocabral@gmail.com 
 
5) Sejam A = [
2 0 6
−1 8 5
1 − 2 1
], b = [
10
3
3
], seja W o conjunto de todas as combinações lineares das 
colunas de A. 
a) O vetor b está em W? 
b) Mostre que a terceira coluna de A pertence a W. 
 
6) Sejam v1 = [
1
2
3
], v2 [
4
5
6
], v3 = [
2
1
0
]. 
a. Determine se o conjunto {v1, v2, v3} é linearmente dependente. 
b. Se possível, encontre uma relação de dependência linear entre v1, v2 e v3. 
 
7) Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes. 
a. v1 = [
3
1
], v2 = [
6
2
] 
b. v1 = [
3
2
], v2 = [
6
2
] 
 
8) Sejam u = [
3
1
0
] 𝑒 v = [
1
6
0
]. Descreva o conjunto gerado por u e v e explique porque um vetor w pertence 
a Span {u, v} se, e somente se, {u, v, w} é linearmente dependente. 
 
9) Obtenha matrizes A e B, 3x2, tais que Ax = 0 tenha apenas a solução trivial e Bx = 0 tenha uma solução 
não trivial. 
 
10) Seja V = IR2 e S = {(x,y) ε IR2 / y = 3x + 1}. Verifique se S é um subespaço vetorial de V. Represente 
graficamente. 
 
11) Considere os vetores 𝑥1 = (
2
1
) , 𝑥1 = (
4
3
) , 𝑥1 = (
7
−3
). 
a. Mostre que x1 e x2 formam uma base para R2. 
b. Por que x1, x2, x3 têm que ser linearmente dependentes? 
c. Qual a dimensão de [{x1, x2, x3}]