EP07 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP07 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulos do livro:
Geometria Ba´sica - Mo´dulo 1 - Vol. 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 6: Pontos Nota´veis de um Triaˆngulo;
Exerc´ıcio 1: ABC e´ um triaˆngulo retaˆngulo no qual a medida do aˆngulo Ĉ e´ 58◦ e AH,AM e
AD sa˜o, respectivamente, altura, mediana e bissetriz interna trac¸adas pelo ve´rtice A do aˆngulo reto.
Calcule os aˆngulos BÂM,MÂD,DÂH e HÂC.
Soluc¸a˜o: Considere um triaˆngulo ABC retaˆngulo no qual a medida do aˆngulo Ĉ e´ 58◦ e AH,AM e
AD sa˜o, respectivamente, altura, mediana e bissetriz interna trac¸adas pelo ve´rtice A do aˆngulo reto.
A
B
C
H
D
M
58º
Do enunciado podemos concluir que: AM = BM = CM
∆AMC e´ iso´sceles pois AM = CM . Logo MÂC = 58◦.
Enta˜o BÂM = 90◦ − 58◦ = 32◦.
Como o triaˆngulo AHC e´ retaˆngulo, enta˜o HÂC = 90◦ − 58◦ = 32◦.
Como AD e´ bissetriz, DÂC =
90◦
2
= 45◦, enta˜o
MÂD = 58◦ − 45◦ = 13◦ e DÂH = 45◦ − 32◦ = 13◦
Exerc´ıcio 2: Se nos triaˆngulos AiBC a base BC e´ fixa e o ve´rtice Ai varia sobre um semiplano
determinado por BC, de tal forma que as medidas dos aˆngulos Âi sejam uma constante, determine
o lugar geome´trico do incentro desses triaˆngulos.
Soluc¸a˜o: Fac¸a uma figura onde podemos variar o ve´rtice
Ai sobre um semiplano determinado e a base BC e´ fixa,
mas m(Âi) e´ constante. Na figura temos os triaˆngulos
A1BC, A2BC,A3BC e o triaˆngulo AiBC para representar
um outro triaˆngulo qualquer de base fixa BC e m(Âi) constante.
r1 e r2 sa˜o bissetrizes de A1B̂C e BÂ1C, r3 e r4 sa˜o
bissetrizes de A2B̂C e BÂ2C. Observe i1 e i2, que e´ o incentro dos
triaˆngulos A1BC e A2BC. De maneira ana´loga podemos encontrar outros incentros. Assim
o lugar geome´trico sera´ um arco de circunfereˆncia que conte´m i1 e i2, de extremidades B e C.
Geometria Plana – EP07 Tutor 2
Exerc´ıcio 3: Na figura, calcule o valor de x, dados AB̂C = 75◦, AĈB = 50◦ e H e´ o ortocentro
do triaˆngulo ABC.
Soluc¸a˜o: Do enunciado AB̂C = 75◦, AĈD = 50◦ e H ortocentro do triaˆngulo ABC:
Temos que BÂC = 180◦ − 75◦ − 50◦ = 55◦.
E no quadrila´tero AFHE,
FĤE = 360◦ − 90◦ − 90◦ − 55◦ = 125◦.
Como x = BĤC = FĤE, aˆngulos opostos pelo ve´rtice
enta˜o x = 125◦.
Exerc´ıcio 4: Dado um triaˆngulo ABC, cujos aˆngulos medem  = 60◦, B̂ = 70◦ e Ĉ = 50◦. Calcule
os aˆngulos internos do triaˆngulo formado pelas intersec¸o˜es das alturas com o circulo circunscrito.
Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo ABC, onde  = 60◦, B̂ = 70◦ e Ĉ = 50◦. Considere PQR conforme
enunciado. Seja HA, HB e HC os pe´s das alturas AHA, BHB e CHC :
Observe que:
HCĈA = 180
◦ − 90◦ − 60◦ = 30◦
HAÂC = 180
◦ − 90◦ − 50◦ = 40◦
HBB̂C = 180
◦ − 90◦ − 50◦ = 40◦
Enta˜o RP̂Q =
RĈB +BÂQ
2
=
80◦
2
= 40◦,
RQ̂P =
AĈR + AB̂P
2
=
120◦
2
= 60◦
PR̂Q = 180◦ − 40◦ − 60◦ = 80◦.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ