AP2-GP-2013-2-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP2 – Gabarito
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Os treˆs lados de um triaˆngulo ABC medem AC = 126 metros, AB = 168
metros e BC = 210 metros. Calcule os comprimentos dos segmentos, BF,AE e DC, determinados
pelos treˆs lados sobre as bissetrizes internas do triaˆngulo.
A
B CD
E
F
Soluc¸a˜o: Denomine os segmentos determinados sobre BC, AC de e AB, respectivamente, de a′ e
a”, b′ e b”, c′ e c”.
A
B CD
E
F
a' a"
b"
b'
c"
c'
16
8 12
6
210
Os treˆs lados do triaˆngulo ABC sa˜o
proporcionais a 3,4 e 5, pois
126
42
= 3,
168
42
= 4 e
210
42
= 5.
Pelo Teorema da Bissetriz interna,
a′
4
=
a”
3
e a′ + a” = 210
Assim
4a”
3
+ a” = 210 ⇒ 7a” = 210 · 3 ⇒ a” = 90, a′ = 210− 90 = 120
Pelo TBI, vem
b′
4
=
b”
5
e b′ + b” = 126
Assim
4b”
5
+ b” = 126 ⇒ 9b” = 126 · 5 ⇒ b” = 70, b′ = 126− 70 = 56
Pelo TBI, vem
c′
5
=
c”
3
e c′ + c” = 168
Assim
5c”
3
+ c” = 126 ⇒ 8c” = 168 · 3 ⇒ c” = 63, c′ = 168− 63 = 105
Portanto BF = 105 metros, AE = 56 metros e DC = 90 metros.
Geometria Plana – Gabarito AP2 2
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Para medir a altura AB de uma a´rvore, enterraram-se duas estacas de medi-
das CD = 2, 45 metros e EO = 1, 65 metros, sendo a distaˆncia entre as mesmas de 0,64 metros.
Encontre a altura da a´rvore sabendo que os pontos B,D e O sa˜o colineares e ainda que CD dista
1,36 metros do pe´ da a´rvore.
A C E
C'
O
D
A'
B
Soluc¸a˜o: Observe a figura:
A C E
C'
O
D
A'
B
1,65
0,64
1,36 0,64
0,8
Temos que
∆DC ′O ∼ ∆BA′O, pois DC ′//A′B
enta˜o
A′B
C ′D
=
A′O
C ′O
⇒ A′B = C
′D · A′O
C ′O
Substituindo os valores:
A′B =
(2, 45− 1, 65) · (1, 36 + 0, 64)
0, 64
=
0, 8 · 2
0, 64
=
8
10
· 2
64
100
⇒ A′B = 16
10
· 100
64
= 2, 50
Da´ı AB = A′B + AA′ = 2, 50 + 1, 65 = 4, 15 metros.
Questa˜o 3 [2,0 pts]: ABC e´ um triaˆngulo equila´tero cujo lado mede 10
√
3 cm. Sobre os lados
deste triaˆngulo constroem-se externamente retaˆngulos iguais e unem-se os ve´rtices dos retaˆngulos que
na˜o sa˜o do triaˆngulo, obtendo-se um hexa´gono regular. Calcule as medidas dos lados dos retaˆngulos.
Soluc¸a˜o: Seja ABC o triaˆngulo equila´tero cujo lado mede 10
√
3 cm e A′B′C ′D′E ′F ′ o hexa´gono
regular. Como∆ABC e´ equila´tero e, pela construc¸a˜o, os quadrila´teros AB′C ′C, BCD′E ′ e ABF ′A′
sa˜o retaˆngulos iguais, temos que um dos lados dos retaˆngulos tem medida AC = B′C ′ = 10
√
3 cm.
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Geometria Plana – Gabarito AP2 3
Ale´m disso ∆CC ′D′ e´ iso´sceles e C ′ĈD′ = 360◦−2 ·90◦−60◦ = 120◦. Denomine x = CC ′ = CD′,
usando a lei dos cossenos
C ′D′
2
= x2 + x2 − 2x2 cos 120◦ (1)
Mas C ′D′ = 10
√
3 e cos 120◦ = −1
2
. Substituindo em (1) vem:
300 = 2x2 − 2x2(−1
2
) ⇒ 300 = 3x2 ⇒ x2 = 100 ⇒ x = 10
Portanto o retaˆngulo tem lados de medidas 10 cm e 10
√
3 cm.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Abaixo temos um triaˆngulo retaˆngulo ABC e uma figura F composta de
quatro triaˆngulos congruentes ABC. Considerando que BC = 8 cm e AC =
4 · AB
3
, calcule o
per´ımetro da figura F.
Soluc¸a˜o: De acordo com a figura F, os lados da figura sa˜o BC e AC −AB, ou seja o per´ımetro da
figura F e´
4 ·BC + 4(AC − AB) (*)
Como ABC e´ triaˆngulo retaˆngulo podemos usar o teorema de Pita´goras
82 = AC
2
+ AB
2 ⇒ 82 =
(
4AB
3
)2
+ AB
2
64 =
16 · AB2
9
+ AB
2 ⇒ 64 · 9 = 25AB2 ⇒ AB =
√
64 · 9
25
=
24
5
Enta˜o
AC =
4 · 24
5
3
= 4 · 24
5
· 1
3
=
32
5
Substituindo em (*), o per´ımetro e´ 4(8 +
32
5
− 24
5
) = 4(8 +
8
5
) = 4
(
48
5
)
= 38, 4 cm.
Questa˜o 5 [2,0 pts]: A figura representa um retaˆngulo de a´rea 36 m2, dividido em treˆs faixas
de mesma largura. Cada uma das faixas esta´ dividida em partes iguais: uma em quatro partes
iguais, outra em treˆs partes iguais e a terceira em duas partes iguais. Qual a a´rea total das partes
hachuradas?
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Geometria Plana – Gabarito AP2 4
Soluc¸a˜o: Como as faixas sa˜o retaˆngulos de mesmas dimenso˜es, elas teˆm a mesma a´rea. Ou seja,
cada faixa tem
36
3
= 12 m2.
Segue que na faixa inferior a a´rea de cada parte e´
12
2
= 6m2, que corresponde a uma parte hachurada.
Na faixa do meio, a a´rea de cada parte e´
12
3
= 4 m2. As duas partes hachuradas teˆm a´rea 2 · 4 = 8
m2. Na faixa de cima, a a´rea de cada parte e´
12
4
= 3 m2. As duas partes hachuradas teˆm a´rea total
igual a 2 · 3 = 6 m2. Portanto a a´rea total das partes hachuradas na figura, e´ 6 + 8 + 6 = 20 m2.
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