aula 02

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Aula 2 – Equações diferenciais lineares de 1a ordem. Equações com variáveis 
separadas e separáveis.
Definição 1.6 da Aula 1
A equação diferencial
onde
é chamada de linear de primeira ordem.
Os dados do problema são as funções a(x) e b(x), e elas compareçam em integrais no processo de
resolução da equação. Como então achar a solução da equação diferencial linear de 1a ordem?
1 o Método de Solução:
Vamos supor que y(x) = u(x) v(x) onde as funções u(x) e v(x) são também desconhecidas.
Substituindo na primeira equação linear da primeira ordem, teremos
logo,
.
Se escolhermos a função u(x) de forma que ela satisfaça a equação
então
.
Mas a equação acima tem um segundo membro que só depende de x e assim, é do tipo anterior.
Então,
e a solução da equação dada sendo y(x) = u(x) v(x) dará
.
Resta-nos então o problema de resolver a equação
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chamada de equação homogênea associada à equação linear de primeira ordem dada que, por isto, é
chamada de equação não-homogênea ou completa.
Podemos resolver a equação homogênea como
,
então
.
Chamando c2 à exponencial de c3 e usando o fato de que a função exponencial é sempre positiva,
temos
,
onde definimos a função g(x) como sendo
.
Fica assim estabelecido, que a função g(x) tem módulo constante. Por outro lado, a função g(x) é o
produto da função u(x), que é derivável pois é solução da equação diferencial homogênea por uma
função exponencial. Segue, então, que a função g(x) é continua.
Podemos concluir que g(x) = c2, e
.
Logo,
 
 ,
onde c = c1 c2. Não aparece constante no primeiro termo pois a expressão de u(x) envolve a constante
c2.
Exemplo 2.1 (igual do exemplo 1.5 da aula 1)
Determine a solução geral da equação diferencial .
Solução
Em primeiro lugar reescrevemos a equação diferencial para identificar as funções a(x) e b(x).
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Depois consideramos a equação homogênea
cuja solução é
.
Pelo 1o método temos
,
então
,
onde c = c1 c2.
Exercício 2.1
Determine a solução da equação diferencial usando 1o método de solução.
2 o Método de Solução:
Vamos considerar a função
Então,
 
 
Usamos o fato que
e
.
Segue então que
.
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Mas a equação diferencial acima é linear e com um segundo membro função somente de x, já
resolvida anteriormente. Então,
.
Resolvendo em relação a y teremos a solução geral da equação linear.
Observe que o fator é chamado de fator integrante, pois se multiplicarmos ambos
os membros da equação diferencial por ele é possível então integrá-lo.
Exemplo 2.2
Determine a solução geral da equação diferencial do exemplo 2.1 usando 2o método.
Solução
O fator integrante é . Multiplicando ambos os membros da equação diferencial dada
pelo fator integrante temos
e a solução final é
.
Exercício 2.2
Dê a solução geral da equação diferencial usando 2o método:
.
3 o Método de Solução:
Resolva a equação diferencial .
Em primeiro lugar consideramos a equação homogênea
,
cuja solução é
.
 Consideramos agora
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onde tomamos a equação homogênea e em vez de uma constante consideramos uma função de x, a
qual devemos determinar. Substituindo w(x) na equação dada, teremos
.
Segue então que
.
Integrando por partes
 .
A solução geral y(x) da equação dada é tal que
 
 ,
onde fizemos c = c1 + c2.
Este método de encontrar uma solução particular da equação completa é chamado método da
variação das constantes.
Exercício 2.3
Usando qualquer método dê a solução geral das equações diferenciais:
a) 
b) 
Consideramos uma equação diferencial da forma
,
que o lado direito é um produto de uma função que depende somente de x e outra função que
depende somente de y. Suponhamos, que g(y) ≠ 0. Podemos transformar esta equação diferencial na
seguinte forma
.
Do lado esquerdo da equação temos somente dependência de y e do lado direito somente
dependência de x. Podemos aplicar a operação de integração nos dois lados.
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.
Definição 2.1
Uma equação diferencial
é chamada de equação com variáveis separadas. O integral geral dela é
.
Exemplo 2.3
Ache o integral da equação diferencial de variáveis separadas
.
Solução
Aplicando integração temos
.
Exercício 2.4
Ache o integral da equação diferencial de variáveis separadas
.
Definição 2.2
Uma equação diferencial
é chamada equação de variáveis separáveis e pode ser reduzida a uma equação de variáveis
separadas na seguinte forma
.
Exemplo 2.4
Seja a equação .
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Solução
Separamos as variáveis
Integrando, obtém-se:
.
Exercício 2.5
Determine a solução geral das equações diferenciais
a)
b)
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