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EP aula15

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Prévia do material em texto

Matemática Básica 2013/1  EP15 
Prezado aluno, 
Estamos abordando durante a semana o último tópico do curso de Matemática Básica: 
função afim. Você deverá estudar a aula da plataforma e fazer os exercícios ali propostos. 
 Aproveitamos este EP para revisitar inequações de forma geométrica; observe os dois 
exemplos abaixo que unem o conceito de gráfico de função afim e resolução de inequações. 
Os últimos dois exemplos têm o propósito de alertá-lo para erros comuns na resolução de 
inequações, que podem ser melhor entendidos com a ferramenta gráfica. 
Estamos entrando na reta final! Vamos lá! 
Coordenadores da disciplina 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
1) Observe abaixo a solução geométrica para a inequação . Consideramos as retas 
y=3x e y=2, então o conjunto solução é formado pelos valores das abscissas dos pontos 
sobre os gráficos, tais que a reta y=3x está abaixo ou intercepta a reta y=2. 
Observando o gráfico abaixo, vemos que o conjunto solução é o intervalo marcado em 
rosa ( . 
 
2) Analogamente, a solução de 2x+1>-x+4 é formada pelos valores das abscissas dos 
pontos sobre os gráficos, tais que a reta y=2x+1 está acima da reta y=-x+4. Observando 
o gráfico abaixo, vemos que o conjunto solução é o intervalo marcado em rosa 
( . 
 
 
 
 
O objetivo desse exemplo é chamar a atenção para um erro muito comum, observado entre os 
alunos ao resolverem inequações. Uma inequação não deve ser encarada como uma equação, 
portanto devemos ter cuidado com os cancelamentos realizados para resolvermos uma 
inequação. Observe. 
3) Considere a inequação 
 
 
 
 
 
. Abaixo, vemos os gráficos de 
 
 
 em azul e 
 
 
 
 em verde. O conjunto solução está marcado em rosa no eixo x, pois consiste 
dos valores de x, tais que o gráfico em verde ( 
 
 
 ) está abaixo do gráfico em azul 
( 
 
 
). 
 
 
A forma correta de resolvermos é escrevermos a inequação equivalente 
 
 
<0 e 
fazermos o produto dos sinais: 
 
 
 
A forma ERRADA de resolver é cancelando o denominador comum pois nesse 
caso, obtemos como solução todo o intervalo . O que é falso, conforme vimos 
na figura e na solução algébrica acima. O erro está no fato de que o termo 
assume valores positivos e negativos e quando cancelamos valores negativos a 
desigualdade inverte, já com os positivos, ela se mantém. No entanto, o termo foi 
cancelado e a desigualdade mantida mesmo para os valores negativos de . 
 
Obs: Podemos cancelar termos positivos( maiores do que zero) sem problemas. 
 
4) Observe o exemplo abaixo e analise a forma correta e a forma errada de resolver a 
inequação . 
 
 
 
 
Exercícios: 
Resolva as inequações e escreva o conjunto solução usando a notação de intervalo. 
1. 
2. 
3. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
5. Resolva a inequação 
 
 e marque o conjunto solução no plano cartesiano junto com os gráficos das funções afim 
envolvidas. Tome como modelo os exemplos 1 e 2 do início do EP. 
 
6. Determine as expressões das funções afim, cujos gráficos aparecem na figura abaixo. 
 
7. O IMC (índice de massa corporal) é uma medida do grau de obesidade de uma pessoa. Ele é 
determinado pela fórmula abaixo 
 
 
 
 
*M=Massa em quilogramas 
*H=Altura em metros 
Veja a tabela no fim do exercício. 
 Determine a altura mínima que uma pessoa pesando 81 quilos deve ter para que esteja com IMC 
menor ou igual a 25, isto é, no máximo entrando na faixa do sobrepeso, conforme a tabela abaixo. 
 Classificação 
O resultado é comparado com uma tabela que indica o grau de obesidade do indivíduo: 
IMC Classificação 
< 18,5 Abaixo do Peso 
18,6 – 24,9 Saudável 
25 – 29,9 Peso em excesso 
30,0 – 34,9 Obesidade Grau I 
35,0 – 39,9 Obesidade Grau II (severa) 
≥ 40,0 Obesidade Grau III (mórbida) 
 
Gabarito do EP 14 
1) Observando o gráfico dado, estude o sinal da função (indique o conjunto dos pontos para 
os quais f tem valor positivo, o conjunto dos pontos para os quais f tem valor negativo e o 
conjunto dos pontos para os quais f tem valor igual a zero . 
 
 
a) ; 
 
 . 
 
 
 
b) ERRATA(Faltou indicar os pontos de abscissa 0.5 e 0.7 no gráfico do EP 14) 
 
 
2) Associe cada gráfico à característica dada: 
a) Decrescente, isto é, quando o ponto do domínio aumenta, o valor 
correspondente diminui. 
b) Crescente, isto é, quando o ponto do domínio aumenta, o valor 
correspondente também aumenta. 
c) Os valores da função oscilam entre os valores 1 e 1. 
d) A imagem se aproxima de 0, quando x cresce ilimitadamente. 
Solução: 
 b 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Identifique o domínio e a imagem de cada função. 
a) b) 
c 
a 
d 
 
c) d) 
 
Solução: 
a) Dom=(0 Im= 
b) Dom= Im= 
c) Dom=[0,1] [2,4] , Im=[0,1] [4,6] 
d) Dom= , Im=[3,+ ). 
 
 
4) Determine as coordenadas de cada ponto marcado no gráfico. 
a) b) c) 
 
Solução: 
a) Devemos resolver √ . Logo, 
A=( √ ) (√ ) 
b) Devemos resolver 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
Logo, A=(
 √ 
 
 ) e B=(
 √ 
 
 ). 
c) Primeiro devemos determinar as equações das retas, então observando as 
interseções com os eixos, temos que 
 , mas , donde Logo, . 
Analogamente, a outra equação é . 
A interseção é determinada resolvendo 
 
 
 e nesse caso 
 
 
 
 Logo, A=(5/4,-3/4). 
 
5) Identifique os gráficos de funções de x, onde o eixo ox é o horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Somente c) é gráfico de uma função de x. 
 
6) No exercício 5 acima, quais dos gráficos representam funções que dependem da variável y, 
onde o eixo y é o vertical ? 
Solução: Somente b) e c) são gráficos de uma função de y. 
7) Determine o domínio das funções abaixo. 
a) ) 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
Solução: 
a) Devemos ter, 
 
 
 logo D= \{0,1, √ }. 
b) D= \{0} 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
8) A partir do gráfico em cada item, escreva a função na notação f : X  , y = f(x), ou seja, 
identifique o domínio da função e a regra da relação de função. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Solução: 
a) f : [2,8] , y = sen3x-3cos(x/2) 
b) f : [-2,+  , y = √ 
c) f :  , y = -x+2 se x<1 e y=x-2, se x . 
d) f : [ [  , 
 {
 [ 
 [ 
 
e) f : [  , 
 
f) f : [ [  , 
 {
 [ 
 (
 
 
) [

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