Unidade 1

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Matemática Básica Unidade 1 
 
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Unidade 1 
Números naturais 
 
 
 
 
Metas 
Esta unidade apresenta a noção matemática que traduz o processo de contagem, a saber, 
a noção dada pelo conjunto dos números naturais. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
 conhecer os números naturais, assim como a sua representação em notação decimal; 
 saber resolver problemas práticos por meio de contagem; 
 saber aplicar métodos alternativos de contagens; 
 conhecer uma representação geométrica dos números naturais; 
 conhecer as duas operações básicas entre números naturais; 
 entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos. 
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Grandezas representadas numericamente 
 
 Os objetos da matemática não pertencem ao mundo real, são resultados de 
idealizações. Todos os seus conceitos e definições são abstratos. Contudo, boa parte 
deste conhecimento abstrato nasceu da necessidade de uma resposta a situações e 
problemas práticos, e está subordinada a algum contexto natural, social ou cultural. 
 Uma boa forma de relacionar objetos e ideias do nosso universo físico com o 
universo abstrato da Matemática se dá por meio de uma associação ou representação de 
grandezas e objetos do mundo físico com conceitos matemáticos. 
 De particular importância é a associação de grandezas a números, conhecida 
como processo de quantificação de uma grandeza (ou simplesmente, quantificação de 
uma grandeza, ou também, graduação de uma grandeza). Neste contexto, entenda que 
o termo grandeza é usado para fazer referência a tudo o que pode aumentar ou diminuir. 
 A noção de grandeza apresentada aqui pode parecer um pouco vaga. Na verdade, 
precisar esta ideia é um problema que inclusive mereceria uma boa discussão, mas 
vamos simplesmente dar um pequeno exemplo a fim de ilustrá-la. 
 
Exemplo: Temperatura é uma grandeza física que indica o grau de aquecimento de uma 
certa porção de matéria. De modo vulgar, a temperatura é usada para informar o quanto 
uma porção de matéria está fria ou quente. 
 
 A princípio, toda referência feita a uma grandeza é de natureza 
qualitativa. Se fosse perguntado sobre a temperatura de um forno, não graduado, por 
exemplo, a resposta só poderia ser algo parecido com quente, frio, muito quente, muito 
frio, ou qualquer outra qualificação não muito precisa. Contudo, existe uma forma 
bastante eficiente de lidar com grandezas. Isto acontece através de um processo de 
quantificação. 
 
Exemplo: (ainda sobre temperatura) Uma forma de quantificar a temperatura é criar um 
termômetro de mercúrio. Neste caso, o processo de quantificação da temperatura se dá 
atribuindo o valor 0 à temperatura de solidificação da água e 100 à temperatura de 
ebulição da água. Com a devida marcação do termômetro a partir desta convenção, cria-
se um processo de quantificação da temperatura. Agora, de posse deste instrumento, 
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pode-se, então, medir a temperatura de uma porção de matéria qualquer. Por exemplo, 
voltando ao forno, com a temperatura graduada é possível regular o calor produzido 
dentro do forno do modo mais adequado para se assar os pratos mais variados como um 
bolo, uma pizza ou até um prato mais delicado como um suflê. Neste caso, não é mais 
preciso fazer referências imprecisas como “use forno alto”. Neste caso, pode-se indicar 
a temperatura do forno, “utilize o forno a 255ºC”, por exemplo. Você já tentou trabalhar 
com um forno a lenha? Não é nada fácil. 
 
 A ideia de se procurar quantificar grandezas é importante porque a tradução 
numérica de uma grandeza permite trabalhá-la de forma mais precisa e eficiente. Sem 
este processo de quantificação, toda referência a uma grandeza só pode ser feita de 
modo qualitativo. 
 
 Só por curiosidade, vejamos alguns poucos exemplos de grandezas que podemos 
encontrar quantificadas: calor, tempo, comprimento, área, volume, ângulo, massa, 
energia, força, voltagem, população de bactérias, informação, valor financeiro de um 
bem, velocidade, aceleração, pressão, massa, resistência elétrica, lucro, custo, receita, 
produção, aprendizado, respiração, batimento cardíaco, pressão arterial. 
 
 Aliás, você reparou no último exemplo de grandeza quantificada, a pressão 
arterial? Só como exercício, procure prestar atenção nas diversas grandezas objetos de 
atenção da Medicina. Veja como elas são tratadas de forma quantificada. Veja, por 
exemplo, como que um simples exame de sangue já apresenta uma série de grandezas e 
que os resultados do exame são todos quantificados. Você sabia que a pressão alta é 
uma doença silenciosa? Você já ouviu esta expressão? Uma pessoa que sofre de pressão 
alta não costuma apresentar sintomas, só quando esta atinge níveis bastante altos, 
quando muitas vezes a pessoa já sofreu algum dano, por exemplo, teve um rim 
danificado. Você sabia que o aparelho que permite medir pressão é importantíssimo em 
Saúde? Você já prestou atenção nas campanhas que pedem para medirmos nossa 
pressão? Este aparelhinho que é capaz de medir nossa pressão, isto é, que quantifica a 
nossa pressão arterial, é só mais um exemplo de como a entrada da Matemática nas 
nossas vidas é necessária. 
 
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 Caro leitor, tenha a seguinte ideia em mente. Toda vez que encontrarmos um 
problema envolvendo grandezas que podem ser representadas numericamente, 
encontramos um problema que podemos tentar resolver com o auxílio da Matemática. 
 
Números naturais e o processo de contagem 
 
 A noção matemática que representa o processo de contagem é dada pelo 
conjunto dos números naturais. Bem a grosso modo, o conjunto dos números naturais é 
caracterizado por ser formado por um elemento, o sucessor deste elemento, o sucessor 
do sucessor, e assim por diante, sendo que o primeiro elemento mencionado não é 
sucessor de nenhum outro elemento. O primeiro número natural, aquele que não é 
sucessor de outro, costuma ser representado pelo algarismo 1. O próximo número 
natural, isto é, o sucessor de 1, é, então, representado pelo algarismo 2. Na sequência de 
sucessores, os números naturais seguintes são representados pelos algarismos 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9, respectivamente. 
 Como o processo de considerar o sucessor do sucessor não termina nunca, o 
problema de representar qualquer número natural por símbolos variados parece ser um 
tanto complicado. Felizmente, existe uma forma bem esperta de representar todo 
número natural somente através dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, além do 
algarismo 0. 
 O sucessor do 9 é representado por 10, o sucessor do 10 é representado por 11, o 
do 11 é representado por 12, e assim por diante, até 19. Trabalhando sempre com 
agrupamentos de elementos de 10 em 10 quantidades, podemos representar qualquer 
número natural só com os algarismos 0, 1, 2, ..., 9. A representação dos números 
naturais de acordo com este método é chamada representação decimal (ou 
representação na base 10). Segundo a representação decimal, o conjunto dos números 
naturais pode ser representado parcialmente por 
 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 21, ..., 100, 101, ..., 140, 141, ...}. 
 
Observação: Neste momento, o algarismo 0 tem apenas a função de marcar posição. Por 
exemplo, sem o zero, o significado de 1 2 poderia ficar confuso. Significa 12 ou 102? O 
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algarismo 0 marcando a posição dasdezenas, no caso, ajuda a definir este tipo de 
questão. 
 
 A propósito, o homem realiza contagens, com certeza, desde que se organizou 
em sociedades, a milhares de anos atrás. Contudo, só um pouco antes do séc. XII o 
conhecimento do sistema decimal de representação numérica foi universalizado. Você 
já parou para pensar sobre como a ideia de representação decimal é engenhosa, leitor? 
 
Atividade 1: 
a) Represente a quantidade de círculos da figura a seguir por meio de um número 
natural (representado na base 10). (Dica: faça grupos de 10 círculos) 
 
b) Esta atividade ajudou você a perceber por que a representação simbólica dos 
números naturais é eficiente? Por exemplo, veja o espaço ocupado pelos círculos e o 
espaço ocupado pela sua resposta. Ou, então, imagine este grupo de círculos sendo 
comparado com outro grupo de círculos. É muito diferente de comparar as quantidades 
representadas por números? Para entender esta última questão, considere a figura abaixo 
e diga qual grupo de círculos tem a maior quantidade. Você consegue responder sem 
fazer contagem, só pelo aspecto visual? 
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Atividade 2: 
a) Se os números naturais fossem representados na base 3 (só com os algarismos 1, 2 e 
0), quantos números conseguiríamos representar utilizando no máximo dois algarismos 
(entre 1, 2 e 0)? Faça uma listagem de todos estes números. Como ficaria a 
representação na base 3 do número que na base 10 é representado por 8? 
b) Procure exemplos de utilização de outras bases na representação dos números 
naturais. 
 
Desafio: Normalmente, nós contamos os dias, os meses e os anos. Você consegue dar 
uma razão para os dias da semana e os meses do ano serem citados por nomes e os dias 
do mês e os anos serem citados por números? 
 
Atividade 3: Em ônibus de viagem, temos o assento de número 1 atrás do motorista e 
perto da janela. O assento de número 2 fica ainda atrás do motorista, mas voltado para o 
corredor. O assento de número 3 é do lado oposto do corredor e voltado para a janela, 
enquanto que o assento de número 4 fica perto do corredor. A distribuição dos assentos 
segue este padrão, só mudando a fila, tendo os assentos numerados até 45, digamos. Por 
exemplo, o assento de número 5 fica atrás do motorista e perto da janela. Determine o 
conjunto dos números que representam assentos que estão perto da janela e atrás do 
motorista. (Faça um esquema gráfico que represente um ônibus e seus assentos.) 
 
 O próximo exemplo descreve o processo de quantificação de segmentos de reta 
conhecido como medição de comprimento. 
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Exemplo: (comprimento) Podemos utilizar os números na avaliação de comprimentos. 
Dada uma reta r, fixamos dois pontos, O e U, pertencentes a esta. O segmento OU é, 
então, associado ao número 1 e é chamado de segmento unitário ou de unidade de 
medida de comprimento. 
 O U r 
 
 1 
 Um segmento AB da reta r é associado a um número natural n se AB é obtido 
pela justaposição sucessiva de n segmentos congruentes a OU. Neste caso, dizemos que 
o comprimento de AB é n. 
 O U A r 
 
O segmento OA coincide com a justaposição de 
3 segmentos congruentes a OU, donde 
o comprimento de OA é 3. 
 
 Sem a quantificação dos segmentos, isto é, sem a noção de comprimento, uma 
discussão sobre medidas se dá de modo qualitativo, “um segmento é maior do que 
outro”, por exemplo. E, mesmo assim, em alguns casos pode ser difícil estabelecer 
alguma comparação. Na figura a seguir, é claro que o segundo quadrado tem perímetro 
maior do que o do primeiro quadrado. No entanto, não parece claro qual perímetro é 
maior, o do segundo quadrado ou o do retângulo. Leitor, você arrisca um palpite? 
Lembre-se que o perímetro de um polígono é a soma das medidas dos lados que 
formam o polígono. 
 
 Vamos, agora, repetir as figuras anteriores, mas em cima de uma rede 
quadriculada. Adotando os lados dos quadrados da rede como unidade de medida, 
podemos fazer uma avaliação mais precisa do perímetro de cada figura. 
 
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 Contando os segmentos unitários, temos que o quadrado menor tem perímetro 
igual a 4, o quadrado maior tem perímetro igual a 8 e o retângulo tem perímetro igual a 
10. Assim, podemos trocar a frase “o segundo quadrado tem perímetro maior do que o 
do primeiro quadrado” pela frase mais precisa “o segundo quadrado tem perímetro duas 
vezes maior do que o do primeiro quadrado”. Leitor, você achou que o retângulo tivesse 
perímetro maior? Você esperava esta diferença toda? 
 
Atividade 4: Consiga uma régua, ou trena, ou fita métrica. Você consegue identificar, 
na marcação da sua régua, onde estariam os pontos O e U que definem a unidade de 
medida? A propósito, você sabe qual é a unidade de medida da sua reta? Provavelmente 
sua régua mede centímetros e milímetros. Neste caso, podemos fazer duas escolhas para 
o ponto U, dependendo da escolha da unidade de medida. 
 
Exemplo: (área) A noção de área pode ser quantificada de modo análogo à noção de 
comprimento. Uma maneira de fazer isto é fixar um quadrado como unidade de medida 
de área. A área de uma figura é dada pela quantidade de quadrados unitários que 
compõem a figura. 
 Na figura anterior, do exemplo de comprimento, utilizando os quadrados da rede 
como unidade de medida de área, vemos que o quadrado menor tem área igual a 1, o 
quadrado maior tem área igual a 4 e o retângulo também tem área igual a 4. 
 
 Veja que, na figura anterior, o segundo quadrado tem a mesma área que o 
retângulo, mas tem perímetro menor. Existe alguma relação entre o perímetro e a área 
de uma figura? 
 
Contagem na comparação de grandezas 
 
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 A Matemática tem aspectos bastante intrigantes. Por exemplo, às vezes nos 
esquecemos da necessidade prática que nos fez lidar com certos objetos matemáticos e 
começamos a fazer perguntas matemáticas sem qualquer preocupação com a aplicação 
prática das eventuais respostas. O interessante é que especulações matemáticas teóricas 
muitas vezes acabam gerando respostas para problemas que nem imaginávamos que 
tivesse qualquer relação. Por exemplo, qual pode ser o interesse em saber que duas 
regiões de mesma área podem ter perímetros diferentes? Este tipo de questão pode ser 
útil na construção de uma casa, por exemplo. A área de uma casa é uma informação 
bastante importante, é ela que determina o tamanho da casa (por exemplo, o IPTU de 
um terreno é calculado sobre a área construída). Contudo, existem várias formas com 
mesma área, mas com perímetros diferentes. Assim, para economizar na construção das 
paredes, pode ser interessante considerar formas que minimizem o perímetro. 
 
Atividade 5: Verifique que as duas figuras a seguir têm a mesma área, mas têm 
perímetros diferentes. (Por exemplo, se os dois desenhos representassem a planta de 
uma casa, qual seria a opção de projeto mais econômica?) 
 
 
Observação: Nos últimos exemplos, discutimos um pouco sobre a relação entre área e 
comprimento. Note que estes são objetos de naturezas diferentes. A princípio, não 
temos como comparar uma superfície com uma linha. Contudo, o fato de termos 
quantificados estes dois tipos de grandezas permitiu compará-las. Esta é mais uma das 
vantagens do estudo matemático. Através da quantificação de grandezas, criamos um 
parâmetro de comparação entre grandezas como tempo e calor, peso e massa, 
velocidade e distância,volume e pressão, etc. 
 
 Vimos como os números naturais podem ser associados à noção de 
comprimento. Esta associação pode ainda ser mais bem explorada. De fato, podemos 
obter uma interpretação geométrica para os números naturais. Isto permite que 
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visualizemos os números naturais de outro modo, o que pode ser uma habilidade muito 
útil. 
 
Atividade 6: (construindo uma régua com números naturais – a reta graduada) 
a) Consiga uma folha de papel quadriculado e uma régua. Com o auxílio da régua, 
usando uma caneta de cor diferente da dos quadriculados da folha, destaque uma reta da 
folha e fixe uma unidade de medida. Tente obter uma figura parecida com a seguinte. 
 
A partir destas convenções, temos uma reta graduada. Na reta graduada, o número que 
é representado por 1 também pode ser representado pelo segmento unidade, OU. Na reta 
graduada, o número que é representado por 2 também pode ser representado pelo 
segmento que coincide com a justaposição do segmento OU com o segmento côngruo a 
este. Assim, no desenho a seguir, que representa uma reta graduada, o segmento OA é 
uma representação alternativa para 2. 
 
 Considerando justaposições sucessivas do segmento unidade, obtemos os 
números naturais representados por segmentos de uma reta graduada. Veja alguns 
números com as duas representações correspondentes. 
 
 
 É sempre interessante fazer a correspondência entre a representação decimal de 
um número e sua representação na reta graduada, conforme o desenho acima. Contudo, 
1 
2 
3 
4 
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a fim de não sobrecarregar a figura, é mais conveniente marcar a representação decimal 
sobre a extremidade do segmento correspondente. Fazendo isto, leitor, tente obter a 
seguinte representação dos números naturais sobre a sua reta graduada. 
 
 Observe como este processo de construção dos números naturais sobre a reta 
reproduz a ideia que temos sobre os números naturais. Determinamos o primeiro 
segmento, determinamos o sucessor do primeiro segmento, depois o sucessor do 
sucessor e assim por diante. Deste modo, acabamos de descrever uma outra maneira de 
representar os números naturais, a representação geométrica dos números naturais. No 
desenho anterior, temos as duas representações ao mesmo tempo, a geométrica e a de 
base 10. 
b) No desenho a seguir, a letra a simboliza a representação geométrica de um número. 
Dê a representação decimal deste mesmo número. 
 
c) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? 
 
d) No desenho abaixo, a indica a representação geométrica de um número. Note que o 
desenho não tem as marcas que representam os segmentos múltiplos da unidade. Você é 
capaz de deduzir quantas vezes o segmento representado por a é maior do que a 
unidade? Em caso afirmativo, dê a representação decimal de a. 
 
e) No desenho deste item, temos uma situação semelhante à do item anterior. Será que 
agora você consegue deduzir qual é a representação decimal de a? Agora a situação não 
é tão simples. O nosso conselho é que você faça uso de um compasso ou de um pedaço 
de papel ou madeira do tamanho da unidade de medida e conte o número de múltiplos. 
 
f) Seguindo o próximo desenho, dê a representação decimal de a. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
O U 
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g) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? 
 
h) Na figura a seguir, quanto mede o segmento AB? 
 
 
Desafio: Leitor, você consegue construir uma reta graduada a partir de uma unidade de 
medida arbitrária, escolhida por você mesmo, em uma folha sem nenhuma pauta? Dica: 
Utilize uma régua para a construção da reta e um compasso para a construção dos 
múltiplos da unidade (não utilize as unidades da régua). 
 
Contagem na previsão de eventos 
 
 Até agora vimos alguns exemplos onde os números naturais foram úteis na 
comparação de grandezas. Podemos aplicar o conhecimento dos números naturais em 
outro tipo de problema bem interessante, a saber, o problema de previsão. 
 
Exemplo: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um 
minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja 
tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a 
temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este 
comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura 
ambiente de 20ºC? 
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Solução: A resposta para este problema pode ser obtida por um simples processo de 
contagem. Na verdade, é uma contagem especial, pois é preciso contar de 12 em 12, a 
partir do 200 e diminuindo, mas não deixa de ser uma contagem. 
 A sequência de valores contados pode ser acompanhada na seguinte tabela. 
x min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
y
o
C 188 176 164 152 140 128 116 104 92 80 68 56 44 32 20 
 Assim, contando o tempo decorrido, em minutos, e a mudança sucessiva de 
temperatura, podemos antecipar que o forno vai alcançar a temperatura ambiente depois 
de 15 minutos. 
 Leitor, veja como a contagem realizada nesta questão é interessante, não 
precisamos esperar passar os 15 minutos para ficar sabendo que o forno alcançou a 
temperatura ambiente. Contudo, é bom ficar claro que isto é uma previsão. Estamos 
supondo que é isto que vai acontecer (sem precisar esperar os 15 minutos passarem). É 
evidente que podem aparecer outros fatores capazes de alterar esta previsão. Mas, a 
princípio, baseado nos dados fornecidos, o tempo de espera de 15 minutos parece ser 
uma boa estimativa. 
 Por exemplo, se você utilizou um forno em condições semelhantes e possui uma 
criança pequena em casa, já pode prever que a criança só poderá entrar na cozinha em 
segurança depois de 15 minutos do forno ter sido desligado. 
 
Atividade 7: 
a) Existe uma forma bem simples de montar uma tabela como a do exemplo anterior. 
As planilhas eletrônicas (por exemplo, o Excel ou BrOffice – este último é um 
programa livre e você pode pedir ajuda ao seu tutor de Informática sobre mais 
informações) oferecem ótimos recursos matemáticos e um destes é ajudar a montar 
facilmente tabelas como a anterior. Tente realizar as etapas descritas a seguir. 
1º) Em uma planilha, preencha as três primeiras células da primeira linha com os 
valores 1, 2 e 3, respectivamente. 
2º) Selecione as três células preenchidas, você encontrará as três células cercadas 
por um retângulo com um pequeno quadrado do lado, chamado alça de 
preenchimento, com o seguinte aspecto: . 
3º) Clique em cima do pequeno quadrado e arraste a alça ao longo da linha, você 
verá as células sendo preenchidas automaticamente. 
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Se você começar a preencher as células com sequências variadas, o programa irá 
preencher as células seguintes de acordo com a sequência definida. Experimente criar 
automaticamente a sequência dos números pares, ou a sequência dos números múltiplos 
de 9, por exemplo. Tente recriar a tabela do exemplo anterior. 
 
Se você preencher uma planilha eletrônica conforme a figura acima 
e selecionar as 3 células preenchidas, basta arrastar o quadradinho para direita 
para obter a sequência de valores do exemplo anterior. 
b) Uma forma interessante de realizar contagens se dá através da representação 
geométrica dos númerosnaturais. Consiga uma trena com 2 m de comprimento, pelo 
menos. Consiga também um pedaço de linha de 12 centímetros. Vamos representar a 
temperatura do forno através dos centímetros da trena. Assim, a marca 200 cm da trena 
representa a temperatura inicial do forno. Ande com o pedaço de linha a partir da marca 
de 200 cm, diminuindo de 12 cm em 12 cm. Conte cada diminuição de marca, até 
chegar à temperatura ambiente, isto é, até chegar à marca de 20 cm. 
 
Exemplo: Imagine que você comece a brincar com palitos, formando quadrados, como 
na figura a seguir. Quantos palitos são necessários para se montar uma sequência de 17 
quadrados? 
 
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Solução: Como temos visto nesta unidade, para resolver este problema, o caminho é 
fazer uma contagem. Para montar um quadrado, precisamos de quatro palitos. Para 
montar dois quadrados, precisamos de 7 palitos. Para montar três quadrados, precisamos 
de 10 palitos. Bom, o processo segue assim, sempre juntando mais 3 palitos para obter 
um outro quadrado. Ficou com dúvida sobre o processo descrito? Monte os quadrados e 
verifique os números citados. 
 Percebendo que a sequência de palitos necessários cresce de 3 em 3, a partir do 
4, basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de 
quadrados e a segunda linha representando o número de palitos usados. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 
Assim, são necessários 52 palitos. (Tente montar uma tabela como esta no seu 
computador, aproveite para praticar as orientações da atividade 7.) 
 
Observação: Veja, neste último exemplo, mais um aspecto sobre a previsão matemática. 
Primeiro, lembre como a contagem já ajudou a antecipar um evento, como no caso de 
prever quando o forno atingiria a temperatura ambiente, sem precisar esperar o tempo 
decorrer. Agora, você viu como prever a quantidade de palitos necessários para a 
construção da sequência de quadrados sem precisar lançar mão de uma grande 
quantidade de palitos para o experimento, sem precisar arrumar espaço para montar a 
sequência de quadrados e sem perder tempo montando os quadrados. Com um simples 
esquema gráfico e a contagem numérica, o problema foi rapidamente resolvido, com 
grande economia de material, de espaço e de tempo. 
 É claro que montar sequências de palitos é só uma brincadeira, mas é o método 
utilizado que importa. Veja, a seguir, uma situação semelhante, só que agora mais séria. 
 
Exemplo: Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra 
100 reais pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Se o comerciante vende cada peça 
por 30 reais, quantas peças ele precisa vender para começar a ter algum lucro? 
Solução: Vejamos uma tabela relacionando o custo das peças e a receita na venda das 
peças com a quantidade de peças. 
N
o
 de peças 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Custo 115 130 145 160 175 190 205 220 235 
Receita 30 60 90 120 150 180 210 240 270 
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 Na primeira linha, temos a contagem do número de peças. Na segunda linha, 
temos o custo correspondente à quantidade de peças. Para uma peça, temos a tarifa de 
100 reais pela entrega, mais 15 reais pelo custo da peça. Para duas peças, temos 115 
mais o custo da segunda peça. Daí por diante, continuamos a aumentar o custo em 15 
reais para cada nova peça, fazendo, assim, a contagem de 15 em 15. 
 Na terceira linha, temos a receita correspondente ao número de peças vendidas. 
Com uma peça vendida, o comerciante recebe 30 reais. Com duas peças vendidas, ele 
recebe mais 30, somando 60, então. O preenchimento da terceira linha prossegue com a 
contagem de 30 em 30. 
 De acordo com os números obtidos, o comerciante tem que encomendar pelo 
menos 7 peças, para obter algum lucro (é quando temos a receita maior do que o custo – 
lembre que: lucro = receita  custo). 
 
Observação: Novamente, leitor, veja como o processo de contagem ajuda a prever 
situações e com uma série de economias. Neste último exemplo, o comerciante não 
precisou comprar as peças, nem vendê-las, para só então constatar qual é a melhor 
maneira de montar o seu estoque. Ele simplesmente previu isto através do processo de 
contagem. 
 
Atividade 8: Uma piscina de 1000 litros, vazia, recebe água a uma vazão constante. 
Como podemos estimar quando a piscina ficará cheia? 
a) Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para 
encher o balde, 2 minutos. Baseado nestas informações, faça a previsão de quando a 
piscina ficará cheia. (Utilize os recursos de contagem que você aprendeu aqui.) 
b) Suponha que a piscina, de novo vazia, esteja agora com um pequeno vazamento e 
que esteja perdendo um litro de água a cada 10 minutos. Refaça a previsão de quando a 
piscina ficará cheia. 
 
 O processo de contagem, em seu estado mais evoluído, é muito mais do que 
associar quantidades, ou representar quantidades. O processo matemático de contagem 
pode significar também a possibilidade de trabalhar com objetos, mesmo sem tê-los à 
frente, ou de trabalhar com quantidades inimagináveis. Assim, podemos fazer 
referências a manadas de elefantes, sem precisar juntá-los em um mesmo lugar. 
Podemos contar planetas, mesmo que não possamos vê-los. Podemos até falar sobre 
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toda a massa do universo, algo em torno do 1 seguido de 54 zeros, sem precisar 
percorrer nossa vista sobre cada átomo existente no nosso universo. Vimos, por 
exemplo, que, com a contagem, podemos inclusive adiantar o tempo e estimar prováveis 
resultados. 
 
As operações básicas dos números naturais 
 
 Para os números naturais, definem-se as operações fundamentais adição e 
multiplicação. É a partir destas operações que a noção de número se mostra realmente 
importante. Em particular, muitas vezes temos o processo de contagem bastante 
simplificado através do uso das operações fundamentais. 
 
Exemplo: Voltemos ao problema do forno que é desligado quando a temperatura estava 
a 200ºC e cuja temperatura diminui 12ºC a cada minuto. Utilizando operações 
matemáticas, podemos representar o fenômeno da variação de temperatura do forno em 
função do tempo pela equação 
y = 12x + 200, 
onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. 
 Foi pedido para determinar em quanto tempo o forno atinge a temperatura 20
o
C, 
ou seja, quanto vale x quando y = 20. Assim, queremos resolver a equação 
20 = 12x + 200. 
Com habilidade matemática, é fácil encontrar a solução: 
 12x = 200  20 = 180  x = 180/12 = 15. 
Assim, o forno chegará à temperatura ambiente após 15 minutos. 
 
Observação: Leitor, procure pensar um pouco sobre a história completa e nos seus 
detalhes. É apresentado um problema prático e este é resolvido, de modo muito 
eficiente, a partir da manipulação das expressões matemáticas. A história apresentada 
desta forma normalmente não é muito bem entendida, pois várias passagens ficam 
suprimidas. Aliás, é por isso que a história é contada de forma tão eficiente, por ter 
muitos detalhes suprimidos. Contudo, pelo que vem sendo visto ao longo do texto, 
estamos aprendendo a entender o que está por trás do uso tão eficiente das expressões 
Matemática Básica Unidade 1 
 
18 
 
matemáticas. Ficar atento para estas questões, ao longo do seus estudos matemáticos, 
leitor, pode ser uma boa estratégia para melhorar o seu aprendizado. 
 
Exemplo: Voltemos ao problema de determinar o número de palitospara a construção 
de uma sequência de quadrados. Pelos dados do problema, precisamos de 4 palitos para 
o primeiro quadrado e, daí por diante, mais 3 palitos para cada novo quadrado. Assim, a 
quantidade de palitos, y, para cada quadrado, x, pode ser expressa matematicamente pela 
fórmula 
y = 1 + 3x. 
No problema, foi pedido para determinar o número de palitos para se construir 17 
quadrados. De posse da fórmula, precisamos calcular o valor de y quando x = 17. 
Portanto, 
 y = 1 + 3x = 1 + 3.17 = 52. 
 
Observação: Não foi explicado, mas no futuro (aqui, em nossas aulas, e em outras 
disciplinas também) vocês verão como obter fórmulas para problemas como os 
ilustrados aqui. 
 
Exemplo: Vejamos um exemplo de determinação de perímetro de um triângulo sem o 
conhecimento de um dos lados do triângulo. No triângulo a seguir, podemos determinar 
imediatamente a medida de dois lados, a saber, 3 e 4. 
 
Como o triângulo é retângulo, podemos utilizar o teorema de Pitágoras que diz que seus 
lados satisfazem a relação a
2
 + b
2
 = c
2
, onde a e b representam os catetos (os lados 
menores) e c a hipotenusa (o lado maior). 
 Assim, temos c
2
 = 3
2
 + 4
2
 = 9 + 16 = 25, isto é, c
2
 = 25. Se fizermos algumas 
contas (1
2
, 2
2
, ...), chegamos logo a igualdade 5
2
 = 25. Daí, c = 5 é a medida do lado 
maior. Logo, o perímetro é 12. 
Matemática Básica Unidade 1 
 
19 
 
 Note como usamos a fórmula para a determinação do lado, sem recorrer ao 
processo de contagem. 
 
Exemplo: (Área de um retângulo) Considere um retângulo com base medindo a e altura 
medindo b, com a, b  . Como podemos determinar o número de quadrados unitários 
que compõem este retângulo? Ou seja, como podemos determinar a área deste 
retângulo? Pelo que vimos até agora, a resposta é muito simples, é só contar a 
quantidade de quadrados unitários. Entretanto, existe uma forma mais econômica de 
resolver este problema, sem precisar contar todos os quadrados unitários. 
 Se a altura do retângulo mede b unidades é porque ela é formada por uma coluna 
de b quadrados. Se a base do retângulo mede a unidades é porque ela é formada por 
uma linha de a quadrados. Ou seja, o retângulo é formado por a colunas, cada uma com 
b quadrados. Assim, contando ao longo da linha da base, temos uma coluna com b 
quadrados, mais outra coluna com b quarados, mais outra coluna com b quadrados, e 
assim por diante, até a colunas serem contadas. Logo, o número de quadrados que 
compõem o retângulo é dado pela a soma sucessiva de b quadrados, a vezes, ou seja, o 
número de quadrados é igual a ab. 
 Tente acompanhar a explicação pelo próximo desenho. 
 
 Assim, a área de um retângulo de base a e altura b, com a, b , é dada pela 
fórmula, A = ab, onde A denota a área. De outro modo, o número de quadrados unitários 
que compõem o retângulo dado é ab. 
 
Aplicação: Leitor, veja como a operação multiplicação aparece como um simplificador 
do processo de contagem. Suponha que você tenha uma grande quantidade de objetos a 
serem contados. Então, a princípio, você terá que fazer corresponder cada objeto com 
um número natural, um por um. Pelo último exemplo, uma boa estratégia é formar um 
retângulo com os objetos. Aí, em vez de contar um por um, basta contar os objetos da 
⋮ 
⋯ 
b 
a b + b + b + ⋯ + b + b (a vezes) = ab 
⋯ 
⋮ 
Matemática Básica Unidade 1 
 
20 
 
base e da altura do retângulo. Para encontrar o total de objetos, só é preciso fazer o 
produto dos dois valores encontrados. 
 Veja a figura a seguir. 
 
 
 
Olhando os objetos da forma desordenada que estão, a única maneira de contar estes 
objetos é passando por cada um deles, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir, 
formada com os mesmos objetos, mas organizados numa forma retangular. 
 
 
 
 Ainda podemos contar objeto por objeto. Mas, vamos apenas contar os objetos 
da base e da altura. Na base, temos 12 objetos. Na altura, temos 11. Assim, o total de 
objetos pode ser calculado por: total de objetos = 12×11 = 131. 
 
Observação: (Sobre a inclusão do número 0) Com a utilização das operações, o símbolo 
0 passou a ter maior importância. Por exemplo, é interessante ter um símbolo para 
Matemática Básica Unidade 1 
 
21 
 
representar a operação a  a, quando temos uma quantidade e depois a retiramos. 
Ficamos com o que? Com a evolução nas manipulações matemáticas dos números 
naturais, sentiu-se a necessidade de acrescentar um símbolo que representasse a 
ausência de quantidade. Assim, o 0 passou a ter esta função. Deste modo, os números 
naturais passaram a ter a seguinte representação: 
 
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 20, 21, ...}. 
 
Neste caso, quando for necessário fazer referência aos naturais diferentes de zero, usa-se 
a notação *. Ou seja, temos * = {1, 2, 3, 4, ...}. 
 
 Já vimos como a representação geométrica dos números naturais pode ser útil no 
processo de contagem. Será que esta interpretação geométrica dos números também 
pode ser utilizada na realização das operações? Veja, leitor, o que acha das calculadoras 
dadas a seguir. 
 
 (Calculadora analógica de somas) Trabalhando com duas réguas, como na figura 
abaixo, você obtém uma calculadora de soma bastante interessante. Por exemplo, para 
efetuar a soma, 4 + 7, posicione a origem da segunda superior sobre o número 4 da reta 
da base. Verifique que o número 7 da reta superior coincide com o valor da soma, 11. 
Se você trabalhar com réguas maiores, poderá efetuar somas maiores. Esta calculadora 
pode ser útil para perceber certas propriedades operacionais, como: a + b = b + a; a + 0 
= a; a  a = 0; a + x = b  x = b  a (desde que b > a). Experimente brincar com esta 
calculadora! 
 
 
(Calculadora analógica de produtos) Para entender melhor a calculadora de produtos, 
acompanhe esta historinha, leitor. As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos do 
mundo antigo. O filósofo grego Tales (nascido por volta de 585 a.C.), em uma de suas 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 
Matemática Básica Unidade 1 
 
22 
 
viagens ao Egito e admirado com o tamanho destes monumentos, conseguiu medir a 
altura de uma das pirâmides através de um princípio de proporção conhecido por ele. 
Tales utilizou um bastão e a medida da sombra deste e da sombra da pirâmide para 
determinar a altura desta. 
 Acompanhe as figuras a seguir. 
 
 Seguindo a proporção, se a sombra da pirâmide for 70 vezes maior do que a 
sombra do bastão então a altura da pirâmide deve ser 70 vezes maior do que a altura do 
bastão. Por exemplo, se o bastão utilizado tivesse 2 metros então a altura da pirâmide 
deveria ser de 140 metros. 
 O método utilizado por Tales no cálculo da altura de uma pirâmide e a 
representação geométrica dos números pode dar uma boa ideia para a construção de 
uma calculadora geométrica de produtos. Por exemplo, vamos calcular 
geometricamente o produto de 3 por 2 utilizando a ideia de proporção de Tales. Imagine 
raios de sol chegando na Terra. A figura a seguir ilustra dois raios de sol. O primeiro 
passa pelo bastão de altura 1 de modo que a sombra tem comprimento 3. O segundo raio 
passa pela marca de altura 2. Pela proporção das sombras, o segundo raio deve tocar no 
chão na marca 6, que é justamente o resultado do produto de 2 por 3. Acompanhe a 
figura a seguir. 
MatemáticaBásica Unidade 1 
 
23 
 
 
 O processo descrito pode ser aplicado para qualquer par de números naturais. Se 
você souber trabalhar com régua e esquadro, é bem simples montar a sua própria 
calculadora e brincar com ela. Se você quiser se aventurar neste projeto, utilize papel 
quadriculado. Novamente, você pode usar sua calculadora geométrica para perceber 
algumas propriedades operacionais, como: a.0 = 0; a.1 = a; nem sempre a equação ax = 
b tem solução. 
 
 
Comentários finais 
 
 A resolução abreviada de problemas através de expressões matemáticas ilustra 
bem como as operações podem ser importantes na manipulação dos números. Em 
particular, mostra como o domínio de técnicas matemáticas pode ajudar a resolver os 
problemas mais variados, tanto os da própria Matemática, quanto os de fora desta. 
 Caro leitor, ao longo deste curso, você deve rever algumas das técnicas 
matemáticas estudadas no ensino básico, principalmente no ensino médio. O domínio 
destas técnicas pode ajudar na resolução de problemas, como ilustrado aqui, mas 
também pode ajudar você a adquirir novos conhecimentos matemáticos, aqueles que 
serão motivo de estudo nas disciplinas do seu curso. 
 Você está convidado a entrar nesta viagem de conhecimentos que pode te levar a 
horizontes infinitos. O conjunto dos números naturais é apenas o primeiro passo desta 
jornada. 
 
Matemática Básica Unidade 1 
 
24 
 
 A seguir você encontra uma pequena lista de exercícios a fim de ajudar a 
complementar o seu estudo. Na sequência, você encontrará as respostas das atividades, 
assim como dos exercícios complementares. 
 
Exercícios complementares 
 
1) Determine o número de múltiplos de 4 que estão entre 15 e 45. (Sugestão: adote 
alguma estratégia de contagem. Se puder, adote mais de uma estratégia de 
contagem. Isto ajuda a ter certeza da resposta encontrada.) 
2) Determine o número de múltiplos de 7 que estão entre 71 e 2000. (Dica: assim como 
no exercício anterior, basta contar os múltiplos de 1 em 1 para resolver a questão. 
Contudo, este deve ser um processo um pouco cansativo. Será que você sabe 
empregar algum método de contagem mais eficiente? Uma planilha eletrônica 
parece ser um bom recurso. Será que o uso de representações geométricas é uma boa 
estratégia?) 
3) Por uma torneira, jorram 4 litros de água por minuto. 
a) Quantos litros de água jorrarão em 11 minutos? 
b) Quantos litros jorraram em 2 horas e 21 minutos? 
c) Quanto tempo leva para a torneira despejar 98 litros de água? 
4) Utilize a representação geométrica dos números naturais para fazer divisões 
euclidianas. Lembre que o algoritmo de Euclides da divisão determina, dados dois 
números naturais a, b  , o quociente q  e o resto r  tais que: 
a = qb + r e 0  r < b. 
a) a = 25 e b = 3; 
b) a = 25 e b = 7; 
c) a = 51 e b = 6; 
d) a = 94 e b = 3. 
Dica: utilize uma régua suficientemente grande, ou uma trena, e um compasso. 
5) Refaça as contas do exercício anterior utilizando a representação numérica decimal 
e a operação soma. (Dica: a idéia é a mesma da questão anterior. Mas, como a 
representação é diferente, a forma de se expressar é diferente. Tente seguir a 
estratégia usada no exercício anterior com esta forma de representação diferente, a 
soma deve ser usada no lugar do compasso.) 
Matemática Básica Unidade 1 
 
25 
 
6) Refaça o exercício 6 utilizando a representação numérica decimal e a operação 
produto. (Dica: A idéia aqui é usar o produto para diminuir a repetição de somas e 
tornar o processo de descobrir o quociente e o resto mais rápido.) 
7) João vai ter que tomar um remédio por 130 dias. Ele começou a tomar o remédio no 
dia 20 de junho. Em que dia do ano ele tomará o último comprimido. E se João 
começar a tomar o remédio no dia 20 de novembro? Quantas semanas ele levará 
tomando o remédio? (Você pode utilizar qualquer recurso de contagem.) 
 
 
 
Respostas das atividades 
 
Atividade 2: 
a) São 8 números: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22. Por exemplo, o número cuja 
representação decimal é 3, tem como representação na base 3 o símbolo 10. 
 
b) Os dias das semanas são contados na base 7, os dias dos meses são contados, em 
média, na base 30, os dias dos anos são contados na base 365, os ângulos são contados, 
em graus, na base 360. 
 
Atividade 3: O conjunto pedido é {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45}. 
 
Atividade 5: As duas regiões têm área igual a 24. Na primeira, o perímetro é 26, 
enquanto o perímetro da segunda é 20. Assim, se fosse a planta de uma casa, a segunda 
planta representaria um projeto mais econômico, pois o gasto com paredes (tijolo, 
massa, tinta, etc) seria menor. 
 
Atividade 6: 
b) 11 
c) 
 
d) 3 
e) 10 
f) 20 
g) 
 
h) Uma boa maneira de se resolver este problema é fazendo uso de um compasso. 
Colocando a ponta seca no ponto A e a outra ponta do compasso sobre o ponto B, gira-
se o compasso até encontrar o eixo paralelo à reta graduada. Pela graduação da figura, 
podemos concluir que o segmento mede 5 unidades. 
Matemática Básica Unidade 1 
 
26 
 
 
Pode-se resolver esta questão por meio de teoria matemática, a saber, o teorema de 
Pitágoras para triângulo retângulo. Basta verificar no desenho que o segmento dado é a 
hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4. 
 
Atividade 8: Esta atividade é interessante. Vejamos o item (a). Você sabe que o volume 
de água da piscina aumenta em 6 litros a cada 2 minutos. Você tem noção de quanto 
tempo levará para a piscina encher? Bom, em vez de esperar a piscina encher, pode-se 
prever este tempo fazendo a contagem. Experimente fazer esta contagem diretamente, 
ou através da representação geométrica. Você verá que isto dá trabalho. 
 Uma boa forma de realizar a contagem no item (a) é usar uma planilha 
eletrônica. Construa uma linha para o volume de água e use o recurso de arrastar até 
passar do valor 1000. Construa uma segunda linha para representar o tempo. A planilha 
começará assim: 
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 
e terminará assim: 
924 930 936 942 948 954 960 966 972 978 984 990 996 1002 
308 310 312 314 316 318 320 322 324 326 328 330 332 334 
Assim, o volume da piscina atingirá 1000 litros antes de 334 minutos. Ou seja, antes de 
5 horas e 34 minutos (334 = 5.60min + 34min = 5h + 34min). 
 
 
Desafio: Como que o homem faria para resolver este tipo de problema de contagem sem 
os recursos tecnológicos atuais? Você conseguiria realizar esta contagem, até o final, 
“na mão”, ou por representação geométrica? Ou melhor, você conseguiria fazer uma 
contagem assim de uma “forma inteligente”, sem ter tanto trabalho? 
 
 
 Para o item (b), a questão é que a piscina passa a encher 29 litros a cada 10 
minutos (se enche 6 litros em 2 minutos, enche 30 litros em 10 minutos, mas perde 1 
litro). Se você montar uma planilha de contagem para estas informações obterá que a 
piscina ficará cheia antes de 350 minutos. A sua tabela começará assim. 
29 58 87 116 145 174 203 232 261 290 319 348 377 406 435 
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 
 
 
 
Matemática Básica Unidade 1 
 
27 
 
Respostas dos Exercícios 
 
1) Basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de 
múltiplos e a segunda linha representando o múltiplo. Observe que o primeiro múltiplo 
de 4 maior do que 15 é 16, então temos a tabela 
1 2 3 4 5 6 7 8 
16 20 2428 32 36 40 44 
Portanto, são 8 múltiplos de 4. 
 
Outra maneira de resolver é escrevendo que os números procurados são do tipo 4k, 
onde k é um inteiro, tal que 15 < 4k < 45, logo 
 
 
 
 
 
 e, portanto, 
k = 4, 5, ..., 11, donde temos que o número n de múltiplos de 4 entre 15 e 45 é n = (11 – 
4) + 1 = 8. 
 
2) Numa planilha eletrônica, é fácil montar a tabela representada parcialmente a seguir. 
77 84 91 98 105 
1 2 3 4 5 
 .... 
 
1981 1988 1995 2002 
273 274 275 276 
 Assim, a contagem mostra que existem 275 múltiplos. Se você tem dificuldades 
de manipular uma planilha eletrônica, pode se utilizar de uma trena de 2 metros e contar 
de 7 em 7 centímetros, a partir de 77 cm. Se você não gosta de usar a contagem nestes 
casos de números grandes, pode usar o segundo método de solução do exercício 
anterior. 
 
3) 
a) Montando a tabela, com a primeira linha representando o tempo em minutos e a 
segunda linha representando a quantidade de água em litros, temos 
min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
litros 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 
 
Logo, jorrarão de água em 11minutos. Veja que a quantidade Q de água que jorra 
em t minutos é dada por Q=4t. 
 
b) Primeiro, o tempo será convertido para minutos, então 2h 21min equivale a 
 . Assim, a quantidade de água que jorra em 141min é dada por 
 . 
c) Para determinar o tempo necessário para a torneira despejar de água devemos 
determinar , tal que , então dividindo 98 por 4, obtemos , 
portanto levaremos 24min adicionado ao tempo necessário para jorrar de água , que é 
meio minuto (ou 30segundos). Portanto, serão necessários 24min30s. 
 
 
Matemática Básica Unidade 1 
 
28 
 
4) Utilize a representação geométrica dos números naturais para fazer divisões 
euclidianas. Lembre que o algoritmo de Euclides da divisão determina, dados dois 
números naturais a, b  , o quociente q  e o resto r  tais que: 
a = qb + r e 0  r < b. 
a) a = 25 e b = 3  q = 8 e r = 1. A figura a seguir mostra múltiplos 3. Com 8 múltiplos 
de 3, chegamos a 24 e 1 é o resto para chegar a 25. 
 
b) a = 25 e b = 7  q = 3 e r = 4. 
c) a = 51 e b = 6  q = 8 e r = 3. 
d) a = 94 e b = 3  q = 31 e r = 1. 
Obs: Estas são as respostas, mas o exercício é realizar o procedimento geométrico para 
obter estes valores. 
 
5) A solução aqui é o procedimento. Pelo que foi pedido, o procedimento para (a) é 
realizar somas: 3, 3 + 3 = 6, 6 + 3 = 9, 9 + 3 = 12, 12 + 3 = 15, 15 + 3 = 18, 18 + 3 = 21, 
21 + 3 = 24. Como temos 8 somas sucessivas, temos q = 8. Temos que r = 25  24 = 1. 
 
6) O procedimento pedido para esta questão é determinar múltiplos. Temos, no item (a), 
3 = 1.3, 6 = 2.3, 9 = 3.3, 12 = 4.3, 15 = 5.3, 18 = 6.3, 21 = 7.3, 24 = 8.3. 
 
7) O objetivo da maioria destas questões é mostrar que quando não sabemos nenhuma 
estratégia matemática para resolver uma questão, podemos apelar para a simples 
contagem. Esta questão é um bom exemplo. Para resolvê-la, basta pegar um calendário 
e contar os dias.