Aula1-Zeros_de_Funcoes

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Zeros Reais de Funções Reais
www.mat.uel.br/plnatti/.../Aula2Zeros%20de%20Funções.ppt 
Com modificações.
Métodos iterativos - Zeros
Método da Bissecção 
Método da Posição Falsa(Cordas) 
Método do Ponto Fixo(Iteração Linear)
Método de Newton-Raphson
Método da Secante
Introdução
Zero real da função real :
.Ex: f(x) = x+ln(x)-1
ξ = 1 é um zero de f(x)
 
Introdução
Graficamente, os zeros reais de 
 são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo 
Introdução
A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases.
Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz)
Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação inicial até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)
Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 1. Seja contínua em Se , então existe pelo menos um em que é zero de 
Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 2. Seja contínua em . Se 
 e se existir, que preserva o sinal em , então este intervalo contem um único zero de
Parte 1
Formas de se localizar as raízes de : 
Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal.
Análise gráfica da função .
Parte 1- Exemplo 1 / Método1
Seja . Sinais de
As raízes estão nos intervalos de mudança de 
sinal de . Veja .....
Parte 1- Exemplo 1 / Método 2
Façamos o gráfico de
Novamente temos os intervalos dos zeros.
Parte 1- Exemplo 1 / Método 3
Façamos o gráfico da função equivalente
Novamente temos os intervalos dos zeros
Parte 1- Exemplo 2
Seja para . 
Sinais de
 Logo temos uma única raiz.
Sinais de
Temos uma raiz no intervalo 
Parte 2 - Refinamento
Refinamento por métodos iterativos 
Métodos iterativos=Seqüência de ciclos
Iteração=um ciclo (loop)
Iteração k depende da iteração anterior k-1
Testes (critérios) verificam se resultado da iteração k atingiu resultado esperado.
Parte 2 - Refinamento
Critérios de parada: 
 está suficientemente próximo da raiz exata?
Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo
Parte 2 - Refinamento
Dados iniciais
k=1
Cálculo da nova aproximação
A aproximação está suficientemente 
próxima da solução exata?
k=k+1
Cálculos finais
Sim
Não
Critérios de parada
Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata . 
Então, é a raiz aproximada com precisão , 
se: i) ou ii) 
Não conhecemos 
Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii)
simultaneamente. 
Critérios de parada 
Caso 1 Caso 2
 
Critérios de parada 
Note que satisfazer não implica que .
Note que satisfazer não implica que 
 .
Métodos numéricos satisfazem os dois critérios, preferencialmente.
Programas estipulam um número máximo de iterações (evitar looping)
Critérios de parada – Método Geral
Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que 
 Então pode ser 
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção
Seja contínua em , tal que 
 . Se preserva o sinal em , então o intervalo contem uma única raiz de .
Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que ׀xk-xk-1׀< ε, dividindo ao meio sucessivamente. 
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção
Seja com zero em 
As iterações são realizadas da forma
1)
2)
 
3) Continue o processo até que ׀xk-xk-1׀ < ε 
Método da Bissecção
b=b0
a=a0
x0
||
a1
||
x1 
b2
||
a3
a2
||
b1
||
x2 
||
b3
Método da Bissecção
I. Método da Bissecção-Exemplo
 Seja com e .
 Temos 
Obtemos em dez iterações.
iteração
x
f(x)
E
1
0.5
-1.375
2
0.25
0.765
0.25
3
0.375
-0.322
0.125
4
0.313
0.218
0.063
10
0.3369
0.00660
0.00098
Método da Bissecção
ak
bk
xk
f(xk)
׀xk-xk-1׀
k=0
0
1
0.5
-1.375
k=1
0
0.5
0.25
0.765
0.25
k=2
0.25
0.5
0.375
-0.322
0.125
k=3
0.25
0.375
0.3125
0.218
0.0625
k=4
0.3125
0.375
0.34375
-0.0531
0.03125
k=5
0.3125
0.34375
0.32813
0.0822
0.015625
k=6
0.32813
0.34375
0.33594
0.01447
7.8X10-3
k=7
0.33594
0.34375
0.33984
-0.01934
3.9X10-3
k=8
0.33594
0.33984
0.33789
-2.4X10-3
1.95X10-3
k=9
0.33594
0.33789
0.3369
6.0X10-3
9.8X10-4
Note que ׀xk-xk-1׀ <
Método da Bissecção
I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se 
 preserva o sinal em .
Métodos iterativos - Zeros
II. Método da Posição Falsa
Seja contínua em , tal que 
 . Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de .
Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em .
Método da Posição Falsa
II. Média Ponderada
Para e . 
Como , podemos supor que o zero está mais próximo de 
 . Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de .
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa
Seja com um zero em .
As iterações são realizadas da forma
1)
2) Continue o processo até que ׀xk-xk-1׀<ε e
 .
Nota: 
Como f(a)f(b)<0 temos que a fórmula
pode ser utilizada como: 
 
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessita de quantas iterações para tal precisão?
ak
bk
xk
f(xk)
E
k=0
0
1
0.375
-3.2226
k=1
0
0.375
0.3386
-8.7902X10-3
0.0364
k=2
0
0.3386
0.3376
-2.2588X10-4
0.001
Método da Posição Falsa
I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em 
 com e se preserva o sinal em .
Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.