Apostila 4 - Probabilidade e Estatística - Estácio de Sá

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
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IV - MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 
 
Muitas vezes o cálculo da média para um conjunto de valores não é suficiente para caracterizar 
uma distribuição ou conjunto de valores. 
Ex.: Uma empresa opera em três turnos e no final de cada semana, a produção apresentada foi a 
seguinte: 
Dias 
Turnos 
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 
I 150 150 150 150 150 
II 70 130 150 180 220 
III 15 67 117 251 300 
 
Ex.: Suponha que se deseja comparar a performance de dois empregados com base na produção 
diária de uma peça: 
 A = 70, 71, 69, 70, 70 
 B = 60, 80, 70, 62, 83 
 
As medidas de dispersão proporcionam um conhecimento mais completo do fenômeno a ser ana-
lisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza e mostrando 
até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central. 
 
1 - Variância 
É a média dos quadrados dos desvios. 
 Dados não tabulados: 
n
XX i 
2
2 )(  para dados populacionais 
1
)(
2
2


 
n
XX
S i  para dados amostrais 
 Dados tabulados: 
n
fiXX i 
2
2 )(  para dados populacionais 
1
)(
2
2


 
n
fiXX
S i  para dados amostrais 
 
 
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1.1 - Propriedades da Variância 
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de 
números, a variância não se altera. 
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun-
to de números, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante. 
 
2 - Desvio Padrão 
É a raiz quadrada da variância. 
2   para dados populacionais 
 
2SS   para dados amostrais 
 
2.1 - Propriedades do Desvio Padrão 
1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de 
números, o desvio padrão não se altera. 
 
2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun-
to de números, o desvio padrão fica multiplicada ou dividida pela constante. 
 
3 - Coeficiente de Variação 
É a comparação, em percentual, entre o desvio padrão e a média. 
100.
X
CV   para dados populacionais 
 
100.
X
SCV   para dados amostrais 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Dois estudantes obtiveram os seguintes resultados em 5 provas, realizadas ao longo do ano 
letivo: 
A = 40 - 50 - 60 -70 - 80 
B = 20 - 40 - 60 - 80 - 100 
Analisar a performance dos 2 alunos. 
 
2) Um teste foi aplicado a dois grupos de 50 alunos e apresentou os seguintes resultados: 
Grupo Média das Notas Desvio Padrão das Notas 
A 6 2 
B 6,2 1,5 
Baseado no coeficiente de variação analise os resultados. 
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3) Uma empresa fabricante de pneumáticos desenvolveu um novo produto com um cordel que 
proporciona maior resistência às flexões repetidas e maior resistência à tração do que o ori-
ginal. Tendo submetido esse componente à prova, chegou-se à conclusão de que a resis-
tência às flexões repetidas, testada em um aparelho de dobrar cordéis, foi em média de 
139 minutos com desvio padrão de 15 minutos contra a média de 88 minutos e desvio pa-
drão de 14 minutos do cordel comum. Analise esses resultados. 
 
4) Considere a amostra de valores abaixo e calcule a variância e o desvio padrão. 
a) 10, 20, 12, 17, 16 
b) 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28, 25 
 
5) Realizou-se uma prova para duas turmas, cujos resultados foram os seguintes: 
Turma A: AX = 5 e SA = 2,5 
Turma B: BX = 4 e SB = 2 
Esses resultados permitem afirmar que: 
a) a turma B apresenta maior dispersão absoluta; 
b) a dispersão absoluta é igual para ambas as turmas; 
c) a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta; 
d) a dispersão relativa e a absoluta para a turma B são iguais; 
e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B. 
 
6) A tabela abaixo representa a vida útil de postes telefônicos de madeira: 
ANOS No. DE POSTES SUBSTITUÍDOS 
 0,5 |— 2,5 11 
 2,5 |— 4,5 47 
 4,5 |— 6,5 87 
 6,5 |— 8,5 134 
 8,5 |— 10,5 200 
10,5 |— 12,5 198 
12,5 |— 14,5 164 
14,5 |— 16,5 102 
16,5 |— 18,5 48 
18,5 |— 20,5 6 
20,5 |— 22,5 3 
Calcular: 
a) O desvio padrão. 
b) O coeficiente de variação. 
 
7) O Los Angeles Times regularmente publica o índice da qualidade do ar para várias áreas da 
Califórnia do Sul. Uma amostra de valores do índice da qualidade do ar para Pomona forne-
ceu os seguintes dados: 28, 42, 58, 48, 45, 55, 60, 49 e 50. 
a) Calcule a variância e o desvio padrão; 
b) Uma amostra de leituras do índice da qualidade do ar para Anaheim forneceu uma média 
de amostra de 48,5 , uma variância de 136 e um desvio padrão de 11,66. Que compara-
ções você pode fazer entre a qualidade do ar em Pomona e em Anaheim com base nessas 
estatísticas? 
 
8) Dada a distribuição de salários, determinar: 
a) A variância; b) O desvio padrão; c) O coeficiente de variação. 
SALÁRIOS fi 
 20 |— 25 10 
 25 |— 30 15 
 30 |— 35 20 
 35 |— 40 18 
 40 |— 45 5 
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9) A Davis Manufacturing Company acabou de completar cinco semanas de trabalho usando 
um novo processo que se supõe aumenta a produtividade. O número de peças produzidas 
em cada semana foram 410, 420, 390, 400 e 380. Calcule a variância e o desvio padrão da 
amostra. 
 
10) A tabela abaixo representa a porcentagem de bactérias encontradas por cm em 100 amos-
tras de determinado produto. Calcular: 
a) A variância; 
b) O desvio padrão; 
c) O coeficiente de variação. 
% fi 
 0 |— 0,1 2 
 0,1 |— 0,2 5 
 0,2 |— 0,3 10 
 0,3 |— 0,4 15 
 0,4 |— 0,5 18 
 0,5 |— 0,6 18 
 0,6 |— 0,7 15 
 0,7 |— 0,8 10 
 0,8 |— 0,9 5 
 0,9 |— 1,0 2 
 
11) As contagens de ponto de um jogador de boliche em seis jogos foram 182, 168, 184, 190, 
170 e 174. Usando esses dados como uma amostra, calcule as seguintes estatísticas: 
a) Variância; 
b) Desvio padrão; 
c) Coeficiente de variação. 
 
12) Determinar o coeficiente de variação dos dados da tabela seguinte: 
Xi fi 
 2 |— 4 2 
 4 |— 6 8 
 6 |— 8 10 
 8 |— 10 8 
 10 |— 12 2 
 
13) A distribuição de freqüências seguinte representa o número de peças defeituosas produzidas 
por uma máquina em 31 dias de observação. Calcular o desvio padrão do número de peças 
defeituosas. 
No. de Peças Defeituosas 0 1 2 3 4 
No. de Dias 3 5 15 5 3 
 
14) A distribuição de freqüências dos pesos de cem operários de uma fábrica é a seguinte: 
Pesos No. de Operários 
 50 |— 58 10 
 58 |— 66 15 
 66 |— 74 25 
 74 |— 82 24 
 82 |— 90 16 
 90 |— 98 10 
Calcular o desvio padrão dos pesos dos cem operários. 
 
 
 
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15) A distribuição da renda semanal proveniente do aluguel de duzentas casas pertencentes a 
uma empresa imobiliária encontra-se na tabela abaixo: 
Renda Mensal No. de Casas 
 75 |— 125 12 
 125 |— 175 26 
 175 |— 225 45 
 225 |— 275 60 
 275 |— 325 37 
 325 |— 375 13 
 375 |— 425 7 
Calcular o desvio padrão da renda mensal. 
 
16) Seja a seguinte tabela de freqüências: 
Xi Fi 
 100 |— 200 2 
 200 |— 300 22 
 300 |— 40052 
 400 |— 500 22 
 500 |— 600 2 
Calcular o coeficiente de variação da distribuição. 
 
17) Uma empresa tem duas filiais praticamente idênticas quanto às suas características funcio-
nais. Um levantamento sobre os salários dos empregados dessas filiais resultou nos seguin-
tes valores: 
Filial A: AX = 400 e SA = 20 
Filial B: BX = 500 e SB = 25 
Podemos afirmar, com base nesses resultados, que: 
a) em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão; 
b) as dispersões dos salários, tanto a absoluta como a relativa, são iguais; 
c) a dispersão absoluta é igual à dispersão relativa em ambos os casos; 
d) a filial A apresentou menor dispersão relativa e absoluta; 
 
18) Os preços para a população dos 15 modelos básicos de máquinas de café são apresentados 
a seguir (Consumer Report 1995 Buying Guide). 
MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO 
Mr. Coffe PR12A 27 Mr. Coffe PR16 25 Braun B 60 
Krups 50 Mr. Coffe BL110 22 Proctor 42401 35 
Proctor 42301 20 Braun 35 Krups B 40 
B&D 901 22 Bunn 40 Melitta 30 
B&D 900 20 West Bend 35 Betty Crocker 19 
Calcule a variância e o desvio padrão para essa população. 
 
 
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19) Um estudo sobre o número de horas extras (incluindo noites e finais de semana) no último 
ano, em uma grande empresa, forneceu as medidas dadas na tabela. Discuta esses valores. 
 IDADE 
 SEXO < 30 anos 30 a 45 anos ≥ 45 anos 
Homem: Média 400 350 280 
 Mediana 350 275 300 
 Desvio padrão 80 100 140 
 
Mulher: Média 180 200 150 
 Mediana 200 220 140 
 Desvio padrão 80 90 70 
 
GABARITO 
 
1) 
 
XA = 60 ² A = 200  A = 14,14 
 
XB = 60 ² B = 800  B = 28,28 
 
Como as médias dos dois estudantes são iguais, a avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são 
de mesmas características. 
 A <  B , logo, podemos considerar que a performance do estudante A foi mais homogênea, ou seja, mais 
regular que o estudante B. 
 
2) 
CVA = 33% 
CVB = 24% 
 
As notas do Grupo B são mais homogêneas que de A. 
Individualmente, a média de A é representativa dos resultados do teste e a de B não. 
 
3) 
Cordel Média Desvio Padrão 
Novo 139 15 
Original 88 14 
 
CVnovo = 11% 
CVoriginal = 16% 
 
Como as médias são muito distantes, usaremos o coeficiente de variação para a comparação. O 
cordel novo é mais regular que o original. 
 
4) 
a) S² = 16 S = 4,00 
b) S² = 34,57 S = 5,88 
 
 
 
 
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5) 
Turma Média das Notas Desvio Padrão das Notas 
A 5 2,5 
B 4 2 
CVA = 50% 
CVB = 50%  
Resposta: e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B. 
6) 
a) S = 3,76 
b) CV = 35% 
 
7) 
a) S² = 92,75 e S = 9,63 
b) Como as médias dos dois índices são próximas (média de Pomona 48,33 e média de Anaheim 48,5), a 
avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são de mesmas características. 
S Pomona < S Anaheim , logo, podemos considerar que a qualidade do ar em Pomona é mais homogênea, ou 
seja, mais regular que em Anaheim . 
 
8) 
a) ² = 34 
b)  = 5,82 
c) CV = 18% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 
9) 
S² = 250 
S = 15,81 
 
10) 
a) S² = 0,04 
b) S = 0,20 
c) CV = 40% A média não é uma boa medida de representação da distribuição. 
 
11) 
a) S² = 75,2 
b) S = 8,67 
c) CV = 5% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 
 
12) CV = 30% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 
 
13) S = 1,06 
 
14)  = 11,51 
 
15) S = 70,44 
 
16) CV = 22% 
 
17) 
Turma Média Desvio Padrão 
A 400 20 
B 500 25 
CVA = 5% 
CVB = 5% 
(a) Em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão. 
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18) ² A = 0,3  A = 0,55 
 
² B = 2,5  B = 1,58 
 
19) 
CVHomens = 20% 29% 50% 
CVMulheres = 44% 45% 47% 
O número de horas extras entre as mulheres é mais disperso que o dos homens. 
Tanto homens com mulheres na faixa etária abaixo de 30 anos são mais homogêneos em relação às horas ex-
tras. 
Para os homens, a média é uma boa medida de representação nas faixas abaixo de 30 anos e entre 30 a 45 
anos. Na faixa acima de 45 anos a melhor representação é a mediana. 
Para as mulheres, para todas as faixas de idade, a melhor medida é representada pela mediana.