Lista 2 Derivadas exercicios com respostas

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo I - GEX 104
Lista 2 - Derivadas
1. Derive.
(a) f(x) = x2ex
(b) y =
ex
x2
(c) g(x) =
3x− 1
2x+ 1
(d) V (x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x)
(e) F (y) =
(
1
y2
− 3
y4
)
(y + 5y3)
(f) y =
x3
1− x2
(g) y =
t2
3t2 − 2t+ 1
(h) y = (r2 − 2r)er
(i) y =
v3 − 2v√v
v
(j) f(t) =
2t
2 +
√
t
(k) f(x) =
A
B + Cex
(l) f(x) =
x
x+ cx
2. Calcule f ′ e f ′′.
(a) f(x) = x4ex (b) f(x) =
x2
1 + 2x
3. Determine a equação da reta tangente à curva y =
2x
x+ 1
no ponto (1, 1).
4. A reta normal à uma curva C em um ponto P é a reta que passa por este
ponto e é perpendicular à reta tangente em P . Encontre equações para as
retas tangente e normal à curva y = x4 + 2ex no ponto (0,2).
5. Determine as equações das retas tangente e normal à curva y = 2xex no
ponto (0,0).
6. A curva y =
1
1 + x2
é chamada Bruxa de Maria Agnesi. Determine
uma equação para a reta tangente a essa curva no ponto
(−1, 12).
7. Suponha que f(5) = 1, f ′(5) = 6, g(5) = −3 e g′(5) = 2. Calcule:
(a) (f · g)′(5); (b)
(
f
g
)′
(5); (c)
(
g
f
)′
(5).
8. Se f(x) = exg(x), sendo g(0) = 2 e g′(0) = 5, encontre f ′(0).
9. Quantas retas tangentes à curva y =
x
x+ 1
passam pelo ponto (1, 2)? Em
quais pontos essas retas tocam a curva?
10. Derive.
1
(a) f(x) = x− 3senx
(b) y = senx+ 10tg x
(c) g(t) = t3 cos t
(d) h(θ) = cossec θ + eθcotg θ
(e) y =
x
2− tg x
(f) f(θ) =
sec θ
1 + sec θ
(g) y =
senx
x2
(h) f(x) = xexcossecx
11. Mostre que:
(a)
d
dx
(secx) = secxtg x;
(b)
d
dx
(cossecx) = −cossecxcotg x;
(c)
d
dx
(cotg x) = −cossec2 x.
12. Determine uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado.
(a) y = secx,
(
pi
3 , 2
)
(b) y = x+ cosx, (0, 1)
13. (a) Use a Regra do Quociente para derivar f(x) =
tg x− 1
secx
.
(b) Simplifique a expressão de f(x), escrevendo-a em termos de senx e
cosx e, em seguida, calcule f ′(x).
(c) Verifique que as derivadas encontradas nos ítens (a) e (b) são iguais.
14. Um objeto preso a uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície
lisa. Sua equação de movimento é x(t) = 8sen t, sendo t em segundos e x,
em centímetros.
(a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t.
(b) Encontre a velocidade e a aceleração do objeto quando t = 2pi3 . Em
que sentido o objeto está se movendo nesse instante?
2
RESPOSTAS
1. (a) f ′(x) = x(x+ 2)ex
(b) y′ = (x− 2) ex
x3
(c) g′(x) = 5
(2x+1)2
(d) V ′(x) = 14x6 − 4x3 − 6
(e) F ′(y) = 5 + 14
y2
+ 9
y4
(f) y′ = x
2(3−x2)
(1−x2)2
(g) y′ = 2t(1−t)
(3t2−2t+1)2
(h) y′ = (r2 − 2)er
(i) y′ = 2v − 1√
v
(j) f ′(t) = 4+
√
t
(2+
√
t)2
(k) f ′(x) = − ACex
(B+cex)2
(l) f ′(x) = 2cx
(x2+c)2
2. (a) (x4 + 4x3)ex; (x4 + 8x3 + 12x2)ex
(b) 2x
2+2x
(1+2x)2
; 2
(1+2x)3
3. y = 1
2
x+ 1
2
4. Tangente: y = 2x+ 2.
Normal: y = − 1
2
x+ 2.
5. y = 2x; y = − 1
2
x
6. y = 1
2
x+ 1
7. (a) -16 (b) − 20
9
(c) 20
8. 7
9. Dois;
(
−2±√3, 1∓
√
3
2
)
10. (a) f ′(x) = 1− 3 cosx
(b) y′ = cosx+ 10 sec2 x
(c) g′(t) = 3t2 cos t− t3sen t
(d) Vide abaixo.
(e) y′ = 2−tg x+x sec
2 x
(2−tg x)2
(f) f ′(θ) = sec θtg θ
(1+sec θ)2
(g) y′ = x cos x−2sen x
x3
(h) Vide abaixo.
11.
12. (a) y = 2
√
3x− 2
3
√
3pi + 2
(b) y = x+ 1
13. (a) f ′(x) = 1+tg x
sec x
(b) f ′(x) = cosx+ senx
14. (a) v(t) = 8 cos t, a(t) = −8sen t
(b) −4, −4√3; da direita para esquerda.
10. (d) h′(θ) = −cossec θcotg θ+eθ(cotg θ−
cossec2θ)
(h) f ′(x) = excossecx(−xcotg x+x+1)
3