aula 04

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Aula 4 – Equações diferenciais lineares de 1a ordem. Equações homogêneas.
Definição 1.6 da Aula 1
A equação diferencial
onde
é chamada de linear de primeira ordem.
Os dados do problema são as funções a(x) e b(x), e elas compareçam em integrais no processo de
resolução da equação. Como então achar a solução da equação diferencial linear de 1a ordem?
3 o Método de Solução:
Resolva a equação diferencial .
Em primeiro lugar consideramos a equação homogênea
,
cuja solução é
.
 Consideramos agora
onde tomamos a equação homogênea e em vez de uma constante consideramos uma função de x, a
qual devemos determinar. Substituindo w(x) na equação dada, teremos
.
Segue então que
.
Integrando por partes
 .
A solução geral y(x) da equação dada é tal que
1
 
 ,
onde fizemos c = c1 + c2.
Este método de encontrar uma solução particular da equação completa é chamado método da
variação das constantes.
Exemplo 4.1
Consideramos equação diferencial homogênea:
.
A solução dela é
.
Vamos substituir agora a constante c1 com uma função g(x)
e inserir na equação diferencial em lugar de y
Então
 
A solução é
,
onde c = c1 + c2.
2
Definição 4.1
Uma função f(x,y) é uma função homogênea de grau n em relação às variáveis x e y se tiver para
todo o λ
.
Exemplo 4.2
A função é homogênea de grau 1, porque
Exercício 4.1
Verifique que função é uma função homogênea de 2o grau.
Exercício 4.2
Verifique que função é uma função homogênea de grau zero.
Definição 4.2
A equação de primeira ordem
,
é chamada homogênea em relação a x e y se a função f(x,y) for uma função homogênea de grau
zero em relação a x e y.
Resolução da equação homogênea.
Temos, por hipótese, . Fazendo nesta identidade , obteremos
,
isto é, uma função homogênea de grau zero depende somente da relação y/x.
A equação diferencial escreve-se, neste caso, sob a forma
.
Façamos substituição: , isto é .
Temos então:
.
Substituindo esta expressão da derivada na equação diferencial, obteremos
.
3
É uma equação de variáveis separáveis:
.
Por integração encontra-se
.
Exemplo 4.3
Resolva a equação diferencial
.
Solução
Essa equação diferencial pode ser escrita como
As expressões xy e (x² – y²) são homogêneas de grau 2. Usando a transformação
resulta
Separando as variáveis temos
Integrando
ou
Voltando para variáveis x e y temos
 ou .
4