2ª prova de Cálculo II - 2017/1

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② +58/1/12+ ②
Questa˜o 1. (10 pontos) Seja f(x, y) = −1+ 3yex
2+xy +2y3. A sua derivada parcial com relac¸a˜o a
x no ponto (1,−1) e´:
a 0
b −5
c −9
d −3e−2 − 2
e 6e2
f −3
Questa˜o 2. (10 pontos) Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel, e F (u, v) = f(v cos(π+u)+euv, u2−
v2). Usando a tabela abaixo de valores de fx e fy em pontos selecionados, determine
∂F
∂v
(0, 2).
fx fy
(0, 2) −2 1
(−1,−4) 3 2
a 6
b -2
c -4
d -11
e 0
f imposs´ıvel determinar
Questa˜o 3. (10 pontos) Suponha que uma superf´ıcie S contenha as curvas parametrizadas γ(t) =
(2+ t, t2+ t, 2t3) e η(s) = (s2,−1+ s,−2s). Uma equac¸a˜o para plano tangente a` S no ponto (1, 0,−2)
e´:
a x− y + 6z + 11 = 0
b −4x+ 14y + 3z + 10 = 0
c 2x+ y − 2z − 6 = 0
d x− y + 6z − 11 = 0
e 2x+ y − 2z + 6 = 0
f −4x+ 14y + 3z − 10 = 0
Questa˜o 4. (10 pontos) O comprimento de arco da curva σ(t) = (et − t, 4e
t
2 ), t ∈ [−8, 3] vale:
a e3 + e−8 − 5 b e3− e−8+11 c e−8 d e3 + e−8 e e3
Questa˜o 5. (10 pontos) A curva dada por x = 4 + t2, y = t2 + t3 tem quantos pontos com retas
tangentes paralelas a` reta y = 2x+ 3?
a um
b quatro
c mais do que quatro
d dois
e nenhum
② ②
② +58/2/11+ ②
Questa˜o 6. (10 pontos) Observe a figura abaixo com va´rios mapas de curvas de n´ıvel, cada um
identificado com um nu´mero romano.
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
I
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
II
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
III
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
IV
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
V
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y
VI
O mapa de curvas de n´ıvel para a func¸a˜o f(x, y) = x− y2 + y + 3 e´
a IV b V c VI d II e III f I
② ②