Lista 1

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
1a lista de exerc´ıcios - Equac¸o˜es Diferenciais e Integrais - 2017/I
Turma A: Responsa´vel - Michely Santos Oliveira
01) (Equac¸a˜o log´ıstica ou de Verhulst*) Mostre que o problema de valor inicial{
dp
dt
= ap− bp2
p(t0) = p0
tem como soluc¸a˜o p(t) = ap0
bp0+(a−bp0)e−a(t−t0) . Conclua que p(t)→
a
b
sempre que t→∞.
* Esta equac¸a˜o e´ utilizada frequentemente para modelar o crescimento de populac¸o˜es
isoladas. Aqui, a e b sa˜o coeficiente vitais, onde a representa a diferenc¸a entre as taxas de
natalidade e mortalidade e bp2 e´ o fator inibidor ou termo de competic¸a˜o.
02) Mostre que o PVI* {
dp
dt
= Ap2/3 −Bp
p(0) = 0
tem como soluc¸a˜o p(t) = (A/B)3(1−B−Bt/3)3 e que p(t)→ (A/B)3 sempre que t→∞.
* Esta equac¸a˜o e´ empregada para modelar o aumento de peixes em um viveiro. Aqui, A
e B sa˜o as constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
03) Considere o PVI* {
dx
dt
= α(p− x)(q − x)
x(0) = 0
onde α, p e q sa˜o constantes positivas.
* Esta equac¸a˜o fornece a concentrac¸a˜o da substaˆncia x no tempo t gerada pela colisa˜o de
mole´culas de duas outras substaˆncias, P e Q, cujas concetrac¸o˜es iniciais sa˜o p e q, respecti-
vamente.
(a) Determine a soluc¸a˜o expl´ıcita para o problema para t > 0.
(b) Desenhe o campo de direc¸o˜es do problema e fac¸a a ana´lise qualitativa do mesmo.
04) Considere a equac¸a˜o diferencial que descreve o movimento de queda de um corpo
de massa m, sujeito a uma forc¸a proporcial ao quadrado da sua velocidade e sob ac¸a˜o da
acelerac¸a˜o gravitacional g.
(a) Escreva a equac¸a˜o diferencial que modela o movimento de queda deste objeto, justi-
ficando.
(b) Sendo v(0) = 0, obtenha a velocidade limite de queda do corpo.
05) (a) Considere o PVI*
dp
dt
= −rp
v
, p(0) = p0.
Mostre que p(t)→ 0 quando t→∞.
(b) Considere agora
dp
dt
= k − rp
v
, p(0) = p0.
Mostre que p(t)→ vk/r quando t→∞.
* O problema do item (a) modela a quantidade de poluentes dissolvidos na a´gua de uma
lagoa num tempo t. Neste modelo, considera-se o volume v de a´gua da lagoa e as vazo˜es
dos riachos r, constantes. No problema (b), considera-se que poluentes sa˜o depositados
continuamente a` taxa constante k > 0. Em (a) a situac¸a˜o e´ resolvida com o aumento na
vaza˜o dos riachos, e em (b), p(t) tende a se estabilizar no ponto de equil´ıbrio vk/r.
06) (Aquecimento e resfriamento de Newton) O objetivo e´ formular um modelo
matema´tico que descreva o perfil de temperatura em 24 horas de um pre´dio como uma func¸a˜o
da temperatura externa, do calor gerado dentro do pre´dio e do aquecimento do aquecedor ou
o resfriamento do ar-condicionado. Um me´todo natural para modelar a temperatura dentro
de um pre´dio e´ usar a ana´lise comportamental. Considere que T (t) represente a temperatura
no instante t e veja o pre´dio como um u´nico compartimento. Enta˜o, a taxa de mudanc¸a na
temperatura e´ determinada por todos os fatores que geram ou dissipam calor.
Vamos considerar treˆs fatores principais que afetam a temperatura dentro do pre´dio.
(1) O calor produzido por laˆmpadas, pessoas e ma´quinas. Isso causa um aumento na
temperatura que sera´ indicada por H(t).
(2) O aquecimento (ou resfriamento) fornecido pelo aquecedor (ou ar-condicionado). Essa
taxa de aumento (ou diminuic¸a˜o) na temperatura sera´ representada por U(t).
(3) O efeito da temperatura externaM(t) sobre a de dentro do pre´dio. A evideˆncia experi-
mental tem mostrado que este fator pode ser modelado usando a Lei do Resfriamento
de Newton, que afirma que a taxa de mudanc¸a na temperatura T (t) e´ proporcional
a` diferenc¸a entre a temperatura externa M(t) e a interna T (t). Ou seja, a taxa de
mudanc¸a na temperatura do pre´dio devido a M(t) e´
k[M(t)− T (t)].
A constante positiva k depende das propriedades f´ısicas do pre´dio, como o nu´mero de
portas e janelas e o tipo de isolamento, mas k na˜o depende de M , T ou t. Logo, quando a
temperatura externa e´ maior que a interna,M(t)−T (t) > 0 e ha´ um aumento na temperatura
do pre´dio causado por M(t). Por outro lado, quando a temperatura externa e´ menor que a
interna, enta˜o M(t)− T (t) < 0 e a temperatura do pre´dio diminui.
Resumindo, encontramos
dT
dt
= k[M(t)− T (t)] +H(t) + U(t),
em que a taxa de aquecimento adicional H(t) e´ sempre na˜o negativa e U(t) e´ positiva para
o aquecimento (causado pelo aquecedor) enegativa para o resfriamento (causado pelo ar-
condicionado).
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Determine a temperatura do pre´dio para qualquer instante t.
07) (Reac¸o˜es Qu´ımicas) Um composto C e´ formado da reac¸a˜o de duas substaˆncias A
e B. A reac¸a˜o ocorre de forma que para cada m gramas de A, n gramas de B sa˜o utilizadas.
A taxa com que se obte´m C e´ proporcional tanto a` quantidade de A quanto a` quantidade
de B na˜o transformadas. Inicialmente havia α0 gramas de A e β0 gramas de B. Sejam α(t)
e β(t) as quantidade de A e B na˜o transformada, respectivamente e y(t) a quantidade de C
obtida. Enta˜o
dy
dt
∝ α(t) · β(t).
Sejam a(t) e b(t) a quantidade de A e B transformadas. Enta˜o
a(t) + b(t) = y(t),
a(t)
b(t)
=
m
n
.
(a) Mostre que
a(t) =
m
m+ n
y(t) e b(t) =
n
m+ n
y(t).
(b) Utilizando as informac¸o˜es acima e´ poss´ıvel obter o problema de valo inicial{
dy
dt
= k(α′ − y)(β′ − y),
y(0) = 0
onde α′ = α0m+nm e β
′ = β0m+nn .
Resolva o problema de valor inicial acima para o caso em que os reagentes esta˜o em
quantidades estequiome´tricas. Analise a soluc¸a˜o para t→∞, ou seja, ao final da reac¸a˜o.
(c) Fac¸a o mesmo que no item anterior, mas considerando agora que os reagente na˜o
esta˜o em quantidades estequiome´tricas.
Exerc´ıcios do Boyce: 9a Edic¸a˜o
Sec¸a˜o 1.1: 21, 22, 24
Sec¸a˜o 1.3: 1 ao 20
Sec¸a˜o 2.1: 13 ao 20 e 38
Sec¸a˜o 2.2: 1 ao 20 (so´ resolver, sem esboc¸ar gra´ficos) e 30 ao 38.
Sec¸a˜o 2.4: 27 ao 31
Sec¸a˜o 2.5: 7, 20 (a e b), 21 (a e b), 22, 23, 24.
Sec¸a˜o 2.6: 1 ao 12, 15, 16, 19, 20, 25 ao 31.
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