AD1 metodos deterministicos I Q4 2017 1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Questa˜o 3 (2,5 pontos) Uma certa prefeitura realiza suas compras exclusivamente por um portal
oficial de licitac¸o˜es. Quando a prefeitura deseja adquirir um produto ou servic¸o, ela submete uma
proposta com um prec¸o ma´ximo P que esta´ disposta a pagar pelo produto, e aguarda por dez dias
respostas de fornecedores interessados. As repostas dos fornecedores devem informar o prec¸o que
cobrara˜o, que deve ser, no ma´ximo, igual a P .
Pore´m, nem sempre ha´ respostas nestes 10 dias. Decorrido este per´ıodo, a prefeitura refaz a pro-
posta, desta vez aumentando o prec¸o ma´ximo em 10%. Este processo se repete indefinidamente:
a cada 10 dias, caso na˜o haja repostas, a proposta de compra e´ refeita pela prefeitura, com um
valor 10% maior que o valor anterior. Um vendedor, ao observar a primeira proposta submetida pela
prefeitura, calcula que o prec¸o que poderia cobrar por um produto e´ 31% maior do que o prec¸o P
que a prefeitura pede nesta oferta. Quantas novas submisso˜es da proposta o vendedor devera´ esperar
para oferecer seu produto a este valor, supondo que na˜o aparec¸am interessados antes disso?
Soluc¸a˜o:
O vendedor calculou que poderia cobrar pelo produto um prec¸o que e´ 31% maior que P , o prec¸o
originalmente pedido pela prefeitura. Interpretamos, assim, que o prec¸o m´ınimo que o vendedor
poderia cobrar e´
P + 31%P = P +
31
100
P =
100P
100
+
31P
100
=
131P
100
.
Isto significa que enquanto o a proposta de prec¸o do governo for menor do que
131P
100
, o vendedor
na˜o vai poder oferecer seu produto.
Precisamos enta˜o descobrir apo´s quantas novas submisso˜es da proposta o prec¸o sera´ maior ou igual
a
131P
100
.
Vamos acompanhar o prec¸o ao longo das submisso˜es da proposta:
• Submissa˜o original: prec¸o P .
• Primeira nova submissa˜o da proposta: o prec¸o aumenta em 10% da anterior, se tornando
P + 10%P = P +
10P
100
=
100P
100
+
10P
100
=
110P
100
.
Note que o prec¸o oferecido pela prefeitura e´ menor do que o que o vendedor esta´ disposto a
cobrar
(
110P
100
< 131P
100
)
• Segunda nova submissa˜o da proposta: o prec¸o aumenta em 10% do anterior (110P
100
) , se
tornando
110
100
P + 10% · 110
100
P =
110P
100
+
10
100
· 110
100
P =
110P
100
+
1100P
10000
=
110P
100
+
11P
100
=
121P
100
Este prec¸o ainda e´ menor do que o que o vendedor esta´ disposto a cobrar
(
121P
100
< 131P
100
)
.
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 2
• Terceira nova submissa˜o da proposta: o prec¸o aumenta em 10% do anterior (121P
100
) , se
tornando
121
100
P + 10% · 121
100
P =
121P
100
+
10
100
· 121
100
P =
121P
100
+
1210P
10000
=
121P
100
+
121P
1000
=
1210P
1000
+
121P
1000
=
1331P
1000
Para descobrir se apo´s a terceira submissa˜o o vendedor ja´ pode oferecer seu produto, precisamos
comparar
1331P
1000
com
131P
100
. Para isto, precisamos escrever ambas as frac¸o˜es com o mesmo
denominador, que sera´ o MMC entre 100 e 1.000 que, no caso, e´ 1.000. Sendo assim, para
na˜o alterar nu´mero 131P
100
, mas escreveˆ-lo como uma frac¸a˜o com denominador igual a 1.000,
vamos multiplicar o numerador e o denominador da frac¸a˜o 131P
100
por 10, Desta forma, temos
que
131P
100
=
131 · 10P
100 · 10 =
1310P
1000
,
e assim podemos facilmente verificar que 1331P
1000
> 1310P
1000
, ou seja, apo´s a terceira submissa˜o, o
prec¸o pedido pela prefeitura e´ maior do prec¸o m´ınimo que o vendedor poderia cobrar.
Com isso, o vendedor podera´ fazer a oferta desejada na terceira nova submissa˜o (a original mais treˆs
atualizac¸o˜es de prec¸o), caso, claro, a licitac¸a˜o na˜o seja encerrada antes disso.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ