Trigonometria 8 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2012/1  Gabarito da Unidade 8 
 
Atividade 1: 
1) Determine o complemento e o suplemento de 45°45´. 
Solução: Complemento:44°15´. Suplemento: 134°15´. 
2) Calcule 
Solução: 75°1`23``. 
3) Resolva a equação . 
Solução: 
 . 
4) Determine os ângulos da figura. ERRATA: y=x na figura 
 
Solução: 
 
 
 e 
Atividade 2: 
1) Em cada figura, calcule o valor de . 
a) b) 
 
Solução: a) x=45° b) . Logo, 
donde 
. 
2) Calcule o valor de x, sabendo que AC=AB. 
 
Solução: Observe que o triângulo ABC é isósceles, logo o ângulo ACB, 
adjacente a é de 25°. Portanto, temos 
 
3) A hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a e os catetos 2 e . 
Detemine a medida da hipotenusa. 
Solução: Por Pitágoras, e a única solução 
positiva é 
 
 
 . Logo, os lados medem 
 
 
 (hipot.) e 
 
 
. 
 
4) Mostre que o único triângulo retângulo cujos lados são inteiros consecutivos 
possui lados medindo 3,4 e 5. A propósito, qual das três medidas é referente a 
hipotenusa deste triângulo? 
Solução: Chamemos os catetos de n e n+1 e a hipotenusa n+2. Por Pitágoras, 
 
 , cujas raízes são n=-1( não serve, pois é negativo) e n=3. 
Logo, as dimensões são 5,4,3. 
 
5) Calcule as medidas dos lados de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro 
é igual a 
Solução: Como é isósceles, os dois catetos são iguais, digamos e a hipotenusa . 
Por hipótese, . Logo, por Pitágoras, 
 
 
 
 
 
 
 , cuja única raiz positiva é 
 Assim, as medidas são e 
 
Atividade3: 
1) Num triângulo ABC, retângulo em A, a hipotenusa é a=25cm e cosB=0,96. 
Calcule o perímetro do triângulo. 
Solução: 
 
 
 . O cateto b oposto a B é tal 
que, . O perímetro é igual a 56cm. 
 
2) Num triângulo ABC, retângulo em A, temos b=4cm e a-c=2cm. Calcule , 
sendo os lados a , b e c opostos, respectivamente, A , B e C. 
Solução: Por Pitágoras, . Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule os valores de da figura. 
 
 
 
Solução: Por Pitágoras no triângulo ACD, temos 
Novamente Pitágoras no triângulo ACB, temos 
 
 
Atividade 4: 
1) Com o auxílio de uma régua e um transferidor, aproxime os valores de sen70°, 
cos70° e tg70°. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Num triângulo retângulo, um cateto mede 12 cm e o ângulo oposto é de 60°. 
Calcule a hipotenusa e o outro cateto. Faça um esboço. 
Solução: Seja x o cateto e h a hipotenusa, então 
 
 
 
também 
 
 
 
 
 
 . 
 
3) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Quando tiver percorrido meio 
quilômetro, a que altura estará do solo? Faça um esboço. 
 Solução: Pela figura, 
 
 
 
 
 
4) Uma escada de 6m de comprimento está encostada a uma parede vertical, 
formando com ela um ângulo de 30° graus. Calcule a distância do pé da escada à 
parede. 
 Solução: A escada é a hipotenusa do triângulo retângulo e a distância à parede será . 
Então, 
 
 
 . Como 
 
 
, temos que . 
 
5) Quando o sol está a 60° acima da linha do horizonte, qual é o comprimento da 
sombra de um poste de 7,5m de altura? Aproxime o resultado em metros com uma casa 
decimal. 
 Solução: O comprimento da sombra é , onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Veja a figura abaixo. 
 
 
Atividade 5: 
1) Calcule o comprimento do arco de uma circunferência de raio 2, cujo ângulo 
central é 30°. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dê a medida em radianos dos ângulos 72°, 210°, 270° e 315°. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
. 
 
3) Determine o valor do raio , tal que o comprimento do arco 
subtendido ao ângulo de 60° seja . 
 Solução: 
 
 
 
 
Atividade 6: 
Complete a tabela e marque na figura o ângulo e,no respectivo eixo, o valor do cosseno 
e do seno de cada um. 
Solução: 
Ângulo Se Cos 
0° 0 1 
30° 1/2 /2 
45° /2 /2 
60° /2 1/2 
90° 1 0 
120° /2 -1/2 
135° /2 - /2 
150° 1/2 - /2 
180° 0 -1 
 
 
 
 
Atividade 7: 
 
1) Num triângulo ABC, temos AC=8 cm, BC=6 cm, e Se 
 calcule 
Solução: 
 
 
60sen 
8
sen 
6


, donde sen  = 
8
33
. 
 
2) Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60°. 
Calcular o outro lado. 
Solução: 
Temos a
2
 = 81 + 36 – 54 = 63, donde a = 
73
. 
 
3) Determine os ângulos do triângulo cujos lados medem . 
Solução: Se  representa a medida do ângulo oposto ao lado de medida 2
3
, 
obtemos, aplicando a lei dos cossenos, cos  = 0, isto é,  = 90º. (O triângulo é 
retângulo) 
Se  representa a medida do ângulo oposto ao lado de medida 
3
, temos cos  = 
2
3
32
3

, donde  = 30º. 
Como a soma dos ângulos do triângulo é 180º, segue que o terceiro Ângulo mede 60º. 
 
4) Prove que , 
a) se é o maior lado do triângulo ABC e , então o triângulo é 
acutângulo; 
b) se é o maior lado do triângulo ABC e , então o triângulo é 
obtusângulo; 
De a) e b), segue que se , então o triângulo é ___________________. 
(Recíproca do teorema de Pitágoras.) 
Solução: 
a) a2 < b2 + c2  0 < a2 + b2 + c2 = 2bccos A  cos A > 0  A < 90º. 
Como A representa o ângulo maior, segue que os três ângulo são 
menores do que 90º, isto é, o triângulo é acutângulo. 
b) Trocando sinal, verifica-se que existe um ângulo de medida maior do 
que 90º, donde o triângulo é obtusângulo. 
c) Retângulo. 
 
5) Dados os lados dos triângulos, usando o exercício 4), verifique se o triângulo é 
acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 
a) 10,24,26 
b) 10,15,20 
c) 9,40,41 
d) 16,33,30 
Solução: 
a) 262 = 676 e 102 + 242 = 676. Logo, o triângulo é retângulo. 
b) 202 = 400 e 102 + 152 = 325. Logo, o triângulo é obtusângulo. 
c) 412 = 1681 e 92 + 402 = 1681. Logo, o triângulo é retângulo. 
d) 332 = 1089 e 162 + 302 = 1156. Logo, o triângulo é acutângulo.