Aula_I_-_Conjuntos_Modo_de_Compatibilidade_

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Conjuntos
Denise Knorst da Silva
UFFS – Campus Erechim
denise.silva@uffs.edu.br
Situação problema
Sejam os nomes: Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, 
Maio, Junho, Julho, Agosto, Setembro, Outubro, Maio, Junho, Julho, Agosto, Setembro, Outubro, Maio, Junho, Julho, Agosto, Setembro, Outubro, Maio, Junho, Julho, Agosto, Setembro, Outubro, 
Novembro e Dezembro. Novembro e Dezembro. Novembro e Dezembro. Novembro e Dezembro. 
i)Há uma a propriedade comum a eles? 
ii)Se sim, qual?
iii)Eles constituem um conjunto? Qual?
iv)Quais são as outras formas de reagrupá-los?
v)Como podemos representar matematicamente os 
diferentes agrupamentos formados a partir dos 
meses dados?
O exemplo supracitado anuncia o estudo de ......
Noção de conjuntos
A noção de conjunto é a mais simples 
e fundamental da matemática, pois a 
partir dela pode-se expressar todos os 
conceitos matemáticos. De maneira 
primitiva um conjunto é uma coleção 
de objetos.
� Conjunto das universidades federais do RS: UFFS, 
FURG1, UFPel, UFRGS, UFSM, UNIPAMPA2
1Fundação Universidade Federal de Rio Grande
2Universidade Federal do Pampa (Jaguarão, Bagé, Dom Pedrito, São Gabriel, Itaqui,
Caçapava do Sul, Santana do Livramento, Alegrete, Uruguaiana e São Borja)
Representação matemática para os exemplo:
i)i)i)i)Conjunto das Universidades Federais Conjunto das Universidades Federais Conjunto das Universidades Federais Conjunto das Universidades Federais 
GaúchasGaúchasGaúchasGaúchas
U={U={U={U={UFFS, FURG, UFPel, UFRGS, UFSM, 
UNIPAMPA}}}}
Introdução à noção de conjuntos
� Conjunto – Elemento - Pertinência
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem 
definição, isto é, são consideradas noções 
primitivas:
i)Conjunto
ii)Elemento
iii)Pertinência entre elemento e conjunto.
A noção matemática de conjunto é praticamente a 
mesma que se usa na linguagem comum: 
agrupamento, classe, coleção, sistema.
Conjunto
� coleção qualquer de objetos, itens ou grupos 
de pessoas, sem repetição e não ordenada. 
� é formado por elementos e pode ser 
representado de diversas maneiras:
Diagrama
Nomeando elementos C = {2,3,4,5}
Propriedades características C = {x/x é inteiro maior ou 
igual a 2 e menor ou igual a 5}
ou C= {x∈N/2 ≤ x ≤ 5}
2 3 4 5
Pertinência
� Uma pergunta que sempre podemos fazer, 
dado um conjunto A e um objeto a, é, o 
objeto pertence ao conjunto?
� Se sim, dizemos que o objeto 
a pertence ao conjunto A ou a∈∈∈∈AAAA .
� Se não, dizemos que o objeto 
a NÃO pertence ao conjunto A ou a∉∉∉∉AAAA
Em relação ao conjunto
U={U={U={U={UFFS, FURG, UFPel, UFRGS, UFSM, UNIPAMPA}}}}
UFPel ∈∈∈∈ U eeee UFSC ∉ U
Descrição por propriedade
Quando queremos descrever um conjunto A por 
meio de uma propriedade P, característica de seus 
elementos x, escrevemos:
A={x|x tem a propriedade P}
Lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que x tem 
a propriedade P.
i){x|x é Estado do Sul do Brasil} é uma maneira de 
representar o conjunto {RS, SC, PR}
ii){x|x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de 
representar o conjunto {-3, -1, 1, 3}
iii){x|x é inteiro e 0 ≤ x ≤ 500} é uma maneira de 
representar o conjunto {0, 1, 2, 3, ...499, 500}
� Conjunto de números que satisfazem uma 
dada condição. Exemplos:
i) Conjunto dos números primos positivos: 2, 3, 5, 7. 
A={2,3,5,7,11,13,...}
ii)Conjuntos dos números quadrados inteiros: 0,1,4.. 
B={0,1,4,9,16,25, 36...}
iii)Conjunto dos cinco menores números positivos, 
não nulos, que são divisíveis por 3: 3, 6, 9, 12, 15 
C={3,6,9,12,15}
iv)Conjuntos dos números inteiros maiores ou iguais 
a -2: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... 
D={-2,-1,0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
�Algebricamente podemos representar os 
conjuntos dados nos exemplos da seguinte 
forma:
i) Conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11... 
A={x|x é número primo positivo}
ii)Conjuntos dos números quadrados inteiros: 0, 1, 4.. 
B={x|x = n2, ∀ n ∈ Z}
iii)Conjunto dos cinco menores números positivos, não 
nulos, que são divisíveis por 3: 3, 6, 9, 12, 15 
C={x|x = n/3, ∀ 3 ≤ n ≤ 15}
iv)Conjuntos dos números inteiros maiores ou iguais a -
2: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... 
D={x|x ≥ – 2} 
Conjunto Vazio
Definição. Chama-se conjunto vazio aquele que não 
possui elemento algum. O símbolo usual para 
conjunto vazio é ∅∅∅∅ ou { }. 
Obtemos um conjunto vazio quanto o descrevemos 
por meio de uma propriedade P logicamente falsa.
Exemplos:
i){x|x é positivo menor que -2}= ∅
ii){x|x é impar e múltiplo de 2}= ∅
iii){x|x > 0 e x < 0}= ∅
Cuidado }{∅≠∅
Chama-se conjunto unitário aquele que possui 
um único elemento
Conjunto Unitário
Exemplos:
i) Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: D={1}
ii) Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: S = {3}
iii) Conjunto das figuras geométricas planas que tem 3 lados e três 
ângulos internos de mesma medida: C= {triângulo}
Conjunto Universo (U)
Definição. Chama-se conjunto universo, cuja notação é 
U, o conjunto formado por todos os elementos com os 
quais estamos trabalhando num determinado assunto.
Exemplos:
i)Se resolvermos um problema envolvendo os meses do 
ano, o conjunto U é composto pelos elementos U = {J, 
F, M, A, M, J, J, A, A, O, N, D}
ii)Se estamos resolvendo a equação 2x +3 = 7, nosso 
conjunto U é o conjunto dos números naturais.
Sempre que descrevemos um conjunto através de uma 
propriedade é essencial fixarmos o conjunto universo U 
em que estamos trabalhando.
Conjuntos iguais
Definição. Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando 
todo o elemento de A pertence a B e, reciprocamente, 
todo elemento de B pertence a A. 
Em notação simbólica diz-se:
A = B ⇔ (∀ x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Exemplos:
i){a, e, i, o, u} = {u, o, i, e, a}
ii){1, 3, 5, 7, ...} = { x|x é inteiro, positivo e ímpar}
iii){x|2x + 1 = 5} = {2}
iv){2, 3} = {x2 – 5x + 6=0}
Inclusão
Seja M o conjunto formado pelos meses 
do ano:
M = {Jan, Fev, Mar, Abr, Maio, Jun, 
Jul, Ago, Set, Out, Nov, Dez}.
Seja J o conjunto formado pelos meses 
do ano que iniciam com a letra J:
J = {Jan, Jun, Jul}.
Observando os dois conjuntos temos:
� J está contido em M ou J ⊂⊂⊂⊂ M
� M contém J ou M ⊃⊃⊃⊃ J
Subconjuntos
� Como todos os elementos de J são
também elementos de M, dizemos que
J é um subconjunto de M.
Exemplos:
i) {a, b} ⊂⊂⊂⊂ {a, b, c, d}
ii) {0, 1, 4, 9...} = { x | x é inteiro, positivo e quadrado}
iii) {x | x é inteiro e par} ⊂⊂⊂⊂ {x | x é inteiro}
Podemos escrever J ⊂⊂⊂⊂ M ou M ⊃⊃⊃⊃ J. 
Se J não for subconjunto de M 
então escrevemos J ⊄⊄⊄⊄ M. 
M
J
Conjunto das partes 
Dado um conjunto A, chama-se conjuntos das partes. 
Notação P (A) = {X | X ⊂⊂⊂⊂A}
Exemplos:
i)Se A = {a,b}, os elementos de P (A) são ∅,{a}, {b} e 
{a,b} isto é: P (A) = {∅, {a},{b},{a,b}}.
i)Se A = {a, b, c}, os elementos de P (A) são ∅, 
{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}. 
Isto é P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, 
{b, c}, {a, b, c}}.
Exemplo
Assim, sendo 
A={1,2} e P(A)={{1},{2},{1,2},∅∅∅∅}
tem-se:
• {1} ⊂ A
• {1} ∈ P(A) 
• ∅ ⊂ A 
• ∅ ∈ P(A)
• {1,2} ⊂ A
• {1,2} ∈ P(A)
Propriedades da inclusão
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem 
as seguintes propriedades:
ι)∅ ⊂⊂⊂⊂ A
ii)A ⊂⊂⊂⊂ A (reflexiva)
iii)(A ⊂ B e B ⊂A) ⇒A = B (antisimétrica)
iv)(A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ C (transitiva)
Simbologia básica...
Símbolo Denominação
∈∈∈∈ Pertence
∉∉∉∉ Não pertence
⊄⊄⊄⊄ Não está contido
⊂⊂⊂⊂ Está contido
⊃⊃⊃⊃ Contém
∀∀∀∀ Para todo 
∃ Existe
≥ Maior ou igual
≤ Menor ou igual
∅ Ou { } Conjunto vazio
Operações com conjuntos�União de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪∪∪∪ B ={ x | x ∈∈∈∈A ou x∈∈∈∈ B)
O conjunto formado A ∪∪∪∪ B é formado pelos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Notemos
que x é um elementos de A ∪∪∪∪ B se ocorrer ao menos uma das
condições seguintes: x ∈A ou x∈ B
Exemplos:
i){a, b} ∪∪∪∪ {c, d} ={a, b, c, d}
ιι)∅∪∪∪∪∅ = ∅
� Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, intersecção de A e B é o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem 
a A e a B.
A ∩∩∩∩ B ={ x | x ∈∈∈∈A e x ∈∈∈∈ B)
O conjunto formado A ∩∩∩∩ B é formado pelos elementos
que pertencem aos dois conjuntos (A e B)
simultaneamente. Se x ∈ A ∩∩∩∩ B, isso significa que x
pertence a A e também pertence a B.
Exemplos:
i) {a, b, c, d} ∩∩∩∩ {b, c, d, e} ={b,c,d}
ii){a, b} ∩∩∩∩∅ = ∅
�Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, diferença entre A e B é 
o conjunto formado pelos elementos de A que não 
pertencem a B.
A - B ={ x | x ∈∈∈∈A e x∉∉∉∉ B)
Ou a diferença entre B e A,
B - A ={ x | x ∉∉∉∉A e x ∈∈∈∈ B)
Exemplos: Seja A={1,2,3} e B={2,3,5,8}
i) A – B = {1}
ii)B –A = {5,8}
Observações:
� A – ∅ = A
� A – A = ∅
� ∅ - A = ∅
� A ∩ A = A
� A ∩ ∅ = ∅
� A ∪ A = A
� A ∪ ∅ = A
Complementar
Se A está contido em B, os elementos de B que
não pertencem a A, formam o conjunto
complementar de A em relação a B. Ou seja, o
complementar de A em relação a B representa-
se por , é o conjunto B-A.
A⊂⊂⊂⊂ B ⇒⇒⇒⇒ = B – A
Exemplo: Sendo A = {2,4,7} e B = {2,3,4,5,6,7}, 
obtenha 
B
A
EXERCÍCIO 1
Numa pesquisa realizada com 200 pessoas, 80 
informaram que gostam de música sertaneja, 90 
música romântica, 55 de música clássica, 32 de 
músicas sertaneja e romântica, 23 de músicas 
sertaneja e clássica, 16 de músicas romântica e 
clássica, 8 gostam dos três tipos de música e os 
demais de nenhuma das três. Obter o número de 
pessoas que não gostam de nenhuma das três.
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO 2
Numa Universidade são lidos apenas dois 
jornais X e Y, 80% dos alunos lêem o 
jornal X e 60% o jornal Y. Sabendo-se que 
todo aluno é leitor de pelo menos um dos 
dois jornais, calcule o valor que 
corresponde ao percentual de alunos que 
lêem ambos.
EXERCÍCIO 3
EXERCÍCIO 4
EXERCÍCIO 5
EXERCÍCIO 6
EXERCÍCIO 7