Apostila 3 - Probabilidade e Estatística - Estácio de Sá

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ –––– ESTATÍSTICAESTATÍSTICAESTATÍSTICAESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
1111 
III - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
1 - Média 
A média é um valor representativo de um conjunto de dados. 
n
X
X
i∑
= → para dados não tabulados 
n
fX
X
ii∑
= → para dados tabulados ou ponderados 
 
EXEMPLO 
1) Determinar a média para os dados abaixo: 
3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20 
 
2) Determinar a média para as distribuições abaixo: 
Xi fi 
0 1
1 2
2 5
3 3
4 2
5 1
Σ = 14
 
 
fi 
23 |— 38 5
38 |— 53 14
53 |— 68 13
68 |— 83 6
83 |— 98 8
46
Xi 
Σ = 
 
1.1 - Propriedades da Média 
1ª - A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, em relação à média, é zero. 
2ª - Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a nova média 
será a original aumentada ou diminuída do valor dessa constante. 
3ª - Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a nova mé-
dia será a original multiplicada ou dividida do valor dessa constante. 
4ª - A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada. 
5ª - Para um dado conjunto de números, a média é única. 
6ª - A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. 
 
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2222 
2 - Mediana 
A mediana é o valor central de um conjunto de números organizados em ordem de grandeza. 
Sua característica principal é dividir esse conjunto de números em duas partes iguais. 
 
!-------------------!-------------------! 
 Md 
 
2.1 - Determinação da Mediana 
� Dados não tabulados: 
1º - Ordenar os valores; 
2º - Verificar se n é impar ou par: 
 - Se o rol apresenta um número ímpar de elementos, teremos apenas uma posição cen-
tral, Elemento Mediano ⇒ EMd = 2
1+n
 
 - Se o rol apresenta um número par de elementos, teremos duas posições centrais, Ele-
mento Mediano ⇒ EMd = 2
n
 e EMd = 2
2+n
 
3º - Localizar, nos dados ordenados o valor da variável que ocupa a posição determinada 
pelo Elemento Mediano. Para n ímpar, a mediana é o valor do meio; para n par, a mediana 
é a média dos dois valores do meio. 
EXEMPLO 
1) Determinar a mediana para os dados abaixo: 
X = 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12 
Y = 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13 
2) Determinar a mediana para os dados abaixo: 
X = 2, 5, 8, 10, 12, 15, 8, 5, 12 
Y = 3,4; 5,2; 4,7; 6; 8,4; 9,3; 2,1; 4,8 
 
� Dados tabulados não agrupados em classes: 
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 
2º - Verificar se n é impar ou par: 
 - Se o rol apresenta um número ímpar de elementos, teremos apenas uma posição cen-
tral, Elemento Mediano ⇒ EMd = 2
1+n
 
 - Se o rol apresenta um número par de elementos, teremos duas posições centrais, Ele-
mento Mediano ⇒ EMd = 2
n
 e EMd = 2
2+n
 
3º - Localizar o Elemento Mediano através da Fa . A mediana será o valor da variável cor-
respondente ao ponto central. 
 
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3333 
EXEMPLO 
1) Determinar a mediana: 
Xi fi 
2 1 
5 4 
8 10 
10 6 
12 2 
 
2) Determinar a mediana: 
Xi fi 
0 3 
1 5 
2 8 
3 10 
5 6 
 
 
� Dados tabulados agrupados em classes: 
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 
2º - Calcular a posição da mediana por: 
 
2
n
EMd = 
3º - Identificar o intervalo que contém a mediana localizando o Elemento Mediano na Fa ; 
4º - Aplicar a fórmula da interpolação para o cálculo da mediana: 
 h.
f
FE
lMd
MEDIANAi
aaMd
i
−
+= 
Onde: 
li => limite inferior da classe mediana 
EMd => posição da mediana 
Faa => freqüência acumulada anterior à classe mediana 
f iMEDIANA => freqüência simples da classe mediana 
h => intervalo da classe mediana 
 
EXEMPLO 
1) Determinar a mediana: 
 
 
 
 
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4444 
3 - Moda 
A moda é o valor que ocorre com a maior freqüência em um conjunto de números. A moda 
pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. 
 
3.1 - Determinação da Moda 
� Dados não tabulados: 
A determinação é imediata. 
EXEMPLO 
1) Determinar a moda para os dados abaixo: 
X = 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 8 
Y = 2, 2, 5, 6, 6, 6, 9, 10, 10, 10 
W = 2, 2, 2, 2, 5, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 13 
Z = 2, 2, 5, 5, 6, 6, 9, 9, 10, 10 
 
� Dados tabulados não agrupados em classes: 
A determinação é imediata. A moda será o valor de Xi correspondente à maior freqüência. 
EXEMPLO 
1) Determinar a moda: 
Xi fi 
0 2 
2 5 
3 8 
4 3 
5 1 
 
2) Determinar a moda: 
Xi fi 
1 2 
2 5 
3 4 
4 5 
5 1 
 
� Dados tabulados agrupados em classes: 
1º - Identificar a classe modal ( classe correspondente à maior freqüência ); 
2º - Aplicar a fórmula de Kzuber para o cálculo da moda: 
 h.lMo
21
1
i ∆+∆
∆
+= 
Onde: 
li => limite inferior da classe modal 
∆1 => diferença entre a freqüência simples da classe modal e a imediatamente anterior 
∆2 => diferença entre a freqüência simples da classe modal e a imediatamente posterior 
h => intervalo da classe modal 
 
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5555 
EXEMPLO 
1) Determinar a moda: 
 
 
4 - Comparações entre a Média, Mediana e Moda 
A média é influenciada por cada valor do conjunto, inclusive os extremos. Já a mediana é rela-
tivamente insensível aos valores extremos. 
• • • • • • • • • 
 
 Mediana Média 
A ordenação dos dados para a determinação da mediana, por vezes, pode ser difícil. 
A moda, comparada à média e a mediana, é a medida menos útil por não ter nenhum trata-
mento matemático mas, do ponto de vista descritivo, a moda indica o valor "típico" em termos 
de maior ocorrência. 
A utilidade da moda acontece quando um ou um grupo de valores ocorrem com uma freqüên-
cia muito maior que os demais. Quando todos, ou quase, todos os valores ocorrem aproxima-
damente com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos da-
dos. 
A pesar de a média situar-se entre o menor e o maior resultado, ela não tem, necessariamen-
te, existência real. 
A média não pode ser calculada para distribuições com classes ou limites abertos. 
O cálculo da média é simples e como envolve todos os valores observados, quando adequada, 
será preferível. 
A moda, por não depender de todos os valores, não se altera com a modificação de alguns de-
les: 
{ 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 5} Mo = 6 
{ 6, 6, 6, 6, 8, 7, 8, 9, 9, 5} Mo = 6 
A moda tem existência real (exceção para dados agrupados) e pode ser calculada, na maioria 
dos casos, para classes ou limites abertos. 
 
5 - Separatrizes 
A Média, a Moda e a Mediana fazem parte de um grupo de Medidas de Posição chamadas de 
Medidas de Tendência Central.As medidas de posição dividem um conjunto de valores orde-
nados em partes iguais. 
 
 
 
 
 
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6666 
 
 Média 
 Medidas de Tendência Central Moda 
 Mediana 
 
Medidas de Posição 
 
 Mediana 
 Medidas Separatrizes Quartil 
 Decil 
 Percentil 
 
As separatrizes são valores de referência em um conjunto de valores ordenados e, portanto, 
são aplicadas a variáveis quantitativas e qualitativas ordinais. 
Calcula-se qualquer uma das separatrizes de forma idêntica ao cálculo da mediana, substituin-
do-se, na fórmula desta, a posição em que se encontra o elemento desejado. 
 
5.1 - Quartis 
Dividem o conjunto ordenado em 4 partes de igual tamanho. Estes valores são chamados quar-
tis. O primeiro quartil -> Q1, estabelece o limite entre as 25% menores observações e as 75% 
maiores. O segundo quartil -> Q2, é igual a mediana e o terceiro quartil -> Q3, separa as 
75% menores observações das 2 5% maiores. 
 
!---------!---------!---------!---------! 
 Q1 Q2 Q3 
 
Haverá sempre três Quartis em um conjunto 
Q1 = primeiro quartil ⇒ Q2 = segundo quartil ⇒ Q3 = terceiro quartil 
• Q1 � deixa 25% dos elementos abaixo dele; 
• Q2 � deixa 50% dos elementos abaixo dele e coincide com a mediana; 
• Q3 � deixa 75% dos elementos abaixo dele. 
 
Cálculo da posição do elemento quartil: 
� Dados não tabulados ou tabulados não agrupados: 
( )
4
i.1nEQi
+
= onde, i = 1, 2, 3 
Se o resultado do EQi for decimal, o quartil será: 
� selecionar o valor da variável correspondente a posição da parte inteira do elemento e a ime-
diatamente posterior a ela; 
� diferença entre os dois valores selecionados; 
� menor valor somado ao produto da parte decimal pela diferença encontrada. 
 
EXEMPLO 
{ }
( )
12)0.25,0(12Q
01212
12posição3
12posição2
25,2
4
118E8n
:1quartil
28,25,23,20,16,12,12,10X)1
1
.a
.a
1Q
=+=
=−




=
=
=
+
==
⇒
=
 
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7777 
( )
5,24)2.75,0(23Q
22325
25posição7
23posição6
75,6
4
318E8n
:3quartil
3
.a
.a
1Q
=+=
=−




=
=
=
+
==
⇒
 
 
2) Determinar a faixa salarial entre 25% e 75% dos salários de 6 funcionários de certa Empre-
sa, que ocupam o mesmo cargo. Salários em R$: 5.500,00; 5.780,00; 6.120,00; 6.150,00; 
6.620,00; 7.120,00. 
( )
00,710.5)280.75,0(500.5Q
28055005780
00,780.5posição2
00,500.5posição1
75,1
4
116E6n
:1quartil%25
1
.a
.a
1Q
=+=
=−




=
=
=
+
==
=⇒
 
( )
00,745.6)500.25,0(620.6Q
50066207120
120.7posição6
00,620.6posição5
25,5
4
316E6n
:3quartil%75
3
.a
.a
3Q
=+=
=−




=
=
=
+
==
=⇒
 
 
A faixa salarial entre 25% e 75% dos salários dos 6 funcionários é de R$ 5.710,00 à R$ 
6.745,00 
 
 
� Dados tabulados agrupados em classes: 
4
i.n
EQi = onde, i = 1, 2, 3 
 
h.
f
FE
lQ
Quartil
i
i
aaQ
ii
−
+= 
 
5.2 - Decis 
Dividem o conjunto em 10 partes iguais. 
 
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
Haverá, em um conjunto, nove Decis. 
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8888 
10
i.n
EDi = onde, i = 1, 2, ..., 9 
 
h.
f
FE
lD
Decil
i
i
aaD
ii
−
+= 
 
5.3 - Percentis ou Centis 
Dividem o conjunto em 100 partes iguais. 
!-!------!---!---!---!---!---!---!---!---!------!-! 
 P1 ... P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 ... P99 
 
Haverá, em um conjunto, noventa e nove Centis. 
100
i.n
EPi = onde, i = 1, 2, ..., 99 
h.
f
FE
lP
Percentil
i
i
aaP
ii
−
+= 
 
A relação que há entre as quatro Medidas Separatrizes é: 
 
!-------------------------!------------------------! 
 Md 
!------------!------------!------------!-----------! 
 Q1 Q2 Q3 
!----!----!-----!----!----!----!----!-----!----!---! 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
!----!----!--!--!----!----!----!----!--!--!----!---! 
 P10 P20 P25 P30 P40 P50 P60 P70 P75 P80 P90 
 
EXERCÍCIOS 
1) Em um rio foram encontrados mortos 150 peixes vítimas de contaminação e seus com-
primentos foram medidos em milímetros. As medidas observadas foram agrupadas em 
classes e as freqüências de cada classe aparecem na tabela 1.3. Determine a média, a 
mediana, a moda, 1º. Quartil, 9º. Decil e 5º. Percentil. 
Xi fi 
100 |— 110 7 
110 |— 120 16 
120 |— 130 19 
130 |— 140 31 
140 |— 150 41 
150 |— 160 23 
160 |— 170 10 
170 |— 180 3 
 
2) Sete homens foram pesados, e os resultados em kg foram: 57,0; 62,9; 63,5; 64,1; 
66,1; 67,1; 73,6. Calcule a média e a mediana. 
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9999 
3) Foram inspecionados 30 aparelhos fabricados por uma indústria e obteve-se a distribui-
ção de freqüências do número de defeitos por aparelho dada na tabela abaixo. Calcule a mé-
dia. 
No. De Defeitos fi 
0 12
1 8
2 7
3 1
4 2 
 
4) A tabela abaixo mostra a remuneração dos altos executivos CEOS – Chief Executive 
Officer, a classificação por setor, as vendas anuais e os dados de avaliação da remuneração 
dos CEOS versus o retorno dos acionistas para 10 empresas. Uma avaliação 1 da remuneração 
dos CEOS versus o retorno dos acionistas indica que a empresa está no grupo de empresas que 
tem a melhor relação. Uma avaliação 2 indica que a empresa é similar às empresas que tem 
uma relação muito boa, mas não a melhor. Empresas com a pior relação tem uma avaliação 5. 
REMUNERAÇÃO DOS EXECUTIVOS PARA UMA AMOSTRA DE 10 EMPRESAS 
EMPRESA REMUNERAÇÃO 
(US$ 1000s) 
SETOR VENDAS 
(US$ mi-
lhões) 
REMUNERAÇÃO DOS 
ALTOS EXECUTIVOS 
vs. RETORNO DOS A-
CIONISTAS 
Bankers Trust 8.925 Bancário 9.565 3 
Coca Cola 2.437 De Bebidas 18.546 5 
General Mills 1.410 De Alimentação 5.567 1 
LSI Logic 696 Eletrônico 1.239 2 
Motorola 1.847 Eletrônico 27.973 4 
Readers Digest 1.490 Gráfico 2.968 3 
Sears 3.414 Varejo 38.236 4 
Sprint 3.344 Telecomunicações 14.045 4 
Walgreen 1.490 Varejo 12.140 2 
Wells Fargo 2.861 Bancário 8.723 3 
Fonte: Business Week, 21 de abril de 1997. 
a) Quantas variáveis existem nesse conjunto de dados? 
b) Quais variáveis são qualitativas e quais são quantitativas? 
c) Calcule a remuneração média para os altos executivos da empresa. 
d) Qual a porcentagem das empresas que pertencem ao setor bancário? 
e) Que porcentagem das empresas recebeu um valor 3 na avaliação da remuneração dos CEOS 
versus o retorno dos acionistas 
 
5) A revista Fortune fornece dados sobre a classificação das 500 maiores corporações in-
dustriais dos Estados Unidos em termos de vendas e de lucros. Os dados para uma amostra de 
empresas da Fortune 500 estão na tabela abaixo. 
a) Qual éa população? 
b) Calcule a média de vendas para a amostra. 
c) Quantas variáveis existem no conjunto de dados? 
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10101010 
d) Quais variáveis são qualitativas e quais são quantitativas? 
e) Calcule o lucro médio para a empresa. 
f) Que porcentagem de empresas teve um lucro acima de US$ 100 milhões? 
g) Que porcentagem de empresas tem código de setor 8? 
UMA AMOSTRA DE 10 EMPRESAS DA FORTUNE 500 
EMPRESA VENDAS (US$ mi-
lhões) 
LUCROS (US$ mi-
lhões) 
CÓDIGO DO SETOR 
Banc One 10.272 1.427,0 8 
CPC Intl. 9.844 580,0 19 
Tyson Foods 6.454 87,0 19 
Hewlett-Packard 38.420 2.586,0 12 
Intel 20.847 5.157,0 15 
Northrup 8.071 234,0 2 
Seagate Tech. 8.588 213,3 11 
Unisys 6.371 49,7 10 
Westvaco 3.075 212,2 22 
Woolworth 8.092 168,7 48 
Fonte: Fortune, 28 de abril de 1997. 
 
6) Considere os seguintes dados: 
12 14 15 16 16 16 16 16 16 17 
18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 
20 21 21 21 22 22 22 22 23 23 
23 24 24 24 24 24 25 25 25 26 
a) Desenvolva uma distribuição de freqüência. 
b) Desenvolva uma distribuição de freqüência relativa. 
c) Determine a média, a mediana e a moda. 
d) Calcule: quartil 3, decil 7, percentil 45. 
 
7) Considere uma amostra com valores de dados. Calcule a média e a mediana. 
a) 10, 20, 12, 17 e 16; 
b) 10, 20, 21, 17, 16 e 12. 
 
8) Com os dados abaixo, determinar: 
a) A distribuição de freqüências; 
b) As freqüências relativas; 
c) A média; 
d) A moda; 
e) A mediana; 
I) Um teste de raciocínio abstrato foi aplicado em alunos dos primeiros anos de uma escola do 
1º grau. 
5 5 5 5 5 8 8 8 8 12 
13 15 15 16 16 18 18 18 18 20 
20 20 20 24 24 24 24 24 25 25 
25 25 26 26 26 26 28 28 30 30 
32 32 34 34 35 35 35 35 36 45 
45 45 46 46 49 55 55 55 55 55 
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11111111 
II) Os resultados abaixo correspondem à avaliação de uma classe de alunos mediante a aplica-
ção de um teste β. 
8 8 8 10 11 11 13 14 16 16 
17 17 17 18 18 18 19 20 20 20 
20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 
24 25 25 25 25 25 26 26 26 26 
26 27 27 28 28 28 28 28 28 29 
29 30 30 31 31 31 31 31 32 32 
32 32 33 33 33 33 33 33 34 34 
35 35 35 36 36 36 37 37 37 38 
38 38 42 42 42 43 45 48 
 
III) Os valores abaixo representam os pesos, em kg, de 150 alunos dos primeiros anos de uma faculdade. 
46,0 46,4 46,5 46,8 47,0 47,0 47,0 47,2 47,3 47,9 
47,9 48,0 48,0 48,1 48,5 48,5 48,7 48,8 49,1 49,6 
50,0 50,0 50,0 50,0 50,0 50,3 51,0 51,0 51,2 51,2 
51,2 51,3 51,4 51,5 51,9 52,0 52,0 52,0 52,0 52,0 
52,1 52,4 53,0 53,0 53,0 53,3 53,3 53,3 53,6 53,9 
53,9 54,0 54,0 54,0 54,0 54,2 54,2 54,5 54,5 54,8 
55,0 55,0 55,1 55,1 55,1 55,4 55,7 55,8 56,0 56,2 
56,3 56,3 56,4 56,4 56,5 56,6 56,7 57,0 57,0 57,0 
57,4 57,8 57,8 57,8 57,9 57,9 58,0 58,0 58,0 58,1 
58,1 58,3 58,5 58,6 58,9 59,0 59,0 59,1 59,3 59,3 
59,4 59,4 59,8 60,0 60,0 60,0 60,0 60,3 61,0 61,2 
61,2 61,5 62,0 62,0 62,3 62,3 62,3 62,3 62,3 62,5 
63,0 63,3 63,3 63,3 64,0 64,0 64,0 64,4 64,6 64,8 
64,9 65,0 65,0 66,0 66,5 67,0 67,0 67,3 68,0 68,0 
69,0 69,2 69,8 71,2 72,3 72,3 74,9 77,4 77,9 78,4 
 
IV) Os dados abaixo representam as medidas das alturas de 100 indivíduos ( em cm): 
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190 
 
9) Considere uma amostra com valores de dados. Calcule a média, mediana e a moda. 
a) 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28 e 25; 
b) 53, 55, 70, 58, 64, 57, 53, 69, 57, 68 e 53. 
 
10) O salário médio inicial de 1996-97 para os novos graduados em contabilidade foi R$ 
3.039,30. Uma amostra dos salários iniciais é apresentada a seguir. Os dados estão em R$ 
1.00,00. 
2,88 2,89 2,91 2,93 2,97 
2,99 3,00 3,01 3,02 3,03 
3,03 3,03 3,03 3,04 3,05 
3,06 3,06 3,07 3,07 3,09 
3,11 3,12 3,18 3,21 3,22 
3,22 3,23 3,27 3,29 3,33 
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12121212 
a) Qual o salário médio inicial? 
b) Qual a mediana do salário inicial? 
c) Qual é a moda? 
d) Esses dados são consistentes com o salário médio anunciado de R$ 3.039,30? 
 
11) Uma pessoa gasta em média 45 min por dia ouvindo música. Os seguintes dados foram 
obtidos para o número de minutos gastos ouvindo música em uma amostra de 30 indivíduos. 
a) Calcule a média. 
b) Os dados são coerentes com a média anunciada pelo jornal? 
c) Calcule a mediana. 
0,0 0,0 0,0 0,0 4,3 
4,4 4,6 7,0 7,6 9,2 
17,5 28,8 29,1 34,9 45,0 
52,9 53,3 56,6 63,6 64,5 
65,1 67,9 70,4 81,7 85,4 
88,3 94,2 98,9 99,2 145,6 
 
12) Milhões de americanos se levantam todas as manhãs e vão para o escritório, em sua 
própria casa. Sugere-se que o uso crescente de computadores pessoais seja uma das razões 
para que mais pessoas possam trabalhar em casa. A seguir está uma amostra de dados, por 
idade, de indivíduos que trabalham em casa: 
 
22 24 29 29 
29 30 31 31 
32 37 40 41 
44 44 46 49 
50 52 57 58 
 
a) Calcule a média e a moda. 
b) A mediana da idade da população de todos os adultos é 35,1 anos. Use a mediana dos da-
dos precedentes para comentar se aqueles que trabalham em casa tendem a ser mais jovens 
ou mais velhos do que a população de adultos. 
 
13) Considere a seguinte distribuição de freqüência: 
Classe Fi 
10 |— 20 10 
20 |— 30 14 
30 |— 40 17 
40 |— 50 7 
50 |— 60 2 
a) Desenvolva uma distribuição de freqüência relativa. 
b) Determine a média, a mediana e a moda. 
c) Calcule: quartil 1, decil 8, percentil 67. 
 
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13131313 
14) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade, 
revelou os seguintes valores: 
17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 
18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 
18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 
19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 
20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 
a) Desenvolva uma distribuição de freqüência. 
b) Desenvolva uma distribuição de freqüência relativa. 
c) Determine a média, a mediana e a moda. 
 
15) Uma empresa estabelece o salário de seus vendedores com base na produtividade. 
Desta forma, 10% - fixos e 90% - comissões sobre venda. Uma amostra de salários mensais 
nesta empresa revelou o quadro abaixo. Se a empresa decidir, como incentivo, fornecer uma 
cesta básica para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram durante o próximo mês 
com base nesta amostra, qual será o maior salário que receberá esta cesta básica? 
Salários - R$ No. de Vendedores 
700 |— 1200 8 
1200 |— 1700 28 
1700 |— 2200 54 
2200 |— 2700 32 
2700 |— 3200 12 
3200 |— 3700 6 
 
16) A distribuição de freqüências abaixo representa o consumo por notas fiscais emitidas 
durante um dia em uma loja de departamentos. 
Consumo por Nota (R$) No. de Notas 
0 |— 50 10 
50 |— 100 28 
100 |— 150 12 
150 |— 200 2200 |— 250 1 
250 |— 300 1 
Σ = 54 
Calcule: 
a) Q1 b) D3 c) Q3 d) D7 e) P98 
f) Interprete os valores obtidos nos itens anteriores. 
g) O gerente desta loja de departamentos decidiu premiar com um brinde, 10% dos fregueses 
que mais consumirem, nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumo da nota fiscal 
os clientes seriam premiados? 
 
17) A distribuição de freqüências abaixo representa a idade de 50 alunos de uma classe de 
primeiro ano de uma Faculdade. 
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14141414 
Idade (anos) 17 18 19 20 21 
No. de Alunos 3 18 17 8 4 
Calcule: 
a) Q1 b) D1 c) Q3 d) P95 
 
18) Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à esquerda de ca-
da uma das medidas separatrizes 
a) D1 b) Q1 c) D2 d) Q3 e) Q2 f) D8 g) P70 
 
19) Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscais emitidas 
durante um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valores: 
R$ 6.551,00 R$ 18.620,00 R$ 22.010,00 R$ 27.312,00 R$ 34.782,00 
R$ 8.598,00 R$ 18.700,00 R$ 22.300,00 R$ 27.435,00 R$ 35.318,00 
R$ 12.319,00 R$ 19.302,00 R$ 22.540,00 R$ 27.610,00 R$ 35.780,00 
R$ 12.417,00 R$ 19.600,00 R$ 23.300,00 R$ 28.412,00 R$ 36.483,00 
R$ 13.253,00 R$ 20.414,00 R$ 23.313,00 R$ 29.000,00 R$ 36.728,00 
R$ 15.315,00 R$ 21.200,00 R$ 23.440,00 R$ 30.000,00 R$ 38.000,00 
R$ 15.800,00 R$ 21.313,00 R$ 24.780,00 R$ 30.400,00 R$ 38.661,00 
R$ 16.820,00 R$ 21.350,00 R$ 25.312,00 R$ 30.515,00 R$ 40.300,00 
R$ 17.661,00 R$ 21.380,00 R$ 25.400,00 R$ 32.000,00 R$ 40.681,00 
R$ 18.300,00 R$ 21.780,00 R$ 26.432,00 R$ 32.414,00 R$ 42.320,00 
a) Desenvolva uma distribuição de freqüência. 
b) Desenvolva uma distribuição de freqüência relativa. 
c) Determine a média, a mediana e a moda. 
d) Calcule: quartil 1, decil 9, percentil 55. 
 
20) Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à direita de cada 
uma das medidas separatrizes: 
a) D4 b) P80 c) Q3 d) P20 e) D5 f) Q1 g) P2 
 
21) Qual é o percentual de elementos de uma série ordenada que se situam entre: 
a) Q1 e Q3 b) P10 e P90 c) D2 e D6 
 
22) Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos 
que se situam: 
a) acima do P20 b) acima do Q3 c) abaixo do P90 d) entre P10 e o P80 
e) entre o Q1 e Q3 f) entre o P90 e P92 
 
23) Dada a série X={3, 15, 6, 9, 10, 4, 12, 15, 17, 20, 29}, calcule: 
a) Q1 b) D4 c) Q3 d) P90 
 
 
 
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15151515 
GABARITO 
1) fi Pm Xifi Fa 
100 |— 110 7 105 735 7
110 |— 120 16 115 1840 23
120 |— 130 19 125 2375 42
130 |— 140 31 135 4185 73
140 |— 150 41 145 5945 114
150 |— 160 23 155 3565 137
160 |— 170 10 165 1650 147
170 |— 180 3 175 525 150
150 20820
Média = 138,8
EMd = 75 Md= 140,5
∆1 = 10
∆2 = 18
EQ1 = 37,5 Q1= 127,6
ED9 = 135 D9= 159,1
EP5= 7,5 P5= 110,3
Xi 
Σ =
Mo = 143,571
 
 
2) 57 62,9 63,5 64,1 66,1 67,1 73,6
Média = 64,9
EMd = 4 Md= 64,1 
 
3) No. De Defeitos fi Xifi 
0 12 0
1 8 8
2 7 14
3 1 3
4 2 8
Σ = 30 33
Média = 1,1 
 
4) 
a) 4 variáveis 
b) Qualitativas: 
 -> Setor - Remuneração vs Retorno 
 Quantitativas: 
 -> Remuneração - Vendas 
c) Média: R$ 2.791,40 
d) 20% das empresas pertencem ao setor bancário. 
e) 30% das empresas receberam avaliação 3. 
 
5) 
a) 
A população são as 500 maiores corporações industriais dos Estados Unidos classificadas pela Fortu-
ne 500 em 28/04/1997. 
b) Média: $12.003,40 
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16161616 
c) 3 variáveis 
d) Qualitativas: 
 -> Código do Setor 
 Quantitativas: 
 -> Vendas - Lucros 
e) Média: $1.071,49 
f) 80% das empresas tiveram um lucro acima de US$ 100 milhões. 
g) 10% das empresas tem código de setor 8. 
 
6) 
 
 
7) 
 a) 10 20 12 17 16 
 15====X 
 Ordenação 
 10 12 16 17 20 
 n = 5 ímpar 
 Emd = 3 
 Md =16 
b) 10 20 21 17 16 12 
 16====X 
 Ordenação 
 10 12 16 17 20 21 
 n = 6 par 
 Emd1 = 3 
 Emd2 = 4 
 Md = 16,5 
 
 
 
 
 
 
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17171717 
 
8) 
I) 
Xi máx = 55 A T = 50 
Xi min = 5 k = 5 
n = 60 h = 10 
 Teste= 50 
 b) 
Xi fi fri Pm Xifi Fa 
5 |— 15 11 0,18 10 110 11 
15 |— 25 17 0,29 20 340 28 
25 |— 35 16 0,27 30 480 44 
35 |— 45 5 0,08 40 200 49 
45 |— 55 11 0,18 50 550 60 
Σ = 60 1,00 1680 
 
c) =X 28 
d) 
∆1 = 6 Mo = 23,57 
 
∆2 = 1 
 
e) 
Emd = 30 Md = 26,25 
 
II) 
Xi máx = 48 A T = 40 
Xi min = 8 k = 7 
n = 88 h = 6 
 teste= 42 
 
Xi fi fri Pm Xifi Fa 
8 |— 14 7 0,08 11 77 7 
14 |— 20 10 0,11 17 170 17 
20 |— 26 19 0,22 23 437 36 
26 |— 32 22 0,25 29 638 58 
32 |— 38 21 0,24 35 735 79 
38 |— 44 7 0,08 41 287 86 
44 |— 50 2 0,02 47 94 88 
Σ = 88 1,00 2438 
 
c) =X 27,7 
d) 
∆1 = 3 Mo = 30,5 
 
∆2 = 1 
 
e) 
Emd = 44 Md = 28,18 
 
 
 
 
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18181818 
III) 
Xi máx = 78,4 A T = 32,4 
Xi min = 46 k = 8 
n = 150 h = 4,1 
 teste= 32,8 
 b) 
Xi fi fri Pm Xifi Fa 
46,0 |— 50,1 25 0,17 48,05 1201,25 25 
50,1 |— 54,2 30 0,20 52,15 1564,50 55 
54,2 |— 58,3 36 0,23 56,25 2025,00 91 
58,3 |— 62,4 28 0,19 60,35 1689,80 119 
62,4 |— 66,5 15 0,10 64,45 966,75 134 
66,5 |— 70,6 9 0,06 68,55 616,95 143 
70,6 |— 74,7 3 0,02 72,65 217,95 146 
74,7 |— 78,8 4 0,03 76,75 307,00 150 
Σ = 150 1,00 8589 
 
c) =X 57,3 
d) 
∆1 = 6 Mo = 55,96 
 
∆2 = 8 
 
e) 
Emd = 75 Md = 56,48 
 
IV) 
Xi máx = 190 A T = 39 
Xi min = 151 k = 8 
n = 100 h = 5 
 teste= 40,0 
 b) 
Xi fi fri Pm Xifi Fa 
151 |— 156 4 0,04 153,5 614,0 4 
156 |— 161 4 0,04 158,5 634,0 8 
161 |— 166 11 0,11 163,5 1798,5 19 
166 |— 171 33 0,33 168,5 5560,5 52 
171 |— 176 17 0,17 173,5 2949,5 69 
176 |— 181 17 0,17 178,5 3034,5 86 
181 |— 186 9 0,09 183,5 1651,5 95 
186 |— 191 5 0,05 188,5 942,5 100 
Σ = 100 1,00 17185 
 
c) =X 171,9 
d) 
∆1 = 22 Mo = 168,89 
 
∆2 = 16 
 
e) 
Emd = 50 Md = 170,7 
 
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19191919 
9) 
a) 27 25 20 15 30 34 28 25 
 Média = 25,5 
 Ordenação 
 15 20 25 25 27 28 30 34 
 n = 8 par 
 Emd1 = 4 
 Emd2 = 5Mediana = 26 
 Moda = 25 
 
b) 53 55 70 58 64 57 53 69 57 68 53 
 Média = 59,73 
 Ordenação 
 53 53 53 55 57 57 58 64 68 69 70 
 n = 11 ímpar 
 Emd = 6 
 Mediana = 57 
 Moda = 53 
 
10) 
Xi máx = 3,33 Xi min = 2,88 A T = 0,45 
 
n = 30 k = 6 h = 0,08 
 Teste= 0,48 
 
Xi fi Pm Xi fi Fa 
2,88 |— 2,96 4 2,92 11,68 4 
2,96 |— 3,04 9 3,00 27,00 13 
3,04 |— 3,12 8 3,08 24,64 21 
3,12 |— 3,20 2 3,16 6,32 23 
3,20 |— 3,28 5 3,24 16,20 28 
3,28 |— 3,36 2 3,32 6,64 30 
Σ = 30 92,48 
 
a) =X 3,08 -> O salário médio inicial é R$ 3.080,00 
b) EMd = 15 Md = 3,06 O salário mediano inicial é R$ 3.060,00 
c) ∆1 = 5 Mo = 3,0267 
 ∆2 = 1 
d) Sim, os dados são consistentes com a média salarial anunciada. 
 
11) 
Xi máx = 145,6 Xi min = 0,0 A T = 145,6 
 
n = 30 k = 6 h = 24,3 
 Teste= 145,8 
 
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20202020 
Xi fi Pm Xi fi Fa 
0,0 |— 24,3 11 12,15 133,65 11 
24,3 |— 48,6 4 36,45 145,80 15 
48,6 |— 72,9 8 60,75 486,00 23 
72,9 |— 97,2 4 85,05 340,20 27 
97,2 |— 121,5 2 109,35 218,70 29 
121,5 |— 145,8 1 133,65 133,65 30 
Σ = 30 1458,00 
 
a) =X 48,60 
b) Sim, a média é coerente com a anunciada. 
c) EMd = 15 Md = 48,60 
 
12) 
Xi máx = 58 Xi min = 22 A T = 36 
 
n = 20 k = 4 h = 9 
 Teste= 36 
 
Xi fi Pm Xi fi Fa 
22 |— 31 6 26,5 159,0 6 
31 |— 40 4 35,5 142,0 10 
40 |— 49 5 44,5 222,5 15 
49 |— 58 5 53,5 267,5 20 
Σ = 20 791,0 
a) Média = 39,55 
 ∆1 = 6 Mo = 28,75 
 ∆2 = 2 
b) EMd = 10 Md = 40,00 
Aqueles que trabalham em casa tendem a ser mais velhos do que a população de adultos. 
 
13) 
a)
X i fi fri Pm X ifi Fa
10 |— 20 10 0,20 15 150,0 10
20 |— 30 14 0,28 25 350,0 24
30 |— 40 17 0,34 35 595 41
40 |— 50 7 0,14 45 315,0 48
50 |— 60 2 0,04 55 110 50
Σ = 50 1,00 1520,0
b) Média 30,4
Emd = 25
Mediana = 30,59
Moda = 32,31
∆1 = 3
∆2 = 10
d) Eq1= 12,5 Q 1 = 21,79
Ed8= 40 D 8 = 39,41
Ep67= 33,5 P67 = 35,59 
14) 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ –––– ESTATÍSTICAESTATÍSTICAESTATÍSTICAESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
21212121 
a) b)
Xi fi fri Xifi Fa
17 3 0,06 51 3
18 18 0,36 324 21
19 17 0,34 323 38
20 8 0,16 160 46
21 4 0,08 84 50
Σ = 50 1,00 942
b) freqüência relativa fri 
c) Média 18,84
Emd1 = 25 Emd2 = 26
Mediana = 19
Moda = 18 
 
15) 
 
Salários - R$ No. de Vendedores Fa 
700 |— 1200 8 8 EP5 
1200 |— 1700 28 36 
1700 |— 2200 54 90 
2200 |— 2700 32 122 
2700 |— 3200 12 134 
3200 |— 3700 6 140 
Σ = 140 
 
EP5 = 7 P5= 1137,50 
O maior salário que receberá esta cesta básica será no valor de R$ 1.137,50 
 
16) 
Consumo por Nota (R$) No. de Notas Fa 
0 |— 50 10 10 
50 |— 100 28 38 EQ1 ED3 ED7 
100 |— 150 12 50 EQ3 EP90 
150 |— 200 2 52 
200 |— 250 1 53 EP98 
250 |— 300 1 54 
Σ = 54 
 
a) EQ1 = 13,5 Q1= 56,25 
b) ED3 = 16,2 D3= 61,07 
 
c) EQ3 = 40,5 Q3= 110,42 
 
d) D7 = 37,8 D7= 99,64 
 
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PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
22222222 
e) EP98 = 52,92 P98= 246 
 
g) EP90 = 48,6 P90= 144,17 
 
f) 
a) 25% das notas indicam consumo menor ou igual a R$ 56,25 e 75% indicam consumo maior ou igual a 
R$ 56,25. 
b) 30% das notas indicam consumo menor ou igual a R$ 61,07 e 70% indicam consumo maior ou igual a 
R$ 61,07. 
c) 75% das notas indicam consumo menor ou igual a R$ 110,42 e 25% indicam consumo maior ou igual a 
R$ 110,42. 
d) 70% das notas indicam consumo menor ou igual a R$ 99,64 e 30% indicam consumo maior ou igual a 
R$ 99,64. 
e) 98% das notas indicam consumo menor ou igual a R$ 246,00 e 2% indicam consumo maior ou igual a 
R$ 246,00. 
 
g) O prêmio seria a partir da nota fiscal de valor R$ 144,17. 
 
17) 
17) Idade (anos) N
o. de Alunos Fa 
 
17 3 3 
 
18 18 21 EQ1 ED1 
 
19 17 38 
 
20 8 46 
EQ3 
 
 
21 4 50 EP95 
 Σ = 50 
 
 a) EQ1 = 12,75 Q1= 18 
 
 b) ED1 = 5,1 D1= 18 
 
 c) EQ3 = 38,25 Q3= 19,25 
 
 d) EP95 = 48,45 P95= 21 
 
18) a) 10% b) 25% c) 20% d) 75% e) 50% f) 80% g) 70% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) 
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PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
23232323 
a) Ximáx = R$ 42.320,00
Ximin = R$ 6.551,00
At = 35.769,00R$ 
n = 50
k = 7
h = 5110
teste = ok
Xi fi fri Pm Xifi Fa
6.551,00 |— 11.661,00 2 0,04 9106,00 18212,00 2
11.661,00 |— 16.771,00 5 0,10 14216,00 71080,00 7
16.771,00 |— 21.881,00 13 0,26 19326,00 251238,00 20
21.881,00 |— 26.991,00 10 0,20 24436,00 244360,00 30
26.991,00 |— 32.101,00 9 0,18 29546,00 265914,00 39
32.101,00 |— 37.211,00 6 0,12 34656,00 207936,00 45
37.211,00 |— 42.321,00 5 0,10 39766,00 198830,00 50
Σ = 50 1,00 1257570,0
b) freqüência relativa fri 
c) Média 25.151,40R$ 
Emd = 25
Mediana = 24.436,00R$ 
∆1 = 8
∆2 = 3
Moda = 20.487,36R$ 
d) Eq1= 12,5 Q1 = 18.932,92R$ 
Ed9= 45 D9 = 37.211,00R$ 
Ep55= 27,5 P55 = 25.713,50R$ 
 
20) a) 60% b) 20% c) 25% d) 80% e) 50% f) 75% g) 98% 
 
21) a) 50% b) 80% c) 40% 
 
22) a) 144 b) 45 c) 162 d) 126 e) 90 f) 4 
 
23) 
1o. 2o. 3o. 4o. 5o. 6o. 7o. 8o. 9o. 10o. 11o. 
3 4 6 9 10 12 15 15 17 20 29 
N= 11 
 
a) EQ1 = 2,75 Q1= 5,0 
 
b) ED4 = 4,4 D4= 9,5 
 
c) EQ3 = 8,25 Q3= 16,0 
 
d) EP90 = 9,9 P90= 18,5