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Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas Cálculo I - GEX 104 Lista 4 - Derivadas 1. Calcule y′ derivando implicitamente. (a) x2 + y3 = 1 (b) x3 + x2y + 4y2 = 6 (c) x4(x+ y) = y2(3x− y) (d) x2y2 + xsen y = 4 (e) 4 cosxsen y = 1 (f) e x y = x− y (g) √xy = 1 + x2y (h) xy = cotg (xy) 2. Se f(x) + x2[f(x)]3 = 10 e f(1) = 2, calcule f ′(1). 3. Seja x4y2 − x3y + 2xy3 = 0. Derivando implicitamente, calcule: (a) dy dx ; (b) dx dy . 4. Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado. (a) x2 + xy + y2 = 3, (1, 1) (elipse) (b) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2, (0, 12) (cardioide) (c) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), (3, 1) (lemniscata) 5. Calcule y′′ por derivação implícita. (a) 9x2 + y2 = 9 (b) x3 + y3 = 1 6. Calcule a derivada de cada função e simplifique. (a) y = arctg √ x (b) y = arcsen (2x+ 1) (c) H(x) = (1 + x2)arctgx (d) h(t) = arccotg t+ arccotg ( 1 t ) (e) y = arccos(e2x) 7. Derive a função. (a) f(x) = sen lnx (b) f(x) = log2(1− 3x) (c) f(x) = 5 √ lnx (d) f(x) = √ x lnx (e) F (t) = ln (2t+ 1)3 (3t− 1)4 (f) g(x) = ln(x √ x2 − 1) (g) y = lnx 1 + x (h) y = ln |2− x− 5x2| (i) y = ln(e−x + xe−x) (j) y = 2x log10 √ x 8. Calcule y′ e y′′. 1 (a) y = x2 ln 2x (b) y = ln ( x+ √ x2 + 1 ) 9. Derive e determine o domínio de f e de f ′ (a) f(x) = x 1− ln(x− 1) (b) f(x) = ln(x 2 − 2x) 10. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = ln ( xex 2) no ponto (1,1). 11. Derive as funções (a) y = x 3 √ x (b) y = xsen x (c) y = (cosx)x (d) y = (tg x) 1 x 12. Determine y′ sendo y = ln(x2 + y2). 13. Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3m3/min. Quão rápido estará aumentando a altura da água? 14. Um avião voa a 800 km/h horizontalmente a uma altitude de 2 km e passa diretamente sobre uma estação de radar. Determine a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando o avião estiver a 3 km de distância da estação de radar. 15. Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 5 metros de altura. Um homem com 2 m de altura anda, afastando-se do poste, com velocidade de 1,5 m/s ao longo de uma trajetória reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele está a 10 m do poste? 16. Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 km/h e, o outro, para o oeste a 72 km/h. A que taxa estará crescendo a distância entre os carros duas horas depois? 17. Um homem começa a andar para o norte a 1,2 m/s a partir de um ponto P . Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 1,6 m/s de um ponto a 200 m a leste de P . A que taxa as pessoas estão se distanciando 15 minutos depois de a mulher começar a andar? 18. Está sendo bombeada água para dentro de um tanque cônico invertido a uma taxa de 9pés/min. O tanque tem 10 pés de altura e o diâmetro no topo é de 5 pés.A que taxa o nível da água estará subindo quando a altura da água for de 6 pés. 19. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente à taxa constante de 0, 6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 4m do solo. 20. A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilindrico vertical de raio 1 m, se bombearmos o líquido para fa uma taxa de 3000 l/min. 2 RESPOSTAS 1. (a) y′ = −−2x 3y2 (b) y′ = −x(3x+2y) x2+8y (c) y′ = 3y 2−5x4−4x3y x4+3y2−6xy (d) y′ = − 2xy2+sen y 2x2y+x cos y (e) y′ = tg xtg y (f) y′ = y(y−e x y ) y2−xe x y (g) y′ = 4xy √ xy−y x−2x2√xy (h) y′ = − y x 2. − 16 13 3. (a) dy dx = −4x 3y2+3x2y−2y3 2x4y−x3+6xy2 (b) dx dy = −2x 4y+x3−6xy2 4x3y2−3x2y+2y3 4. (a) y = −x+ 2 (b) y = −x+ 1 2 (c) y = − 9 13 x+ 40 13 5. (a) d 2y dx2 = −9 9x2+y2 y3 (b) y′′ = − 2xy y6 (x3 + y3) 6. (a) y′ = 1 2 √ x(1+x) (b) y′ = 1√ −x2−x (c) H′(x) = 1 + 2xarctg x (d) h′(t) = 0 (e) y′ = − 2e2x√ 1−e4x 7. (a) f ′(x) = cos(ln x) x (b) f ′(x) = 3 (3x−1) ln 2 (c) f ′(x) = 1 5x 5 √ (ln x)4 (d) f ′(x) = 2+ln x 2 √ x (e) F ′(t) = 6 2t+1 − 12 3t−1 (f) g′(x) = 2x 2−1 x(x2−1) (g) y′ = 1+x−x ln x x(1+x)2 (h) y′ = 10x+1 5x2+x−2 (i) y′ = − x 1+x (j) y′ = ln x+1 ln 10 8. (a) y′ = x+ 2x ln(2x); y′′ = 3 + 2 ln(2x) (b) y′ = 1√ 1+x2 ; y′′ = − x (1+x2) 3 2 9. (a) f ′(x) = 2x−1−(x−1) ln(x−1) (x−1)(1−ln(x−1))2 ; (1, 1+e)∪(1+e,∞), (1, 1+e)∪(1+ e,∞) (b) f ′(x) = 2(x−1) x(x−2) ; (−∞, 0) ∪ (2,∞), R− {0, 2} 10. y = 3x− 2 11. (a) y′ = xx 1 3 3+ln x 3x 2 3 (b) y′ = xsen x ( sen x x + cosx lnx ) (c) y′ = (cosx)x(ln(cosx)− xtg x) (d) y′ = (tg x) 1 x ( sec2 x xtg x − ln(tg x) x2 ) 12. y′ = 2x x2+y2−2y 13. 3 25pi m/min 14. 800 3 √ 5 km/h 15. 5 2 m/s 16. 78 km/h 17. ≈ 2, 79 m/s 18. 0, 35pé/min 19. − 3 √ 5 10 m/s 20. − 3 pi m/min 3 Use a tabela abaixo para auxiliar na resolução do exercício 6. 4
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