EP aula11

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2013/1  Ep 11 
Prezado aluno, 
estamos entrando no assunto Trigonometria. Este estudo deve ser dividido nas próximas duas 
semanas. Você pode seguir a apostila da disciplina ou o livro. Pela apostila, você tem a 
unidade 8, disponível na plataforma. Esta unidade é composta de vários exercícios propostos, 
assim nesse EP não incluímos novos exercícios. Nessa semana, esperamos que você estude ao 
menos até a atividade 4 na página 12 da apostila, fazendo os exercícios ali propostos. No livro, 
você deve estudar as aulas 20, 21, 22, 23, 24 e 26, incluindo exercícios. Faça o maior número 
de exercícios possível, de preferência os da unidade e também do livro. 
Bom estudo! 
Coordenadores da disciplina 
 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
Respostas do EP 10 
 
1) Resolva, se possível, as equações em 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) √ 
 
 
 
Solução: 
a) 
 √ 
 
 
 
b) , como na última equação 
 não há raiz real. Portanto, a equação dada não possui 
solução real. 
c) 
 
 
 Mas, 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
d) √ 
 
 
 
√ √ 
 
 √ 
 
 
2) O número de diagonais de um polígono convexo de lados é dado por ( ) 
 ( )
 
 
 
 
. 
a) Se o polígono possui 9 diagonais, quantos lados tem o polígono? 
b) Determine o polígono, cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de 
lados. 
Solução: 
a) Devemos resolver a equação 
 
 
 
 Assim, descartamos a raiz negativa e 
temos x= 6, ou seja, o polígono é um hexágono. 
b) Devemos resolver a equação 
 
 
 
 Assim, descartamos a raiz nula e temos x= 9, ou 
seja, o polígono é um eneágono. 
 
3) (UFF-adaptado) O custo, em reais, de fabricação de x peças em determinada fábrica é 
 ( ) Sabe-se que: 
I) Se nenhuma peça for produzida, o custo fixo é de 80 reais. 
II) Se forem produzidas 30 peças, o custo é de 50 reais. 
III) Se forem produzidas 50 peças, o custo é de 130 reais. 
a) Determine as constantes m ,n e p. 
b) Calcule o custo da produção de 60 peças. 
c) Quantas peças produzidas levam a um custo de 290 reais? (errata) 
Solução: 
a) De I, temos que ( ) , portanto 80. 
De II, ( ) 
 * 
De III, , ( ) 
 ** 
Resolvendo o sistema formado por * e **, temos 
 
 
 e -4. 
b) De a), ( ) , donde ( ) 
 
c) Devemos resolver a equação ( ) , ou seja 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 Assim, o número de peças é igual a 70. 
 
4) Determine o conjunto dos números reais onde a expressão está bem definida . 
a) ( ) 
 
 
 
 
b) ( ) 
 
 
 
c) ( ) 
 
 
 
 
Solução: 
a) Devemos ter e Resolvendo a equação 
 temos x= 
 √ 
 
 
 
 
 Assim, a expressão está bem 
definida em . 
b) O que não pode ocorrer nesta expressão é zerar o denominador. Observe que 
para qualquer x real, , pois Logo, a expressão está 
bem definida em 
c) Devemos ter e Resolvendo cada equação 
 e , temos x=0 e x=-1/3 como raízes da 1ª e x=-1 
raiz da 2ª( ).Portanto, , a expressão está bem definida em 
 . 
 
 
5) Determine dois números inteiros consecutivos cuja soma de seus inversos seja 
 
 
. 
Solução: Os números inteiros consecutivos serão x e x+1. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Como x é inteiro, segue que x=4. 
 
6) Simplifique: 
 
a) 
( ) ( ) 
( )
 
b) 
 ( ) ( ) 
 
 
Solução: 
a) 
( ) ( ) 
( )
 
( ) ( )
( )
 
( ) ( )
( )( )
 
( ) ( )
( )( )
 
( ) 
( )
 
b) 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
( ) 
 
 
7) Determine a soma dos valores de y que pertencem ao conjunto solução do sistema 
abaixo: 
{
 
 
 
Solução: Sex=0, temos que a 1ª equação é satisfeita e a 2ª implica que y=5. Assim, temos uma 
solução x=0 e y=5. 
Se , dividimos a 1ª equação por x e obtemos x= , que substituindo na 2ª nos dá 
 ( ) donde Portanto,y=3 ou y=-7/2.. Assim, a soma dos 
valores de y que pertencem ao conjunto solução do sistema é igual a 5+3-7/2=9/2. 
 
8) Determine os valores que a constante pode assumir, tais que a equação 
( ) 
 
 
 , tenha: 
a) duas raízes reais distintas; 
b) uma raiz real com multiplicidade 2; 
c) uma raiz real com multiplicidade 1. 
Solução: 
a) Devemos ter ( ) , donde m>-1 e . 
b) Devemos ter ( ) , donde m=-1. 
c) Devemos ter uma equação do 1º grau, donde m=0. Nesse caso a raiz é x=0. 
 
9) Determine o valor de m, tal que a equação , possua 
uma raiz nula e a outra negativa. 
Solução: Uma raiz será nula se o termo constante da equação for nulo, ou seja, se 
 . Resolvendo esta equação do 2º grau em 
m, obtemos m= -5 ou m=2. Assim,a equação dada é =0 e para que a 2ª raiz 
desta equação seja negativa o valor de m é 2. 
 
 
10) A idade de uma criança daqui a 17 anos será o quadrado da idade que tinha há 3 anos 
atrás. Qual é a idade da criança? 
Solução: Seja x a idade da criança hoje, então pelos dados do problema, temos 
 ( ) , cujas raízes são x=8 e x=-1. Assim, a idade da 
criança hoje é 8 anos. 
 
11) Se e , determine o valor numérico de . 
Solução: Observe que 210= ( ) , portanto xy=210/7=30. 
 
12) Se e , determine o valor numérico de e de 
 ( ) ( ). 
Solução: Observe que ( ) . Logo, 
 
 
13) Se e , determine o valor numérico de 
 . 
Solução: Observe que ( ) ( ) 
 
14) Qual o valor numérico de . 
 (Sugestão: use a fatoração ( )( ).) 
Solução: ( )( ) 
( )( ) 
__________________________________________________________ 
 
Teste seu estudo da semana anterior: 
1) As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão 
geométrica, nessa ordem. Determine a área do quadrado . 
Solução: Se o quadrado tem lado , estão em PG . Usando os 2 primeiros 
termos segue que r=4. Do 2º e do 3º temos , donde a=0 ou a=16. Portanto o 
lado do quadrado mede 16 e sua área é 256. 
 
2) 2 e x são termos consecutivos, nessa ordem, de uma pa de razão r>0 e x, 2 de uma pg 
de mesma razão r. Determine r e x. 
Solução: Por hipótese * e **. Substituindo, * em **, temos 
( ) 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 ( √ )
 
 √ Como r>0, temos quer= √ e 
 √ √