EP09 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP09 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro:
Geometria Ba´sica - Mo´dulo 1 - Vol. 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 7: Complementos.
Exerc´ıcio 1: Mostre que qualquer paralelogramo circunscrito a uma circunfereˆncia e´ um losango.
Soluc¸a˜o: Considere o paralelogramo ABCD circunscrito a uma circunfereˆncia.
Como ABCD e´ um paralelogramo, temos:
AB = DC e AD = BC (1)
Em todo quadrila´tero convexo circunscrit´ıvel, a uma circunfereˆncia,
a soma dos lados opostos sa˜o iguais,pa´gina 87 do livro texto, logo
AB +DC = AD +BC (2)
Substituindo (1) em (2), vem 2AB = 2AD ⇒ AB = AD.
Logo AB = DC = AD = BC. Da´ı ABCD e´ um losango.
Exerc´ıcio 2:
i) Mostre que em um triaˆngulo equila´tero os centros dos c´ırculos inscrito
e circunscrito coincidem.
ii) Quanto vale a raza˜o dos raios de dois c´ırculos inscrito e circunscrito?
Soluc¸a˜o:
i) O centro do c´ırculo circunscrito e´ o ponto de concurso das mediatrizes e o centro do c´ırculo inscrito
esta´ determinado pelo ponto de concurso das bissetrizes. Temos que em um triaˆngulo equila´tero
estes dois pontos sa˜o coincidentes.
Geometria Plana – EP09 Tutor 2
ii) Seja r o raio do c´ırculo inscrito ao triaˆngulo ABC e R o raio do c´ırculo circunscrito ao triaˆngulo
ABC.
A relac¸a˜o dos raios vale BH e´ altura e mediana, pois ∆ABC e´ equila´tero.
Temos que BO =
2BH
3
Enta˜o BO = 2 ·OH = 2r, ou seja,
R = 2r ⇒ r
R
=
1
2
.
Exerc´ıcio 3: Mostre que em qualquer quadrila´tero ex-circunscrito, a diferenc¸a de dois lados opostos
e´ igual a diferenc¸a dos outros dois.
Definic¸a˜o: Um quadrila´tero e´ ex-circunscrito quando podemos trac¸ar uma circunfereˆncia tangente
aos prolongamentos de seus quatros lados.
A
B
C
D
O
Soluc¸a˜o: Seja o quadrila´tero ex-circunscrito ABCD cujos lados prolongados sa˜o tangentes a` cir-
cunfereˆncia de centro O.
A
B
C
D
O
I
J
M
L
Denote
AI = a, BI = b, LC = c, DL = d
AM = a′, BJ = b′, CJ = c′, DM = d′
Vamos mostrar que AB −DC = AD −BC.
AB = a− b, AD = a′ − d′, DC = d− c, BC = b′ − c′
como:
AI = AM ⇒ a = a′, BI = BJ ⇒ b = b′
CL = CJ ⇒ c = c′, DL = DM ⇒ d = d′
Portanto
AB −DC = a− b+ c− d = a′ − b′ + c′ − d′ = a′ − d′ + c′ − b′ = AD −BC
Exerc´ıcio 4: Sejam PA e PB as tangentes trac¸adas do ponto P a uma circunfereˆncia de centro
O. Tracemos a perpendicular passando por P , a` reta PA que encontra OB em C. Mostre que
CP = CO.
Soluc¸a˜o: Considere a figura conforme enunciado:
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Geometria Plana – EP09 Tutor 3
Seja r raio da circunfereˆncia de centro O.
Temos que ∆OAP ≡ ∆OBP , ja´ que OA = OB = r, onde OP e´ o lado comum.
Ale´m disso,
PÂO = PB̂O = 90◦
Enta˜o
AP̂O = OP̂B e AÔB = PÔB (1)
Como
AP̂O + AÔP = 90◦ (2)
e
AP̂C = 90◦ (3)
De (1), (2) e (3), temos OP̂C = PÔC.
Logo ∆COP e´ iso´sceles de base OP , enta˜o
CP = CO
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