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Lista 4 Derivadas exercicios com respostas

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo I - GEX 104
Lista 4 - Derivadas
1. Calcule y′ derivando implicitamente.
(a) x2 + y3 = 1
(b) x3 + x2y + 4y2 = 6
(c) x4(x+ y) = y2(3x− y)
(d) x2y2 + xsen y = 4
(e) 4 cosxsen y = 1
(f) e
x
y = x− y
(g) √xy = 1 + x2y
(h) xy = cotg (xy)
2. Se f(x) + x2[f(x)]3 = 10 e f(1) = 2, calcule f ′(1).
3. Seja x4y2 − x3y + 2xy3 = 0. Derivando implicitamente, calcule:
(a)
dy
dx
; (b)
dx
dy
.
4. Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado.
(a) x2 + xy + y2 = 3, (1, 1) (elipse)
(b) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2, (0, 12) (cardioide)
(c) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), (3, 1) (lemniscata)
5. Calcule y′′ por derivação implícita.
(a) 9x2 + y2 = 9 (b) x3 + y3 = 1
6. Calcule a derivada de cada função e simplifique.
(a) y = arctg
√
x
(b) y = arcsen (2x+ 1)
(c) H(x) = (1 + x2)arctgx
(d) h(t) = arccotg t+ arccotg
(
1
t
)
(e) y = arccos(e2x)
7. Derive a função.
(a) f(x) = sen lnx
(b) f(x) = log2(1− 3x)
(c) f(x) = 5
√
lnx
(d) f(x) =
√
x lnx
(e) F (t) = ln
(2t+ 1)3
(3t− 1)4
(f) g(x) = ln(x
√
x2 − 1)
(g) y =
lnx
1 + x
(h) y = ln |2− x− 5x2|
(i) y = ln(e−x + xe−x)
(j) y = 2x log10
√
x
8. Calcule y′ e y′′.
1
(a) y = x2 ln 2x (b) y = ln
(
x+
√
x2 + 1
)
9. Derive e determine o domínio de f e de f ′
(a) f(x) =
x
1− ln(x− 1) (b) f(x) = ln(x
2 − 2x)
10. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = ln
(
xex
2)
no ponto
(1,1).
11. Derive as funções
(a) y = x 3
√
x
(b) y = xsen x
(c) y = (cosx)x
(d) y = (tg x)
1
x
12. Determine y′ sendo y = ln(x2 + y2).
13. Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma
taxa de 3m3/min. Quão rápido estará aumentando a altura da água?
14. Um avião voa a 800 km/h horizontalmente a uma altitude de 2 km e passa
diretamente sobre uma estação de radar. Determine a taxa segundo a qual
a distância entre o avião e a estação aumenta quando o avião estiver a 3
km de distância da estação de radar.
15. Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 5 metros de altura. Um
homem com 2 m de altura anda, afastando-se do poste, com velocidade
de 1,5 m/s ao longo de uma trajetória reta. Com que velocidade se move
a ponta de sua sombra quando ele está a 10 m do poste?
16. Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja
para o sul a 30 km/h e, o outro, para o oeste a 72 km/h. A que taxa
estará crescendo a distância entre os carros duas horas depois?
17. Um homem começa a andar para o norte a 1,2 m/s a partir de um ponto
P . Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 1,6
m/s de um ponto a 200 m a leste de P . A que taxa as pessoas estão se
distanciando 15 minutos depois de a mulher começar a andar?
18. Está sendo bombeada água para dentro de um tanque cônico invertido a
uma taxa de 9pés/min. O tanque tem 10 pés de altura e o diâmetro no
topo é de 5 pés.A que taxa o nível da água estará subindo quando a altura
da água for de 6 pés.
19. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical.
Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente à taxa constante
de 0, 6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando
ele está a 4m do solo.
20. A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilindrico
vertical de raio 1 m, se bombearmos o líquido para fa uma taxa de 3000
l/min.
2
RESPOSTAS
1. (a) y′ = −−2x
3y2
(b) y′ = −x(3x+2y)
x2+8y
(c) y′ = 3y
2−5x4−4x3y
x4+3y2−6xy
(d) y′ = − 2xy2+sen y
2x2y+x cos y
(e) y′ = tg xtg y
(f) y′ = y(y−e
x
y )
y2−xe
x
y
(g) y′ = 4xy
√
xy−y
x−2x2√xy
(h) y′ = − y
x
2. − 16
13
3. (a) dy
dx
= −4x
3y2+3x2y−2y3
2x4y−x3+6xy2
(b) dx
dy
= −2x
4y+x3−6xy2
4x3y2−3x2y+2y3
4. (a) y = −x+ 2
(b) y = −x+ 1
2
(c) y = − 9
13
x+ 40
13
5. (a) d
2y
dx2
= −9 9x2+y2
y3
(b) y′′ = − 2xy
y6
(x3 + y3)
6. (a) y′ = 1
2
√
x(1+x)
(b) y′ = 1√
−x2−x
(c) H′(x) = 1 + 2xarctg x
(d) h′(t) = 0
(e) y′ = − 2e2x√
1−e4x
7. (a) f ′(x) = cos(ln x)
x
(b) f ′(x) = 3
(3x−1) ln 2
(c) f ′(x) = 1
5x 5
√
(ln x)4
(d) f ′(x) = 2+ln x
2
√
x
(e) F ′(t) = 6
2t+1
− 12
3t−1
(f) g′(x) = 2x
2−1
x(x2−1)
(g) y′ = 1+x−x ln x
x(1+x)2
(h) y′ = 10x+1
5x2+x−2
(i) y′ = − x
1+x
(j) y′ = ln x+1
ln 10
8. (a) y′ = x+ 2x ln(2x);
y′′ = 3 + 2 ln(2x)
(b) y′ = 1√
1+x2
; y′′ = − x
(1+x2)
3
2
9. (a) f ′(x) = 2x−1−(x−1) ln(x−1)
(x−1)(1−ln(x−1))2 ;
(1, 1+e)∪(1+e,∞), (1, 1+e)∪(1+
e,∞)
(b) f ′(x) = 2(x−1)
x(x−2) ;
(−∞, 0) ∪ (2,∞), R− {0, 2}
10. y = 3x− 2
11. (a) y′ = xx
1
3 3+ln x
3x
2
3
(b) y′ = xsen x
(
sen x
x
+ cosx lnx
)
(c) y′ = (cosx)x(ln(cosx)− xtg x)
(d) y′ = (tg x)
1
x
(
sec2 x
xtg x
− ln(tg x)
x2
)
12. y′ = 2x
x2+y2−2y
13. 3
25pi
m/min
14. 800
3
√
5 km/h
15. 5
2
m/s
16. 78 km/h
17. ≈ 2, 79 m/s
18. 0, 35pé/min
19. − 3
√
5
10
m/s
20. − 3
pi
m/min
3
Use a tabela abaixo para auxiliar na resolução do exercício 6.
4

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