AD2 2013 1 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2013/1 AD2-Gabarito 
 
1ª Questão:(Valor: 2,5) Resolva as equações em . 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) ( ) 
c) ( ) 
d) ( ) 
e) 
 
 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 √ ( )
 
 
 √ 
 
 
 
 
. 
Logo, as raízes são 
 
 
 
b) ( ) ( ) 
 ( ) Logo, as raízes são 
 
c) ( ) . Porém, como 
não existe número real cujo quadrado seja negativo, a equação não tem solução real. 
d) ( ) 
 Portanto, as raízes são 
Outra solução: 
 ( ) ( ) 
e) Nesse caso devemos ter Assim, para , temos 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) √( ) ( )
 
 
 √ 
 
 Portanto, as 
raízes são 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
2ª Questão:(Valor: 1,0) 
Simplifique completamente as seguintes expressões: 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
( ) 
( ) 
 
 
Solução: 
a) O numerador possui discriminante 1-4.(-1).2=9 positivo e suas raízes são 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Logo, podemos fatorá-lo da seguinte forma: 
 ( 
 
 
) ( ( )) ( 
 
 
) ( ). 
 Assim, 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)( )
 
 
 
 ( ). 
b) 
( ) 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
( ) 
( ) 
 
 
3ª Questão:(Valor: 1,0) Calcule o valor positivo de na equação – ( ) , 
de modo que as raízes sejam iguais. 
Solução: 
Para que as raízes sejam iguais, devemos ter ( ) ( ) 
 
Logo, o único o valor positivo de de modo que as raízes sejam iguais 7. 
 
4ª Questão:(Valor: 1,0) Determine o valor de que torna a sequência 
( – – ) 
 uma progressão aritmética. 
Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três 
termos satisfaçam as igualdades 
 e . 
Logo, temos da primeira igualdade e da segunda Igualando 
os valores de , obtemos , donde 
 
 
 
 
5ª Questão:(Valor: 1,0) Ao escalar uma montanha, um alpinista percorre na primeira 
hora, na segunda hora, na terceira hora e assim por diante. Determine o tempo (em 
horas) necessário para complementar o percurso de . 
Solução: 
A distância percorrida pelo alpinista a cada hora forma uma PG com primeiro termo 
de razão 
 
 
 Assim, a distância percorrida ao final de horas é igual à soma dos 
 primeiros termos dessa PG, ou seja, . 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 = 256 ( 
 
 
). Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 Assim, , ou seja, o alpinista levará 6 horas para percorrer a distância de 252 metros. 
 
6ª Questão:(Valor: 1,0) Quais são as dimensões de um campo de futebol, cuja área é 
e cujo perímetro é ? 
Solução: 
Sejam e as dimensões do campo. Pelos dados do problema, 
 e 
Portanto, 
 
 
 e substituindo o valor de na 2ª equação, temos ( 
 
 
) 
 Daí, segue que 
 
 
 
 
 
 √( ) 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
Logo, as raízes são Observe que, se , então 
 
 
 
 E, se , então 
 
 
 Portanto, as dimensões do campo são 98 metros 
de comprimento por 50 metros de largura. 
 
7ª Questão:(Valor: 1,5) A rua das Rosas e a avenida das Hortênsias, ambas retilíneas, cruzam-
se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Petra encontra-se na avenida das Hortênsias 
a do citado cruzamento. 
a) Faça um esquema representando toda a situação acima descrita. 
b) Determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Petra e a rua das 
Rosas. 
Solução: 
a) 
 
 
 
b) Pela figura em a), vemos que 
 
 
, logo 
 
 
 
 
 
 Assim, 
 
 
 
8ª Questão:(Valor: 1,0) O pé de uma escada está afastado 1 m da base de um muro vertical e 
forma um ângulo de 60º com o chão, supostamente horizontal. Calcule o comprimento da 
escada. 
Solução: 
Seja o comprimento da escada, conforme a figura abaixo. 
 
Como o triângulo formado é retângulo, pois o muro é vertical, temos 
 
 
, 
donde 
 
 
 
 
 
 e portanto .