EP 20

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2013/1 EP20 
 
 
Olá alunos, 
segue o gabarito do EP 19, confira seus cálculos e estude com atenção. Preparamos 
estes exercícios para que você relembre os pontos principais e realize uma boa AP3. 
Caprichem nos estudos e boa prova! 
 
Coordenadores da disciplina 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
Gabarito do EP 19 
1) Resolva as equações no conjunto dos reais e represente o conjunto solução numa reta 
graduada. √ , onde √  1. 
Solução: Substituindo o valor de a na equação, obtemos (2√ √ 
 √ √ 
 
 √ 
 
 
√ 
 √ . 
 
 
 
2) Resolva as inequações. Dê a resposta em termos de intervalos e represente o conjunto 
solução na reta graduada. 
a) 2x + 5 < 6 
b) 
c) 
d) 
e 3 
f) 
Solução: 
a) 2x + 5 < 6 
 
 
 Logo, S=(
 
 
 ) 
 
b) Logo, S=( ] 
 
c) Somando -1 em ambos os membros, obtemos Logo, 
S=(-3,3]. 
 
d) Somando -1 em ambos os membros, obtemos 
 Logo, S=[ 
 
e) 3 Logo, S=[-5,1]. 
 
f) Logo, S 
 ( ( 
 
 
 
3) 
a) Represente na reta numérica o conjunto dos números reais, cuja distância a 3 é 
menor do que √ . 
b) Represente o conjunto solução de a) usando um intervalo. 
c) Complete com uma única inequação o pontilhado da afirmação abaixo, que 
traduz o problema dado no item a): “Determine o conjunto dos números reais x, tais 
que -----------------.” 
Solução: 
a) Esse conjunto está representado abaixo em rosa 
 
b) ( √ √ ) 
c) “Determine o conjunto dos números reais x, tais que √ ”. 
 
 
4) Utilizando a noção de distância entre dois pontos, marque os conjuntos abaixo na reta 
numérica. 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) Escreva o conjunto B usando a notação de intervalo. 
Solução: 
a) A é o conjunto dos números inteiros que distam de ½ menos do que 3 unidades ou 
exatamente 3 unidades. Assim, A={-2,-1,0,1,2,3}. 
 
b) B é o conjunto dos números reais que distam de ½ menos do que 3 unidades ou 
exatamente 3 unidades. Assim, [
 
 
 
 
 
]. 
 
 
c) [
 
 
 
 
 
] . 
 
 
 
5) Resolva o sistema 








33
4
2
5
23,0
y
x
yx
. Atenção: não use aproximação. 
Solução: 
a) Escrevendo 
 
 
 , temos 








33
4
2
5
2
10
3
y
x
yx
 
 
 . 
 
 
 
e tirando o mmc nas duas equações do sistema, obtemos 





1234
25203
yx
yx
 Da segunda equação, √ . 
 
Substituindo na primeira, segue que √ ( √ ) 
 
 
 √ 
. Portanto, -4√ 
 
 √ 
 
 √ √ 
 √ 
 
 √ 
 √ 
 
 √ 
 √ 
 
b) Verificação: substituindo os valores de x e y encontrados na 1ª equação, temos 
 
 
 
 √ 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 √ 
 
 
 √ 
 
 √ 
 √ 
 
 ( √ 
 ( √ 
 
 
 
 
 
Agora, substituindo na segunda equação, obtemos 
 
 √ 
 ( √ 
 √ 
 
 √ 
 
 √ 
 ( √ 
 √ 
 
 ( √ 
 
 √ 
 ( √ 
 
 ( √ 
 ( √ 
 
 
 6) Simplifique as expressões: 
 a) 
)71)(71(
)82( 2


; b) 
xx
xxx
63
44
2
23


; c) 
1
2



xxx
xx
.
 
Solução: 
a) 
)71)(71(
)82( 2


=
 √ √ 
 
=
 √ 
 
 
 
 
 
b) 
.
3
2
)2(3
)2(
)2(3
44
)63(
)44(
63
44
222
2
23 











 x
x
x
x
xx
xx
xxx
xx
xxx
 
c) 
.1-11
)1(
)1)(1(
 1
)1(
)1(
 1
2
xx
xx
xxx
xx
xx
xxx
xx









 
7) Determine o domínio de cada função real. Dê a resposta usando a notação de 
intervalo. 
a) f(x) = 
1
34
2 

x
x . 
b) f(x) = 
1
3
23



x
xxx
x
. 
c) f(x) = 
2
82


x
x . 
d) f(x) = 
1x
x . 
Solução: 
a) Devemos ter e 
 . Portanto, fazendo a interseção entre os dois conjuntos, temos o domínio 
 ( 
 
 
] ( ( 
 
 
] 
b) Devemos ter e . 
Raízes de : 
 ( 
 
 √ 
 
. Logo, D= { 
 √ 
 
} ( 
 √ 
 
) (
 √ 
 
 ) 
( ( 
 √ 
 
 (
 √ 
 
 ). 
 
c) Para a função estar bem definida em , deve-se ter 
Portanto, , 
Isto é ( ] 
d) Devemos ter 
 
 
 . Fazendo o produto dos sinais entre x e x-1, 
 
 obtemos D=( ] ( 
 
 
8) Esboce os gráficos das funções afins, utilizando os dados e em cada caso determine a 
imagem da função no ponto de abscissa . 
a) O coeficiente angular da reta que representa a função graficamente é igual a 
2 e a interseção da reta com o eixo é igual a 1. 
b) O coeficiente angular da reta que representa a função graficamente é igual a 
2 e a interseção da reta com o eixo é igual a 1. 
c) A reta que representa a função graficamente passa pelos pontos P1 = (1, 1) 
e P2 = (2, 3). 
Solução: 
a) Temos pois o coeficiente angular é -2. O gráfico passa por (0,1), 
logo b=1. Portanto, y=-2x+1. A imagem no ponto de abscissa 1 é -1 e gráfico é 
dado abaixo. 
 
b) Temos pois o coeficiente angular é -2. O gráfico passa por (-1,0), 
1 logo 0= -2(-1)+b e. portanto, b=-2.Logo, a equação é y=-2x-2. A imagem no 
ponto de abscissa 1 é -4 e gráfico é dado abaixo. 
 
c) Temos y=ax+b, onde substituindo os dois pontos dados, formamos um sistema, 
com as incógnitas a e b, a saber 1=-a+b e 3=2a+b. Portanto, subtraindo a 
primeira da segunda equação, obtemos .-2=-3a. Assim, a= 2/3 e b= 5/3 e a 
equação da reta é y= 2x/3 +5/3. A imagem no ponto de abscissa 1 é 7/3 e gráfico 
é dado abaixo. 
 
 
 
 
9) Resolva o sistema e represente-o graficamente. 







0
3
15,1
y
x
xyx 
Solução: Utilizando a segunda equação, temos que y=x/3. Substituindo na primeira, 
obtemos 
 
.
13
6
61366291
32
3
1
3
5,1  xxxxxx
x
xx
x
x
 
Portanto , x=6/13 e y=2/13. 
Graficamente, resolver o sistema significa determina o ponto de interseção entre as duas 
retas, cujas equações estão dadas nas linhas do sistema. Veja a representação gráfica 
abaixo: 
 
 
10) Considere o triângulo abaixo: 
 
a) Determine o comprimento de ̅̅ ̅̅ e de ̅̅ ̅̅ . 
b) Calcule a área do triângulo. 
Solução: a) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ =sen 30º=1/2 , logo ̅̅ ̅̅ Também, ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ =cos 30º= 
√ 
 
, 
logo ̅̅ ̅̅ √ . 
 b) A áreo do triângulo é A= ̅̅ ̅̅ . ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 √ 
 
 
 
 
11) Se um ângulo agudo possui tangente igual a 2, calcule 
 b) c) ( ; d) ( 
Solução: 
a) Vamos usar a identidade fundamental 
 ( 
Dividindo (*) por, obtemos 
 
 
 mas 
 . Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
b) Utilizando o item a) e de (*), temos que ( 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 pois o ângulo é agudo. 
c) Por simetria, temos ( 
 √ 
 
 pelo item a). 
d) Por simetria, temos ( 
√ 
 
 pelo item b). 
 
 
12) Numa PA, o terceiro termo é o dobro do primeiro. O segundo termo é 3. Determine 
o primeiro termo e a razão. 
Solução: a3 = 2a1. Sendo uma PA, sabemos também que a3 = a1 + 2r, donde 2a1 = a1 + 
2r, donde a1 = 2r. Além disso, a2 = 3, donde 3 = a1 + r. Logo, 3 = 2r + r, donde r = 1. 
Portanto, a1 = 2.1 = 2. 
 
13) Numa PA o 8º termo é 30 e o 20º termo é 60. Determine a razão da PA e seu 1º 
termo. 
Solução: Sabemos que ( Portanto, 
 
 
 
 Como , segue que 30= 
 
 
, donde 
 
14) Faça um esboço do gráfico de y = 3x  1 que indique a raiz da função. Resolva a 
inequação 3x  1  0. Dê a resposta em termos de intervalo. 
Solução: A raiz é: 3x  1 = 0  x = 1/3. 
Como o coeficiente angular, 3, é positivo, um esboço fica assim. 
 
Olhando o gráfico, vemos que 3x  1  0  x  1/3. 
Solução: S = (, 1/3]. 
1/3 
 
15) Resolva as inequações e dê a resposta com notação de intervalo. 
a) x2 + x < x2  x + 1; 
b) . 
Solução: 
a) Temos x
2
 + x < x
2
  x + 1  2x < 1 . 
Logo, S = (, ½). 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, 
S=(-1/2 , 13/2). 
 
 
16) Resolva o sistema 





045
132
x
xx
. Dê a resposta em termos de intervalo. 
Solução: 
 
 
 
A solução de cada inequação é representada na figura a seguir, nas duas primeiras 
linhas. A terceira linha é a solução do sistema, obtida pela interseção das soluções das 
duas inequações. 
 
Logo, o conjunto solução do sistema é S = (1, 4/5]. 
 
17) Resolva a inequação, (2x  1)(5x + 7) < 0. 
Solução: Esse tipo de exercício é resolvido fazendo o produto dos sinais de cada parcela 
do produto e selecionando a parte que der sinal negativo 
 
1 
4/5 
 
 
S = (, ½)  (7/5, +). 
 
18) A função f :  é dada por









0 xse ,
02- se ,5
2se ,3
)(
x
 xx
 x
xf
 
. 
a) Calcule ( ( ( 
b) Esboce o gráfico da . 
 
Solução: a) Usando a definição da , temos 
 ( (usando a 1ª linha que corresponde a ; 
 ( (usando a 3ª linha que corresponde a 
 ( ( (usando a 2ª linha, que corresponde 
a . 
 
 
1/2 7/5 
+ 
+ + 
+ 
+ 
  
 
 2x1 
5x+7 
1 
(2x  1)(5x + 7) 
19) Sabemos que y=ax+b . Por hipótese, 0=a(-2/5)+b e 7=a+b, portanto obtivemos um 
sistema. Para encontrarmos a solução podemos fazer a segunda menos a primeira, daí 
7=a+(2/5)a, isto é a=5. Assim, temos b=2, donde a expressão da função afim é y=5x+2. 
O gráfico é dado abaixo.