EP15 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP15 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro de Geometria Ba´sica - Mo´dulo
1 -Volume 1,(autores:Dirce Uesu Pesco e Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 12: A´reas de Superf´ıcies Planas.
Fac¸a os exerc´ıcios propostos de 1 a 5 da pa´gina 241 do livro texto.
Exerc´ıcio 1: Calcule o lado de um losango com a´rea 600 cm2 e circunscrito a um c´ırculo de raio 12
cm.
Soluc¸a˜o: Considere o losango MNPQ com a´rea 600 cm2 e o raio do c´ırculo inscrito ao losango
igual a 12 cm. Seja O o centro do c´ırculo inscrito ao losango e QM = l o lado do losango.
∆QMO e´ retaˆngulo em O e das relac¸o˜es me´tricas no triaˆngulo retaˆngulo vem:
d
2
· D
2
= 12l ⇒ dD
2
= 24l
Mas da a´rea do losango temos que
Dd
2
= 600 cm2. Enta˜o
600 = 24l ⇒ l = 25 cm.
Exerc´ıcio 2: A figura mostra um quadrado dividido em 16 quadradinhos iguais. A a´rea hachurada
corresponde a que frac¸a˜o da a´rea do quadrado?
Soluc¸a˜o: O quadrado esta´ dividido em 16 quadradinhos. A a´rea hachurada e´ a soma de 8 triaˆngulos
iguais, cada um com a a´rea igual a metade da a´rea de um quadradinho. Portanto a a´rea hachurada
e´ 8 · 1
2
= 4 quadradinhos. Da´ı a frac¸a˜o da a´rea do quadrado e´
4
16
=
1
4
da a´rea do quadrado.
Geometria Plana – EP15 Tutor 2
Exerc´ıcio 3: A a´rea de um hexa´gono regular e´ 162
√
3 m2. Calcule a a´rea do pol´ıgono estrelado que
se obte´m prolongando dois a dois os lados desse hexa´gono.
Soluc¸a˜o: Considere a figura conforme enunciado. Seja O o centro da circunfereˆncia , ABCDEF o
hexa´gono regular inscrito nesta circunfereˆncia e prolongando-se dois a dois os lados desse hexa´gono
regular temos o pol´ıgono estrelado AHBICJDLEMFG.
Note que ∆OAB ≡ ∆HAB ja´ que esses triaˆngulos sa˜o equila´teros e AB e´ o lado comum.
De forma similar ∆OBC ≡ ∆IBC, ∆OCD ≡ ∆JCD, ∆ODE ≡ ∆LDE, ∆OEF ≡ ∆MEF
e ∆OAF ≡ ∆GAF . Da´ı a a´rea pedida sera´ o dobro da a´rea do hexa´gono regular ABCDEF .
Portanto a a´rea do pol´ıgono estrelado AHBICJDLEMFG e´ 2 · 162√3 = 324√3 m2.
Exerc´ıcio 4: ABC e´ um triaˆngulo equila´tero cujo lado e´ a e no qual as alturas BD e CE cortam-se
em O. Calcule a a´rea do quadrila´tero ADOE.
Soluc¸a˜o: Considere o triaˆngulo equila´tero ABC, cujo lado e´ a. A a´rea do quadrila´tero ADOE e´:
AADOE = A∆ABC − A∆EBC − A∆ODC (1)
Note que ∆EBC e´ retaˆngulo em E e ∆ODC e´ retaˆngulo em D, enta˜o
EC =
a
√
3
2
, BE =
a
2
, CD =
a
2
e OD =
1
3
· a
√
3
2
De (1) temos
AADOE =
a · a
√
3
2
2
−
a
2
· a
√
3
2
2
−
a
2
· a
√
3
6
2
=
a2
√
3
4
− a
2
√
3
8
− a
2
√
3
24
⇒
AADOE =
6a2
√
3− 3a2√3− a2√3
24
=
2a2
√
3
24
⇒ AADOE = a
2
√
3
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