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Relatorio razão carga massa do elétron

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FI´SICA
LABORATO´RIO DE FI´SICA MODERNA
Raza˜o e/m
ACADEˆMICOS: Alvaro Franco Martins R.A.:88777
Andre Farinha Bo´sio R.A.:93625
Mariana Ferrareze Casaroto R.A.:93352
Milena Camila Fernandes R.A.:94821
Vinicius Zanatta R.A.:103374
TURMA:31
PROFESSOR: Dr. Gustavo Sanguino Dias
MARINGA´, PARANA´
May 26, 2017
Suma´rio
1. Resumo 3
2. Objetivos 3
3. Introduc¸a˜o 4
4. Fundamentac¸a˜o Teo´rica 4
5. Desenvolvimento Experimental 8
5.1 Materiais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Montagem experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3 Dados obtidos experimentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6. Discussa˜o dos resultados 10
6.1 Dados obtidos experimentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2 Ana´lises e discusso˜es dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7. Conclusa˜o 14
Refereˆncias Bibliogra´ficas 14
2
1. Resumo
O experimento realizado teve a finalidade de obter a raza˜o carga/massa do ele´tron,
por meio dos conceitos do Eletromagnetismo e da Mecaˆnica Cla´ssica. Esta raza˜o
pode ser determinada utilizando-se o potencial que acelera os ele´trons, da intensidade
do campo magne´tico aplicado e do raio da trajeto´ria que eles descrevem.
A experieˆncia consiste em produzir um feixe de ele´trons e acelera´-los por uma
diferenc¸a de potencial. Dentro de uma ampola os ele´trons energe´ticos colidem com
um ga´s a baixa pressa˜o e produzem fluoresceˆncia tornando poss´ıvel verificar sua
trajeto´ria. Um campo magne´tico gerado por um par de bobinas de Helmholtz e´
aplicado forc¸ando o feixe a descrever uma orbita circular. Com o campo magne´tico
constante varia-se a diferenc¸a de potencial alterando assim o raio de curvatura dos
ele´trons por causa da mudanc¸a de velocidade. Os raios obtidos nas variac¸o˜es sa˜o
coletados e utilizados na determinac¸a˜o da raza˜o carga/massa.
Para ana´lise dos dados utilizou-se o me´todo gra´fico para extrair a raza˜o carga/massa,
e foi obtido um valor de e/m = 1.97316× 1011(±0.11276× 1011)C/kg e constatou-
se no resultado uma diferenc¸a de aproximadamente 12.22% com relac¸a˜o ao valor
teo´rico de e/m = 1.758820024 × 1011C/kg [3]. Atribui-se que a divergeˆncia en-
tre valor encontrado e o teo´rico aos erros de aferic¸a˜o das medidas dos raios e da
instrumentac¸a˜o.
2. Objetivos
Os objetivos dessa pra´tica experimental foram: verificar o comportamento do
feixe de ele´trons com a variac¸a˜o da diferenc¸a de potencial aplicado sobre o feixe;
determinar experimentalmente a raza˜o carga/massa do ele´tron a partir dos raios
das trajeto´rias descritas pelo feixe de ele´trons quando sujeito a forc¸a de um campo
magne´tico; analisar os resultados obtidos, comparando-os com o valor teo´rico e
discuti-los.
3
3. Introduc¸a˜o
A raza˜o carga massa do ele´tron foi medida experimentalmente pela primeira vez
no final do se´culo XIX, por Sir J.J. Thompson no Cavendish Laboratory, em Cam-
bridge, na Inglaterra. Esta experieˆncia confirmou pela primeira vez a existeˆncia do
ele´tron como part´ıcula elementar de carga negativa e possuindo massa bem definida
[4]. O experimento de Thompson utilizou ele´trons gerados num ca´todo, que sa˜o acel-
erados por uma diferenc¸a de potencial criando um feixe de raios cato´dicos. Thomp-
son determinou a raza˜o e/m atuando no valor do campo ele´trico aplicado, ate´ que as
forc¸as ele´trica e magne´tica fossem iguais. Esta condic¸a˜o e´ alcanc¸ada no momento em
que a deflexa˜o do feixe deixa de ser observado numa tela fosforescente. A raza˜o e/m
e´ uma quantidade f´ısica amplamente utilizada em eletrodinaˆmica de part´ıculas car-
regadas - tal como aquela envolvendo a o´ptica de ele´trons e ı´ons. Por consequeˆncia
disto, em 1991, ficou estabelecido que a unidade e/m seria nomeada de thompson
(Th), em reconhecimento a`quele que primeiro a determinou. O me´todo utilizado
neste experimento e´ semelhante ao citado anteriormente e baseia-se no princ´ıpio de
funcionamento de um tubo e/m acoplado a um par de bobinas de Helmholtz [1].
4. Fundamentac¸a˜o Teo´rica
A forc¸a magne´tica, ~Fm, que atua em uma part´ıcula carregada de carga q se
movendo com velocidade ~v num campo magne´tico ~B, e´ dada pela equac¸a˜o [2]:
~Fm = q~v × ~B (4.1)
Como o feixe de ele´trons, nesse experimento, e´ perpendicular ao campo magne´tico
e q = e temos,
Fm = evB sen 90
o (4.2)
Fm = evB (4.3)
Como os ele´trons se movem em um movimento circular, ha´ uma forc¸a centr´ıpeta
atuando, e seu mo´dulo e´ dado por:
Fc =
mv2
r
(4.4)
4
onde m e´ a massa do ele´tron, cujo valor e´ de aproximadamente m = 9.11 × 10−31
kg, e r e´ o raio do movimento circular dos ele´trons.
Assumindo que a unica forc¸a atuante e´ a forc¸a causada pelo campo magne´tico
temos que,
Fm = Fc (4.5)
Portanto substituindo (4.3) e (4.4) em (4.5) temos,
evB =
mv2
2
(4.6)
ou
e
m
=
v
Br
(4.7)
Assim, para determinar a raza˜o e/m e´ necessa´rio apenas do campo magne´tico
prduzido pela bobina de Helmholtz, do raio e da velocidade do feixe de ele´trons.
Os ele´trons sa˜o acelerados grac¸as a diferenc¸a de potencial V , de forma que a
energia potencial e´ igual a energia cine´tica desses ele´trons, assim,
eV =
1
2
mv2 (4.8)
Portanto, a velocidade dos ele´trons e´,
v =
(
2eV
m
) 1
2
(4.9)
Por meio da lei de Biot-Sarvat podemos calcular o campo magne´tico produzido
pela bobina de Helmholtz [5]. Assim,
d ~B =
µ0
4pi
Id~l × r̂
r2
(4.10)
A equac¸a˜o (4.10) nos permite encontrar o campo ~B em um ponto sobre o eixo da
espira a uma distaˆncia a/2 de seu centro, como indica a Figura 6.3. Essa configurac¸a˜o
estabelece o que chamamos de Bobina de Helmholtz.
5
Figure 4.1: Representac¸a˜o esquema´tica do campo magne´tico, d ~B, produzido em um
ponto no eixo da espira por um elemento infinitesimal de corrente. Onde, a e´ o raio
da bobina, ~r e´ a distaˆncia entre o fio e o ponto no espac¸o e os vetores d ~Bx e d ~Ba
sa˜o, respectivamente, as componentem do campo d ~B no eixo x e na direc¸a˜o radial
â.
Podemos notar que, por simetria, as componentes do campo magne´tico na direc¸a˜o
radial, d ~Ba, se anulam, restando apenas as componentes no eixo x, d ~Bx. Podemos
relacionar d ~Bx com o aˆngulo θ,
d ~Bx = d ~B cos θ (4.11)
Podemos notar que o aˆngulo entre o vetor r̂ e o vetor d~l e´ sempre de 90o, assim,
pela equac¸a˜o 4.10 temos,
d ~B =
µ0
4pi
Idl
r2
ıˆ (4.12)
Substituindo em (4.11) temos,
d ~Bx =
µ0
4pi
Idl
r2
cos θıˆ (4.13)
Integrando obtemos,
~Bx =
µ0
4pi
Il
r2
cos θıˆ (4.14)
Como l e´ o comprimento de arco da bobina, temos que l = 2pia, enta˜o,
~Bx =
µ0
4pi
I2pia
r2
cos θıˆ (4.15)
6
Podemos ver pela Figura 6.3 que,
cos θ =
a
r
(4.16)
Substituindo (4.16) em (4.15), temos,
~Bx =
µ0
2
Ia
r2
a
r
ıˆ (4.17)
~Bx =
µ0
2
Ia2
r3
ıˆ (4.18)
Pelo teorema de Pita´goras, temos,
r =
(
a2 +
a2
4
) 1
2
=
(
5
4
) 1
2
a (4.19)
Substituindo (4.19) em (4.18), obtemos,
~Bx =
µ0
2
Ia2[(
5
4
) 1
2 a
]3 ıˆ (4.20)
~Bx =
µ0I
2
(
5
4
) 3
2 a
ıˆ (4.21)
Como ~B = ~Ba + ~Bx, temos,
~B =
µ0I
2
(
5
2
) 3
2 a
ıˆ (4.22)
A equac¸a˜o (4.22) representa o campo produzido por uma espira de umas das
bobinas no ponto x = a/2. O campo total produzido pelas N espiras das duas
bobinas de Helmholtz somados sera´ enta˜o,
~B =
[Nµ0] I(
5
4
) 3
2 a
ıˆ (4.23)
cujo mo´dulo e´,
B =
[Nµ0] I(
5
4
) 3
2 a
(4.24)
Substituindo (4.9) e (4.24) em (4.7), obtemos,
e
m
=
v
Br
=
2V (5/4)3a2
(Nµ0Ir)
2 (4.25)
Onde, V e´ a diferenc¸a de potencial que faz os ele´trons acelerarem, a e´ o raio
da bobina
de Helmholtz, N e´ o nu´mero de espiras da bobina (N=130), µ0 e´ a constante de
permeabilidade magne´tica do va´cuo (µ0 = 4pi×10−7 N/A2), I e´ a corrente que passa
na bobina e r e´ o raio do caminho feito pelos ele´trons.
7
O valor esperado para a massa do ele´tron e´ me = 9.10938356 × 10−31 kg, e o
valor do mo´dulo da carga e´ e = 1.602176565×10−19C [3]. Resultando em uma raza˜o
carga/massa de,
e
me
=
1.6021766208× 10−19C
9.10938356× 10−31kg = 1.758820024× 10
11 C
kg
(4.26)
5. Desenvolvimento Experimental
5.1 Materiais Utilizados
• Equipamento PASCO SE 9638;
• Mult´ımetro digital;
• Cabos com conectores banana;
• Fonte de tensa˜o.
5.2 Montagem experimental
A montagem experimental se deu como prescrito pelo manual do equipamento uti-
lizado [2]. Os terminais de alta tensa˜o foram ligados a`s placas de acelerac¸a˜o (em
paralelo ao multimetro digital), o filamento a` sa´ıda da fonte, ajustada no indicador
quatro, e por fim as espiras foram ligadas na sa´ıda 12V da fonte. Aplicou-se enta˜o
uma tensa˜o de em torno de 300V, agora com as luzes apagadas, ajustou-se a cor-
rente nas espiras de forma que o raio observado fosse o maior poss´ıvel, sem tocar as
paredes de vidro.
A coleta de dados foi feita a olho nu, onde devido a na˜o centralizac¸a˜o do anel de
plasma foram medidos o raio a` esquerda e a` direita, e enta˜o aplicado a` me´dia entre
os dois. A observac¸a˜o disso por sua vez foi feita alinhando o olho do observador a`
re´gua espelhada atra´s do aparato, o anel ionizado e seu reflexo, de forma a reduzir
o erro de paralaxe. A figura 5.2 representa um esquema da visa˜o da pessoa que
realizou a medida do raio a` direita.
8
Figure 5.2: Representac¸a˜o esquema´tica da visa˜o do observador ao utilizar o aparato.
Usando este me´todo de medida, a tensa˜o inicial da calibrac¸a˜o foi reduzida em
passos de aproximadamente 20V, onde para cada nova tensa˜o dois experimentadores
observavam os raios. Os dados com os raios dos observadores esta˜o presententes na
tabela 5.1, e o raio me´dio ao quadrado consta na tabela 6.2 da sec¸a˜o 6.1.
5.3 Dados obtidos experimentalmente
A tabela 5.1 mostra os dados obtidos experimentalmente.
r1 (cm)
∆r1 = ±0.1
r2 (cm)
∆r2 = ±0.1
V (V)
∆V = ±0.1
6,1 4.5 300.5
6.0 4.3 280.0
6.0 4.0 260.4
5.8 3.9 240.5
5.7 3.7 220.2
5.5 3.5 200.2
5.4 3.3 180.2
5.0 3.0 160.6
4.9 2.9 140.8
4.6 2.6 120.1
4.1 2.3 100.2
3.9 2.0 90.7
Table 5.1: Dados obtidos experimentalmente. Sendo que, r1 e´ o raio medido para a
direita, r2 e´ o raio medido para a esquerda, V e´ a tensa˜o na fonte. Junto a`s varia´veis,
ale´m da unidade de medida, encontram-se os desvios associados a cada medida, os
quais esta˜o na mesma unidade especificada.
Ale´m desses valores, mediu-se tambe´m uma corrente de I = 1, 36(±0.01) A.
O raio das bobinas eram a = 15 cm e o nu´mero de espiras dessas bobinas eram
N = 130.
9
6. Discussa˜o dos resultados
6.1 Dados obtidos experimentalmente
Com os valores da tabela 4.15 foi poss´ıvel calcular o valor do raioa partir da relac¸a˜o
6.27.
r =
r1 + r2
2
(6.27)
O valor do raio se encontra na tabela 6.2.
r2 (m2) V (Volts)
0.02952 90.7
0.03202 100.2
0.03602 120.1
0.03902 140.7
0.04002 160.6
0.04352 180.1
0.04702 200.2
0.04702 220.2
0.04852 240.0
0.05002 260.4
0.05152 280.0
0.05302 300.5
Table 6.2: Valor do raio da trajeto´ria do feixe de ele´trons, r, em func¸a˜o da tensa˜o.
6.2 Ana´lises e discusso˜es dos resultados
O desvio associado a cada valor de raio ao quadrado foi calculado da seguinte
forma:
ln r2 = 2 ln r (6.28)
σr2
r2
= 2
σr
r
(6.29)
σr2 = 2rσr (6.30)
Ale´m disso, o erro associado a cada valor medido de tensa˜o foi de 0, 1V. O gra´fico
a seguir representa os valores encontrados com seus respectivos erros.
10
Figure 6.3: Gra´fico da relac¸a˜o raio ao quadrado e tensa˜o, obtido pela equac¸a˜o (4.25).
Pode-se observar que, devido ao erro associado a` tensa˜o ser baixo (0, 1V), e´ im-
poss´ıvel notar esse desvio no gra´fico acima. Entretanto, o raio ao quadrado ja´
representa uma dada incerteza a cada valor.
Foi enta˜o feito uma ajuste linear para os dados. O modelo tem como reta
r2 = 0.000186396 + 9.02395× 10−6V (6.31)
Desta forma, os paraˆmetros estimados para o coeficiente linear e o coeficiente
angular sa˜o, respectivamente,
Estimado Desvio Padra˜o
0.000186396 0.0000847773
9.02395× 10−6 4.18094× 10−7
11
100 150 200 250 300
V (Volts)
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
r²(cm²) Raio e Tensão - Ajuste Linear
Figure 6.4: Dados experimentais e o respectivo ajuste linear.
Portanto, dado o coeficiente angular da reta, podemos calcular a relac¸a˜o carga/massa
atrave´s dos dados experimentais. Isto e´, pela equac¸a˜o (4.25), utilizando as in-
formac¸o˜es anotadas para os valores padro˜es utilizados no experimento, temos que
r2 = 9.02395× 10−6V (6.32)
e
r2 =
m
e
2(5/4)3a2
(Nµ0I)
2 V (6.33)
Comparando ambas as equac¸o˜es anteriores, obteˆm-se
9.02395× 10−6 = m
e
2(5/4)3a2
(Nµ0I)
2 (6.34)
Mas
2(5/4)3a2
(Nµ0I)
2 = 1.78057× 106 (6.35)
Logo,
e
m
=
1.78057× 106
9.02395× 10−6 = 1.97316× 10
11 (6.36)
Devemos agora calcular o desvio padra˜o associado a` raza˜o carga/massa. Para isso
podemos considerar apenas os valores com desvio, sendo eles o valor do coeficiente
angular,α e da corrente, I. Assim temos,
e
m
=
1
αI2
(6.37)
12
Aplicando ln temos,
ln
( e
m
)
= ln
(
1
αI2
)
(6.38)
Como tratamos com desvios, devemos somar os ln,
σe/m
e/m
= lnα + lnI2 (6.39)
σe/m
e/m
=
σα
α
+ 2
σI
I
(6.40)
σe/m
1.97316× 1011 =
4.18094× 10−7
9.02395× 10−6 + 2
0.01
1.8496
(6.41)
Assim,
σe/m = 1.12755723× 1010 (6.42)
Portanto o valor da raza˜o carga/massa e´,
e/m = 1.97316(±0.11276)× 1011C/kg (6.43)
Esse resultado possui um desvio percentual de 12.22%. Tendo em vista o valor
teo´rico e o valor obtido experimentalmente, pode-se dizer que os resultados obtidos
foram satisfato´rios. Os desvios associados aos valores obtidos sa˜o ocasionados pela
imprecisa˜o dos equipamentos utilizados, e principalmente pelo mau posicionamento
da re´gua utilizada para aferir o valor do raio da trajeto´ria do feixe de ele´trons,
acarretando em uma medida pouco precisa.
13
7. Conclusa˜o
Como proposto pelo objetivo deste relato´rio, foi poss´ıvel a obtenc¸a˜o experimen-
tal da raza˜o carga massa do ele´tron, na qual e/m = 1.97316×1011 C/kg. Resultado
este pro´ximo ao previsto pela teoria presente no desenvolvimento teo´rico deste re-
lato´rio. Poss´ıveis erros aferidos na realizac¸a˜o do experimento seriam na medic¸a˜o
do diaˆmetro da trajeto´ria circular do feixe de ele´trons e a centralizac¸a˜o na˜o exata
da re´gua no centro geome´trico da trajeto´ria circular.Por fim, o valor obtido exper-
imentalmente obteve um desvio percentual de 12.22%. Uma melhoria via´vel para
diminuir a inexatida˜o do experimento seria se um equipamento mais preciso para a
medida do diaˆmetro pudesse ser usado.
14
Bibliography
[1] Laborato´rio Avanc¸ado de F´ısica- Raza˜o Carga-Massa q/m. IFSC USP- Instituto
de F´ısica de Sa˜o Carlos.
[2] Instruction Manual and Experiment Guide for the PASCO scientific Model SE-
9638. PASCO, Roseville, 1987.
[3] http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?esme, Pa´gina visitada em 24 de Maio
de 2017. Acesso a`s 15:41.
[4] C. R. A. Lima. To´picos de Laborato´rio de F´ısica Moderna.
[5] H. M. Nussenzveig. Curso de f´ısica ba´sica: Eletromagnetismo. Edgard Blu¨cher,
Sa˜o Paulo, 2a edition, 2015.
15

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