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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA´ CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FI´SICA LABORATO´RIO DE FI´SICA MODERNA Raza˜o e/m ACADEˆMICOS: Alvaro Franco Martins R.A.:88777 Andre Farinha Bo´sio R.A.:93625 Mariana Ferrareze Casaroto R.A.:93352 Milena Camila Fernandes R.A.:94821 Vinicius Zanatta R.A.:103374 TURMA:31 PROFESSOR: Dr. Gustavo Sanguino Dias MARINGA´, PARANA´ May 26, 2017 Suma´rio 1. Resumo 3 2. Objetivos 3 3. Introduc¸a˜o 4 4. Fundamentac¸a˜o Teo´rica 4 5. Desenvolvimento Experimental 8 5.1 Materiais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.2 Montagem experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.3 Dados obtidos experimentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6. Discussa˜o dos resultados 10 6.1 Dados obtidos experimentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6.2 Ana´lises e discusso˜es dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7. Conclusa˜o 14 Refereˆncias Bibliogra´ficas 14 2 1. Resumo O experimento realizado teve a finalidade de obter a raza˜o carga/massa do ele´tron, por meio dos conceitos do Eletromagnetismo e da Mecaˆnica Cla´ssica. Esta raza˜o pode ser determinada utilizando-se o potencial que acelera os ele´trons, da intensidade do campo magne´tico aplicado e do raio da trajeto´ria que eles descrevem. A experieˆncia consiste em produzir um feixe de ele´trons e acelera´-los por uma diferenc¸a de potencial. Dentro de uma ampola os ele´trons energe´ticos colidem com um ga´s a baixa pressa˜o e produzem fluoresceˆncia tornando poss´ıvel verificar sua trajeto´ria. Um campo magne´tico gerado por um par de bobinas de Helmholtz e´ aplicado forc¸ando o feixe a descrever uma orbita circular. Com o campo magne´tico constante varia-se a diferenc¸a de potencial alterando assim o raio de curvatura dos ele´trons por causa da mudanc¸a de velocidade. Os raios obtidos nas variac¸o˜es sa˜o coletados e utilizados na determinac¸a˜o da raza˜o carga/massa. Para ana´lise dos dados utilizou-se o me´todo gra´fico para extrair a raza˜o carga/massa, e foi obtido um valor de e/m = 1.97316× 1011(±0.11276× 1011)C/kg e constatou- se no resultado uma diferenc¸a de aproximadamente 12.22% com relac¸a˜o ao valor teo´rico de e/m = 1.758820024 × 1011C/kg [3]. Atribui-se que a divergeˆncia en- tre valor encontrado e o teo´rico aos erros de aferic¸a˜o das medidas dos raios e da instrumentac¸a˜o. 2. Objetivos Os objetivos dessa pra´tica experimental foram: verificar o comportamento do feixe de ele´trons com a variac¸a˜o da diferenc¸a de potencial aplicado sobre o feixe; determinar experimentalmente a raza˜o carga/massa do ele´tron a partir dos raios das trajeto´rias descritas pelo feixe de ele´trons quando sujeito a forc¸a de um campo magne´tico; analisar os resultados obtidos, comparando-os com o valor teo´rico e discuti-los. 3 3. Introduc¸a˜o A raza˜o carga massa do ele´tron foi medida experimentalmente pela primeira vez no final do se´culo XIX, por Sir J.J. Thompson no Cavendish Laboratory, em Cam- bridge, na Inglaterra. Esta experieˆncia confirmou pela primeira vez a existeˆncia do ele´tron como part´ıcula elementar de carga negativa e possuindo massa bem definida [4]. O experimento de Thompson utilizou ele´trons gerados num ca´todo, que sa˜o acel- erados por uma diferenc¸a de potencial criando um feixe de raios cato´dicos. Thomp- son determinou a raza˜o e/m atuando no valor do campo ele´trico aplicado, ate´ que as forc¸as ele´trica e magne´tica fossem iguais. Esta condic¸a˜o e´ alcanc¸ada no momento em que a deflexa˜o do feixe deixa de ser observado numa tela fosforescente. A raza˜o e/m e´ uma quantidade f´ısica amplamente utilizada em eletrodinaˆmica de part´ıculas car- regadas - tal como aquela envolvendo a o´ptica de ele´trons e ı´ons. Por consequeˆncia disto, em 1991, ficou estabelecido que a unidade e/m seria nomeada de thompson (Th), em reconhecimento a`quele que primeiro a determinou. O me´todo utilizado neste experimento e´ semelhante ao citado anteriormente e baseia-se no princ´ıpio de funcionamento de um tubo e/m acoplado a um par de bobinas de Helmholtz [1]. 4. Fundamentac¸a˜o Teo´rica A forc¸a magne´tica, ~Fm, que atua em uma part´ıcula carregada de carga q se movendo com velocidade ~v num campo magne´tico ~B, e´ dada pela equac¸a˜o [2]: ~Fm = q~v × ~B (4.1) Como o feixe de ele´trons, nesse experimento, e´ perpendicular ao campo magne´tico e q = e temos, Fm = evB sen 90 o (4.2) Fm = evB (4.3) Como os ele´trons se movem em um movimento circular, ha´ uma forc¸a centr´ıpeta atuando, e seu mo´dulo e´ dado por: Fc = mv2 r (4.4) 4 onde m e´ a massa do ele´tron, cujo valor e´ de aproximadamente m = 9.11 × 10−31 kg, e r e´ o raio do movimento circular dos ele´trons. Assumindo que a unica forc¸a atuante e´ a forc¸a causada pelo campo magne´tico temos que, Fm = Fc (4.5) Portanto substituindo (4.3) e (4.4) em (4.5) temos, evB = mv2 2 (4.6) ou e m = v Br (4.7) Assim, para determinar a raza˜o e/m e´ necessa´rio apenas do campo magne´tico prduzido pela bobina de Helmholtz, do raio e da velocidade do feixe de ele´trons. Os ele´trons sa˜o acelerados grac¸as a diferenc¸a de potencial V , de forma que a energia potencial e´ igual a energia cine´tica desses ele´trons, assim, eV = 1 2 mv2 (4.8) Portanto, a velocidade dos ele´trons e´, v = ( 2eV m ) 1 2 (4.9) Por meio da lei de Biot-Sarvat podemos calcular o campo magne´tico produzido pela bobina de Helmholtz [5]. Assim, d ~B = µ0 4pi Id~l × r̂ r2 (4.10) A equac¸a˜o (4.10) nos permite encontrar o campo ~B em um ponto sobre o eixo da espira a uma distaˆncia a/2 de seu centro, como indica a Figura 6.3. Essa configurac¸a˜o estabelece o que chamamos de Bobina de Helmholtz. 5 Figure 4.1: Representac¸a˜o esquema´tica do campo magne´tico, d ~B, produzido em um ponto no eixo da espira por um elemento infinitesimal de corrente. Onde, a e´ o raio da bobina, ~r e´ a distaˆncia entre o fio e o ponto no espac¸o e os vetores d ~Bx e d ~Ba sa˜o, respectivamente, as componentem do campo d ~B no eixo x e na direc¸a˜o radial â. Podemos notar que, por simetria, as componentes do campo magne´tico na direc¸a˜o radial, d ~Ba, se anulam, restando apenas as componentes no eixo x, d ~Bx. Podemos relacionar d ~Bx com o aˆngulo θ, d ~Bx = d ~B cos θ (4.11) Podemos notar que o aˆngulo entre o vetor r̂ e o vetor d~l e´ sempre de 90o, assim, pela equac¸a˜o 4.10 temos, d ~B = µ0 4pi Idl r2 ıˆ (4.12) Substituindo em (4.11) temos, d ~Bx = µ0 4pi Idl r2 cos θıˆ (4.13) Integrando obtemos, ~Bx = µ0 4pi Il r2 cos θıˆ (4.14) Como l e´ o comprimento de arco da bobina, temos que l = 2pia, enta˜o, ~Bx = µ0 4pi I2pia r2 cos θıˆ (4.15) 6 Podemos ver pela Figura 6.3 que, cos θ = a r (4.16) Substituindo (4.16) em (4.15), temos, ~Bx = µ0 2 Ia r2 a r ıˆ (4.17) ~Bx = µ0 2 Ia2 r3 ıˆ (4.18) Pelo teorema de Pita´goras, temos, r = ( a2 + a2 4 ) 1 2 = ( 5 4 ) 1 2 a (4.19) Substituindo (4.19) em (4.18), obtemos, ~Bx = µ0 2 Ia2[( 5 4 ) 1 2 a ]3 ıˆ (4.20) ~Bx = µ0I 2 ( 5 4 ) 3 2 a ıˆ (4.21) Como ~B = ~Ba + ~Bx, temos, ~B = µ0I 2 ( 5 2 ) 3 2 a ıˆ (4.22) A equac¸a˜o (4.22) representa o campo produzido por uma espira de umas das bobinas no ponto x = a/2. O campo total produzido pelas N espiras das duas bobinas de Helmholtz somados sera´ enta˜o, ~B = [Nµ0] I( 5 4 ) 3 2 a ıˆ (4.23) cujo mo´dulo e´, B = [Nµ0] I( 5 4 ) 3 2 a (4.24) Substituindo (4.9) e (4.24) em (4.7), obtemos, e m = v Br = 2V (5/4)3a2 (Nµ0Ir) 2 (4.25) Onde, V e´ a diferenc¸a de potencial que faz os ele´trons acelerarem, a e´ o raio da bobina de Helmholtz, N e´ o nu´mero de espiras da bobina (N=130), µ0 e´ a constante de permeabilidade magne´tica do va´cuo (µ0 = 4pi×10−7 N/A2), I e´ a corrente que passa na bobina e r e´ o raio do caminho feito pelos ele´trons. 7 O valor esperado para a massa do ele´tron e´ me = 9.10938356 × 10−31 kg, e o valor do mo´dulo da carga e´ e = 1.602176565×10−19C [3]. Resultando em uma raza˜o carga/massa de, e me = 1.6021766208× 10−19C 9.10938356× 10−31kg = 1.758820024× 10 11 C kg (4.26) 5. Desenvolvimento Experimental 5.1 Materiais Utilizados • Equipamento PASCO SE 9638; • Mult´ımetro digital; • Cabos com conectores banana; • Fonte de tensa˜o. 5.2 Montagem experimental A montagem experimental se deu como prescrito pelo manual do equipamento uti- lizado [2]. Os terminais de alta tensa˜o foram ligados a`s placas de acelerac¸a˜o (em paralelo ao multimetro digital), o filamento a` sa´ıda da fonte, ajustada no indicador quatro, e por fim as espiras foram ligadas na sa´ıda 12V da fonte. Aplicou-se enta˜o uma tensa˜o de em torno de 300V, agora com as luzes apagadas, ajustou-se a cor- rente nas espiras de forma que o raio observado fosse o maior poss´ıvel, sem tocar as paredes de vidro. A coleta de dados foi feita a olho nu, onde devido a na˜o centralizac¸a˜o do anel de plasma foram medidos o raio a` esquerda e a` direita, e enta˜o aplicado a` me´dia entre os dois. A observac¸a˜o disso por sua vez foi feita alinhando o olho do observador a` re´gua espelhada atra´s do aparato, o anel ionizado e seu reflexo, de forma a reduzir o erro de paralaxe. A figura 5.2 representa um esquema da visa˜o da pessoa que realizou a medida do raio a` direita. 8 Figure 5.2: Representac¸a˜o esquema´tica da visa˜o do observador ao utilizar o aparato. Usando este me´todo de medida, a tensa˜o inicial da calibrac¸a˜o foi reduzida em passos de aproximadamente 20V, onde para cada nova tensa˜o dois experimentadores observavam os raios. Os dados com os raios dos observadores esta˜o presententes na tabela 5.1, e o raio me´dio ao quadrado consta na tabela 6.2 da sec¸a˜o 6.1. 5.3 Dados obtidos experimentalmente A tabela 5.1 mostra os dados obtidos experimentalmente. r1 (cm) ∆r1 = ±0.1 r2 (cm) ∆r2 = ±0.1 V (V) ∆V = ±0.1 6,1 4.5 300.5 6.0 4.3 280.0 6.0 4.0 260.4 5.8 3.9 240.5 5.7 3.7 220.2 5.5 3.5 200.2 5.4 3.3 180.2 5.0 3.0 160.6 4.9 2.9 140.8 4.6 2.6 120.1 4.1 2.3 100.2 3.9 2.0 90.7 Table 5.1: Dados obtidos experimentalmente. Sendo que, r1 e´ o raio medido para a direita, r2 e´ o raio medido para a esquerda, V e´ a tensa˜o na fonte. Junto a`s varia´veis, ale´m da unidade de medida, encontram-se os desvios associados a cada medida, os quais esta˜o na mesma unidade especificada. Ale´m desses valores, mediu-se tambe´m uma corrente de I = 1, 36(±0.01) A. O raio das bobinas eram a = 15 cm e o nu´mero de espiras dessas bobinas eram N = 130. 9 6. Discussa˜o dos resultados 6.1 Dados obtidos experimentalmente Com os valores da tabela 4.15 foi poss´ıvel calcular o valor do raioa partir da relac¸a˜o 6.27. r = r1 + r2 2 (6.27) O valor do raio se encontra na tabela 6.2. r2 (m2) V (Volts) 0.02952 90.7 0.03202 100.2 0.03602 120.1 0.03902 140.7 0.04002 160.6 0.04352 180.1 0.04702 200.2 0.04702 220.2 0.04852 240.0 0.05002 260.4 0.05152 280.0 0.05302 300.5 Table 6.2: Valor do raio da trajeto´ria do feixe de ele´trons, r, em func¸a˜o da tensa˜o. 6.2 Ana´lises e discusso˜es dos resultados O desvio associado a cada valor de raio ao quadrado foi calculado da seguinte forma: ln r2 = 2 ln r (6.28) σr2 r2 = 2 σr r (6.29) σr2 = 2rσr (6.30) Ale´m disso, o erro associado a cada valor medido de tensa˜o foi de 0, 1V. O gra´fico a seguir representa os valores encontrados com seus respectivos erros. 10 Figure 6.3: Gra´fico da relac¸a˜o raio ao quadrado e tensa˜o, obtido pela equac¸a˜o (4.25). Pode-se observar que, devido ao erro associado a` tensa˜o ser baixo (0, 1V), e´ im- poss´ıvel notar esse desvio no gra´fico acima. Entretanto, o raio ao quadrado ja´ representa uma dada incerteza a cada valor. Foi enta˜o feito uma ajuste linear para os dados. O modelo tem como reta r2 = 0.000186396 + 9.02395× 10−6V (6.31) Desta forma, os paraˆmetros estimados para o coeficiente linear e o coeficiente angular sa˜o, respectivamente, Estimado Desvio Padra˜o 0.000186396 0.0000847773 9.02395× 10−6 4.18094× 10−7 11 100 150 200 250 300 V (Volts) 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 r²(cm²) Raio e Tensão - Ajuste Linear Figure 6.4: Dados experimentais e o respectivo ajuste linear. Portanto, dado o coeficiente angular da reta, podemos calcular a relac¸a˜o carga/massa atrave´s dos dados experimentais. Isto e´, pela equac¸a˜o (4.25), utilizando as in- formac¸o˜es anotadas para os valores padro˜es utilizados no experimento, temos que r2 = 9.02395× 10−6V (6.32) e r2 = m e 2(5/4)3a2 (Nµ0I) 2 V (6.33) Comparando ambas as equac¸o˜es anteriores, obteˆm-se 9.02395× 10−6 = m e 2(5/4)3a2 (Nµ0I) 2 (6.34) Mas 2(5/4)3a2 (Nµ0I) 2 = 1.78057× 106 (6.35) Logo, e m = 1.78057× 106 9.02395× 10−6 = 1.97316× 10 11 (6.36) Devemos agora calcular o desvio padra˜o associado a` raza˜o carga/massa. Para isso podemos considerar apenas os valores com desvio, sendo eles o valor do coeficiente angular,α e da corrente, I. Assim temos, e m = 1 αI2 (6.37) 12 Aplicando ln temos, ln ( e m ) = ln ( 1 αI2 ) (6.38) Como tratamos com desvios, devemos somar os ln, σe/m e/m = lnα + lnI2 (6.39) σe/m e/m = σα α + 2 σI I (6.40) σe/m 1.97316× 1011 = 4.18094× 10−7 9.02395× 10−6 + 2 0.01 1.8496 (6.41) Assim, σe/m = 1.12755723× 1010 (6.42) Portanto o valor da raza˜o carga/massa e´, e/m = 1.97316(±0.11276)× 1011C/kg (6.43) Esse resultado possui um desvio percentual de 12.22%. Tendo em vista o valor teo´rico e o valor obtido experimentalmente, pode-se dizer que os resultados obtidos foram satisfato´rios. Os desvios associados aos valores obtidos sa˜o ocasionados pela imprecisa˜o dos equipamentos utilizados, e principalmente pelo mau posicionamento da re´gua utilizada para aferir o valor do raio da trajeto´ria do feixe de ele´trons, acarretando em uma medida pouco precisa. 13 7. Conclusa˜o Como proposto pelo objetivo deste relato´rio, foi poss´ıvel a obtenc¸a˜o experimen- tal da raza˜o carga massa do ele´tron, na qual e/m = 1.97316×1011 C/kg. Resultado este pro´ximo ao previsto pela teoria presente no desenvolvimento teo´rico deste re- lato´rio. Poss´ıveis erros aferidos na realizac¸a˜o do experimento seriam na medic¸a˜o do diaˆmetro da trajeto´ria circular do feixe de ele´trons e a centralizac¸a˜o na˜o exata da re´gua no centro geome´trico da trajeto´ria circular.Por fim, o valor obtido exper- imentalmente obteve um desvio percentual de 12.22%. Uma melhoria via´vel para diminuir a inexatida˜o do experimento seria se um equipamento mais preciso para a medida do diaˆmetro pudesse ser usado. 14 Bibliography [1] Laborato´rio Avanc¸ado de F´ısica- Raza˜o Carga-Massa q/m. IFSC USP- Instituto de F´ısica de Sa˜o Carlos. [2] Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific Model SE- 9638. PASCO, Roseville, 1987. [3] http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?esme, Pa´gina visitada em 24 de Maio de 2017. Acesso a`s 15:41. [4] C. R. A. Lima. To´picos de Laborato´rio de F´ısica Moderna. [5] H. M. Nussenzveig. Curso de f´ısica ba´sica: Eletromagnetismo. Edgard Blu¨cher, Sa˜o Paulo, 2a edition, 2015. 15
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