Teoria de Carteiras

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Aula 2: 14-Fev-2017
Aula 3: 21-Fev-2017
Prof. Dr. Rodrigo Takashi Okimura
rodrigo.okimura@fipecafi.org
Gestão Financeira – 1S/2017
Graduação em Ciências Contábeis - GpG T8
Risco e Retorno2
Bibliografia:
 ASSAF NETO, Alexandre. Finanças Corporativas e Valor, 6.a edição, Ed. 
Atlas, 2012. Capítulos 10 e 11.
2
3
Risco e Retorno
Objetivos (questões-chave) :
 Por que a teoria de carteiras é estudada em Finanças?
 O que significam retorno esperado e risco esperado?
 Hipótese de normalidade das séries de retornos
 Determinar medidas de retorno e risco para teoria de carteiras
Exercícios para fixação:
 11.1 a 11.7 do Caderno de Exercícios do Assaf
 Exercícios da lista indicada pelo professor
Mercado Financeiro
Introdução
4
 Dados históricos disponíveis em várias fontes e facilmente acessíveis:
 Internet (Yahoo, Google, Infomoney, Reuters etc.)
 Sistemas especializados (Bloomberg, Thomson, Valueline, Economatica etc.)
 Avanço da Literatura de Finanças
 Teoria de Carteiras de Markowitz e CAPM de William Sharpe
 Precificação de opções de Black-Merton-Scholes
 Disponibilidade de estudos sobre análise de investimentos
 Estudos especializados sobre investimentos (Damodaran, Ibbotson)
 Relatórios de fundos, ações (rankings de jornais, recomendações de ações etc.)
 Papel dos mercados emergentes e surgimento de novos pólos financeiros nas 
últimas décadas
 BRICS
 TICKS (Taiwan, India, China and South Korea)
Rentabilidade acumulada (em USD) – EUA 1925-2000
Fonte: Stocks, Bonds, Bills, 
and Inflation 2001 Yearbook, 
Ibbotson Associates, em Ross 
et al., 2002
Introdução
5
Rentabilidade acumulada (em USD) – Brasil 1999-2008
$-
$2 
$4 
$6 
$8 
$10 
$12 
CDI
Ibovespa
IPCA
Poupança
Crise Argentina 
mar/abr 2001
Desvalorização 
do Real
13-jan-1999
Ataque WTC
11-set-2001
Crash Nasdaq
11-mar-2000
Queda Bolsa China
27-fev-2007
Aumento taxas 
FED Maio-2006
Quebra Bear Stearns
14-mar-2008
Ínicio Subprime
15-ago-2007
Introdução
6
Mercado Financeiro Atual
Introdução
 Você pode observar que:
 Renda Variável apresenta maior retorno ao longo do tempo
 Esse retorno é muito maior do que a inflação ou renda fixa
 Por quê a maioria das pessoas ou instituições não coloca todo o seu dinheiro (ou 
quase todo) em Renda Variável?
 (este problema é conhecido como “Equity Premium Puzzle”)
 Riscos!
 Dificuldade em lidar com riscos!
 Identificação e correta Mensuração não é trivial, mesmo para quem tem 
informações!
7
Variabilidade dos Retornos
Fonte: Stocks, Bonds, Bills, 
and Inflation 2001 Yearbook, 
Ibbotson Associates, em Ross 
et al., 2002
Introdução
0
500
1000
1500
-70,0% -40,0% -10,0% 20,0% 50,0% 80,0% 110,0% 140,0% Mais
0
200
400
600
-70,0% -40,0% -10,0% 20,0% 50,0% 80,0% 110,0% 140,0% Mais
0
500
1000
1500
-70,0% -40,0% -10,0% 20,0% 50,0% 80,0% 110,0% 140,0% Mais
0
500
1000
-70,0% -40,0% -10,0% 20,0% 50,0% 80,0% 110,0% 140,0% Mais
Fonte de dados: Economatica
8
• Incerteza existe quando mais eventos podem ocorrer do que realmente irão
acontecer
1
2
3
4
5
6
CLIMAJOGO MERCADO
• Risco é a incerteza que afeta o bem estar dos indivíduos
– Desvios em relação ao valor esperado no futuro decorrem do grau de
incerteza e podem gerar resultados adversos
Resultado = Valor Efetivo - Valor Esperado
Definição de Risco
Jorion (2003)
Risco pode ser definido como a volatilidade de resultados inesperados, 
normalmente relacionada ao valor de ativos ou passivos de interesse.
Risco
9
*JORION, Philippe. Value at Risk, 2ª edição, Brasil: BMF, 2003.
Algumas medidas de Risco em Finanças
• Desvio-padrão
• Volatilidade
• Beta (Risco Sistemático do CAPM)
• Perda máxima
• Variância 
• Semi-variância
• Value-at-risk (VaR): Risco de Mercado
Medidas de Risco
10
11
Taxas discretas e contínuas
• Retorno Discreto
– i = (Pt / Pt-1) - 1
– Exemplos:
• Pt = $ 120
• Pt-1 = $ 100
• i = 120/100 - 1 = 20%
• Retorno Contínuo
– r = ln (Pt / Pt-1) 
ou r = ln (1 + i)
– Exemplos:
• Pt = $ 120
• Pt-1 = $ 100
• r = ln (120/100) = 18,23%
Medidas de Retorno
• Capitalização Discreta
Pt = Pt-1 (1 + i)
Exemplo:
Pt-1 = $ 100
i = 20%
Pt = 100 (1+20%) = $ 120
• Capitalização Contínua
Pt = Pt-1 . exp(r)
Exemplo: 
Pt-1 = $ 100
r = 18,233%
Pt = 100 . exp(18,233%) = $ 120
12
Diferenças
Medidas de Retorno
 Vantagens de usar retorno discreto (ou aritmético ou simples):
 Mais fácil (operação simples) e mais intuitivo no dia-a-dia
 Uso mais recorrente na mídia e imprensa não especializada
 Vantagens de se usar retorno contínuo (ou geométrico ou logarítmico):
 Ideal para inferência estatística
 Continuidade temporal: capitalização
 Uso em precificação de opções
Para retornos contínuos:
Média aritmética:
Desvio padrão:
1
N
i
i
x
x
N

  
2
1
N
i
i
x x
N
 



* Obs.: Variância = (Desvio-padrão)2
Data Preço PETR4 
Retorno 
contínuo
Preço CGAS5 
Retorno 
contínuo
1-abr-08 R$ 37,78 R$ 42,29 
2-abr-08 R$ 38,78 2,61 % R$ 42,38 0,21 %
3-abr-08 R$ 39,25 1,20 % R$ 42,67 0,68 %
4-abr-08 R$ 39,40 0,38 % R$ 43,14 1,10 %
7-abr-08 R$ 39,25 -0,38 % R$ 43,53 0,90 %
8-abr-08 R$ 39,99 1,87 % R$ 43,75 0,50 %
9-abr-08 R$ 40,02 0,07 % R$ 43,98 0,52 %
10-abr-08 R$ 40,16 0,35 % R$ 43,38 -1,37 %
11-abr-08 R$ 39,27 -2,24 % R$ 43,65 0,62 %
14-abr-08 R$ 41,48 5,48 % R$ 43,75 0,23 %
15-abr-08 R$ 41,97 1,17 % R$ 43,35 -0,92 %
16-abr-08 R$ 41,70 -0,65 % R$ 44,99 3,71 %
17-abr-08 R$ 42,55 2,02 % R$ 45,20 0,47 %
18-abr-08 R$ 42,65 0,23 % R$ 45,25 0,11 %
22-abr-08 R$ 43,10 1,05 % R$ 45,80 1,21 %
23-abr-08 R$ 42,51 -1,38 % R$ 45,99 0,41 %
24-abr-08 R$ 41,60 -2,16 % R$ 46,00 0,02 %
25-abr-08 R$ 42,15 1,31 % R$ 46,04 0,09 %
28-abr-08 R$ 42,59 1,04 % R$ 46,10 0,13 %
29-abr-08 R$ 40,90 -4,05 % R$ 46,00 -0,22 %
30-abr-08 R$ 42,20 3,13 % R$ 46,50 1,08 %
Retorno Esperado (Média) 0,55 % 0,47 %
Volatilidade (Desvio-padrão) 2,10% 0,99%
Utilizando retornos históricos 
(passado: Abr/2008), posso 
considerar que para 1 dia: 
• Petrobrás PN: retorno de 0,55%
e volatilidade (risco) de 2,10%
• Comgas PNA: retorno de 0,47%
e volatilidade (risco) de 0,99%
Medidas Estatísticas
13
Apesar de PETR4 e CGAS5 apresentarem retorno esperado próximos (*aprox. 0,5% ao dia), a 
dispersão dos valores é diferente. Por exemplo:
• PETR4: com 68% de confiança, o intervalo é de -1,60% a 2,60%
• CGAS5: com os mesmos 68% de intervalo de confiança, o intervalo é de -0,49% a 1,49%
Volatilidade é uma medida de risco por medir a dispersão (incerteza) dos retornos esperados.
Probabilidade
PETR4: Maior Desvio = 2,10%
CGAS5: Menor Desvio = 0,99%
Retorno Esperado
X  1  X X + 1 
(~ 68% das observações)
PETR4 -1,60% 0,5% 2,60%
CGAS5 -0,49% 0,5% 1,49%
Normal Padronizada N(0,1)
Medidas Estatísticas
14
Distribuição de Preços
Transformação
estatística
da variável
rt = ln (Pt / Pt-1)
Distribuição de Retornos Contínuos
Modelos representam simplificações  Hipótese da normalidade de retornos
Log-Normal Normal
 A distribuição normal pode ser descrita por dois parâmetros:
 Média (m)
 Desvio Padrão ()
 Representao grau de incerteza com relação a movimentos futuros  Volatilidade
 Ou seja, com dois parâmetros é possível descrever a distribuição normal. 
Preços vs. Retornos
Medidas Estatísticas
15
Preço
TempoHoje
Análise
Histórica
PETR4
Ativo A
Preço
TempoHoje
Análise
Histórica
CGAS5
Ativo B
n Dias
PETR4
Valor
EsperadoInferência Estatística
Alta Volatilidade
CGAS5
Valor
Esperado
Inferência Estatística
n Dias
 Baixa Volatilidade
Valores
Possíveis
Valores
Possíveis
Preço de Ativos Financeiros: projeção baseada em dados históricos
Medidas Estatísticas
16
Perfil do Investidor3
Bibliografia:
 ASSAF NETO, Alexandre. Finanças Corporativas e Valor, 7.a edição, Ed. 
Atlas, 2014. Capítulos 10 e 11.
17
18
Perfil do Investidor
Objetivos (questões-chave) :
 Quais as possibilidades de preferências do investidor?
 Perfil do investidor racional e avesso ao risco
Exercícios para fixação:
 Exercícios da lista indicada pelo professor
19
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
4,0%
4,5%
5,0%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0%
Risco
Re
to
rn
o
Telemar PN 
(TNLP4)
Gol PN (GOLL4)
Natura ON (NATU3)
CPFL ON (CPFE3)
Itaú PN (ITAU4)
Vale PN (VALE5)
ALL Unit (ALLL11)
Petrobrás PN 
(PETR4)
Net PN (NETC4)
Período de análise: 3 anos (36 meses) – Jan/05-Dez/07
Retorno: média dos retornos mensais 
Risco: desvio-padrão dos retornos mensais
Perfil do Investidor
Qual ação você escolhe para investir?
20
O que o investidor quer
Entre dois investimentos com mesmo retorno esperado:
• Perfil Avesso ao Risco
– Prefere o de menor risco
• Perfil Neutro ao Risco
– Indiferente
• Propenso ao Risco
– Prefere o de maior risco
Entre dois investimentos com o mesmo risco esperado:
• Critério de não saciedade (nonsatiation)
– Prefere o de maior retorno.
• Outros tipos de preferência:
– Preferência pela Liquidez
– Preferência pela Assimetria
Perfil do Investidor
21
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
4,0%
4,5%
5,0%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0%
Risco
Re
to
rn
o
Telemar PN 
(TNLP4)
Gol PN (GOLL4)
Natura ON (NATU3)
CPFL ON (CPFE3)
Itaú PN (ITAU4)
Vale PN (VALE5)
ALL Unit (ALLL11)
Petrobrás PN 
(PETR4)
Net PN (NETC4)
Período de análise: 3 anos (36 meses) – Jan/05-Dez/07
Retorno: média dos retornos mensais 
Risco: desvio-padrão dos retornos mensais
Perfil do Investidor
Deseja retorno de 1% a.m.
22
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
4,0%
4,5%
5,0%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0%
Risco
Re
to
rn
o
Telemar PN 
(TNLP4)
Gol PN (GOLL4)
Natura ON (NATU3)
CPFL ON (CPFE3)
Itaú PN (ITAU4)
Vale PN (VALE5)
ALL Unit (ALLL11)
Petrobrás PN 
(PETR4)
Net PN (NETC4)
Período de análise: 3 anos (36 meses) – Jan/05-Dez/07
Retorno: média dos retornos mensais 
Risco: desvio-padrão dos retornos mensais
Perfil do Investidor
Risco de 9% a.m.
23
Curva de Troca entre Risco e Retorno
Investidores Avessos ao Risco
Risco
R
e
to
rn
o
Perfil do Investidor
Utilidade 
constante
(curvas de 
indiferença)
24
Seleção entre Curvas Troca entre Risco e Retorno
Teoria da Utilidade e Perfil do Investidor
Risco
R
e
to
rn
o
Perfil do Investidor
Utilidade 
aumenta
25
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
4,0%
4,5%
5,0%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0%
Risco
Re
to
rn
o
Telemar PN 
(TNLP4)
Gol PN (GOLL4)
Natura ON (NATU3)
CPFL ON (CPFE3)
Itaú PN (ITAU4)
Vale PN (VALE5)
ALL Unit (ALLL11)
Petrobrás PN 
(PETR4)
Net PN (NETC4)
Período de análise: 3 anos (36 meses) – Jan/05-Dez/07
Retorno: média dos retornos mensais 
Risco: desvio-padrão dos retornos mensais
Perfil do Investidor
Escolha vai depender de preferências, mas com algum critério...
26
O que o investidor quer
Entre dois investimentos com mesmo retorno esperado:
• Perfil Avesso ao Risco
– Prefere o de menor risco
Entre dois investimentos com o mesmo risco esperado:
• Critério de não saciedade (nonsatiation)
– Prefere o de maior retorno.
Perfil do Investidor
Teoria de Carteiras (Teoria do Portfólio)4
Bibliografia:
 ASSAF NETO, Alexandre. Finanças Corporativas e Valor, 6.a edição, Ed. 
Atlas, 2012. Capítulos 10 e 11.
27
28
Teoria de Carteiras
Objetivos (questões-chave) :
 Como se calcula o retorno e risco para uma carteira com 2 ativos
 Conceito de diversificação (correlação ou covariância entre os retornos de 2 
ativos) e o efeito sobre o risco da carteira
 Otimização de carteiras com N ativos
 Risco diversificável e não diversificável
Exercícios para fixação:
 12.1 a 12.11 do Caderno de Exercícios do Assaf
 Exercícios da lista indicada pelo professor
29
Histórico
• Modelo apresentado em 1952 
– Prêmio Nobel de Economia de 1990 (Harry Markowitz)
Teoria de Carteiras
30
Histórico
• Algumas idéias...
– “Especuladores”
• “Todos os ovos em uma mesma cesta”
• “Torcer para dar certo”
– Investidores avessos ao risco
• Diversificam seus investimentos em carteiras
• Preocupam-se com:
– Retorno Esperado
– Risco medido como desvio padrão ou variância dos 
retornos
Teoria de Carteiras
31
Pressupostos do Modelo de Markowitz
1. Investidores consideram:
– Retornos esperados como uma medida de potencial de ganho
– Variabilidade (incertezas e probabilidades) dos retornos como uma 
medida de risco
2. Investidores maximizam a utilidade em um único período
3. Decisões baseadas em risco e retorno
– Dado um nível de risco preferem o maior retorno (não saciedade)
– Dado um nível de retorno preferem o menor risco (avesso ao risco)
Teoria de Carteiras
32
Retorno esperado de uma carteira de investimentos
Para 2 ativos com risco
• Retorno da Carteira: média ponderada dos retornos dos ativos
RC = w1 . R1 + w2 . R2
sendo:
• wi => percentual da carteira investida no ativo i
• Ri => retorno esperado para o ativo i
• Restrição: soma de todos os pesos (w) deve ser sempre 100%
Exemplo1: considere R1 = 15%, R2 = 5%, w1 = 50%, w2 = 50%
• RC = w1 . R1 + w2 . R2
• RC = 50% . 15% + 50% . 5% = 10%
Obs.: RC (ou RP) = retorno da Carteira ou Portfolio.
Teoria de Carteiras
33
Efeito de Diversificação
• Ativo 1:
– Retornos: 
• JAN 15%
• FEV 10%
• MAR 5%
• Ativo 2:
– Retornos: 
• JAN 5%
• FEV 10%
• MAR 15%
• Calcule o desvio padrão de 
cada um dos ativos 1 e 2 no 
período
• Carteira A: 
– 50% do $ no Ativo 1
– 50% do $ no Ativo 2
• JAN 10%
• FEV 10%
• MAR 10%
• Calcule o desvio padrão da 
carteira A no período
• Interprete os resultados
Teoria de Carteiras
34
Efeito de Diversificação
Formas de Aproveitamento
• O modelo mais simples é baseado em escolher aleatoriamente alguns 
ativos para sua carteira
• Uma outra forma é considerar algum critério qualitativo para escolher 
uma certa quantidade de ativos para sua carteira
• Para simular a quantidade de ativos necessários construir carteiras 
com diferentes quantidades e calcular o risco:
– Um ativo: escolher o de menor risco
– Dois ativos: escolher dentre todas as carteiras possíveis com dois ativos a 
de menor risco
– ...
– n ativos: escolher dentre todas as carteiras possíveis com n ativos a de 
menor risco
Teoria de Carteiras
35
Variância e Correlação
Para 2 ativos com risco
• Risco da Carteira: desvio padrão (raiz da variância) da combinação 
de 2 ativos:
C= raiz (w12. 1
2 + w2
2 . 2
2 + 2 . w1 . w2 . r1,2 . 1 . 2)
sendo:
wi : percentual da carteira investida no ativo i
i : desvio padrão do ativo i
r1,2 : correlação entre os retornos dos ativos 1 e 2
• Exemplo: r1,2  1,0
C
2 = w1
2. 1
2 + w2
2 . 2
2 + 2 . w1 . w2 . r1,2 . 1 . 2
C
2 = 50%2. 5%2 + 50%2 . 5%2 + 2 . 50% . 50% . -1,0. 5%.5%
C
2 = 0
C = raiz (0) = 0 
Teoria de Carteiras
36
Correlação
• Definição: é a covariância dividida pelo produto dos desvios
r  Cov1,2 / (1 . 2 )
• A correlação, por ser padronizada dessa forma, só pode variar de
-1,0 até +1,0
• Exemplo:
– Retornos do Ativo 1: JAN 15%, FEV 10%, MAR 5%
– Retornos do Ativo 2: JAN 5%, FEV 10%, MAR 15%
– Correlação entre os Ativos 1 e 2 no período = -1,0
– Na HP12C: 
• f S
• 15% enter 5% S+
• 10% enter 10% S+
• 5% enter 15% S+
• 0 g y^,r
• x><y
Teoria de Carteiras
37
Tempo
Correlação Perfeita Positiva 
(r = +1)
Retornos
Tempo
Correlação Perfeita Negativa 
(r = -1)
Tempo
Correlação Zero (r = 0)
Correlação 
Teoria de Carteiras
Importante:
A correlação (ou 
covariância) deve 
ser medida sobre 2 
séries de retornos!
Retornos
Retornos
37
38
Variância e Covariância
Para 2 ativos com risco
• Risco da Carteira (desvio padrão da carteira):
C = raiz (w1
2. 1
2 + w2
2 . 2
2 + 2 . w1 . w2 . Cov1,2 
ou
C = raiz (w1
2. 1
2 + w2
2 . 2
2 + 2 . w1 . w2 . r1,2 . 1 . 2 )
• sendo:
wi : percentual da carteira investida no ativo i
i : desvio padrão do ativo i
Cov1,2 : covariância entre os retornos dos ativos 1 e 2
r1,2 : correlação entre os retornos dos ativos 1 e 2
• Fórmula da Covariância:
Teoria de Carteiras
  
1
,
N
i i
i
X Y
x x y y
Cov
N

 


39
Correlação e Fronteira de Investimentos para 2 ativos
Risco
correlação = -1
correlação = +1
R
e
to
rn
o
Teoria de Carteiras
40
• Para N ativos teremos a média ponderada dos retornos dos ativos:
• sendo:
• wi : percentual da carteira investida no ativo i
• Ri : retorno esperado para o ativo i
1 1 2 2 3 3
1
...
N
C i i N N
i
R w R w R w R w R w R

  + + + +
Retorno esperado de uma carteira de investimentos
Para N ativos com risco
Teoria de Carteiras
41
2 2 2
,
1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
1 2 1,2 1 3 1,3
...
 2 2 ... [ até ]
N N N
C i i i j i j
i i j
i j
N N
w ww Cov
w w w
w w Cov w w Cov i j N
 
  
  

 + 
 + + + +
+ + + 
 
Variância da carteira com N ativos com risco
sendo:
wi : percentual da carteira investida no ativo i
i : desvio padrão do ativo i
Covi,j : covariância entre os retornos dos ativos i e j
Teoria de Carteiras
42
Cálculo prático da Variância de uma Carteira com N Ativos
Linha N+wNwNNN….+wNw3N3+wNw2N2+wNw1N1
….….….….….….
….
….
….
Linha 3+w3wN3N+w3w333+w3w232+w3w131
Linha 2+w2wN2N+w2w321+w2w222+w2w121
Linha 1+w1wN1N+w1w313+w1w212w1w111
Col. NCol. 3Col. 2Col. 1
C
2 = soma 
sendo: 
wi : percentual da carteira investida no ativo i
i j : covariância entre o ativo i e o ativo j
Covi,j : covariância entre os retornos dos ativos i e j
ii : variância do ativo i
Teoria de Carteiras
43
Risco
Fronteira Eficiente para N ativos
Sem alavancagem
R
e
to
rn
o
Teoria de Carteiras
44
Risco
Fronteira Eficiente para N ativos com risco
Com alavancagem
R
e
to
rn
o
Teoria de Carteiras
45
Suplemento SOLVER do Excel
Instruções de Uso
Passo 1: Menu Ferramentas, Suplementos, Solver
Passo 2: Menu Ferramentas, Solver
Teoria de Carteiras
46
Resultado da Diversificação
Risco da Carteira vs Número de Ativos com risco na Carteira
Número de Ativos
Risco sistemático
2
Risco diversificável
• Risco diversificável: risco próprio ou risco não-sistemático
• Risco sistemático: risco de mercado ou não diversificável
Variância 
Média
Covariância 
Média
(assíntota)
Supondo:
1) ativos possuem variância 
constante
2) ativos possuem covariância 
constante
3) proporções igualmente 
distribuídas entre ativos
Teoria de Carteiras