aula 09

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Aula 9 – Equações diferenciais não-homogêneas.
Equações diferenciais de 2a ordem com coeficientes constantes.
Forma geral das equações diferenciais lineares de 2a ordem é
Quando as funções P(x), Q(x), R(x) e g(x) são continuas num intervalo de x, existe uma única
solução.
Nesta parte, nos vamos estudar as equações diferenciais de 2a ordem com coeficientes constantes
ou seja
.
Definição 9.1
A equação de 2a ordem linear se chama não-homogênea ou completa, quando , ou
.
Para obter a solução desta equação basta somar a solução geral da equação homogênea com uma
solução particular da equação completa. Na aula anterior já estabelecemos como obter a solução
geral da equação homogênea. Como então determinar uma solução particular da equação completa?
Aplicamos um método da variação das constantes.
Sejam e soluções da equação homogênea com . Então,
é solução geral da equação homogênea. Procuramos então uma solução particular da equação
completa da forma
.
Temos
 
Aplicamos uma condição que
1
que resulta em
Calculando a derivada de segunda ordem teremos
.
Inserindo , , e na equação completa teremos
 
Rearranjando os termos temos
 
Como as funções e são soluções da equação homogênea, os dois primeiros termos são
iguais zero e
.
Mas, como nos já aplicamos uma condição , o termo com coeficiente b também é
zero, reduzindo a nossa expressão a
.
Essas duas condições:
1) 
2) 
determinam as funções e .
Multiplicando equação 1 acima por e 2 por e subtraindo uma da outra, teremos
.
Por outro lado, multiplicando a equação 1 por , a equação 2 por e subtraindo uma da outra,
teremos
.
Lembrando que 
,
segue então que
2
Podemos então obter e por integração.
Assim, a solução geral da equação não-homogênea é
ou
Exemplo 9.1
Ache a solução geral da equação não-homogênea
Solução
A equação característica da equação homogênea é
e ela tem duas raízes e . A solução geral da equação homogênea então é
.
O wronskiano dessas soluções é
.
Seja então
e portanto
.
Impondo a primeira condição ,
e derivando mais uma vez, teremos
.
Substituindo e na equação completa teremos
.
Então
3
 e .
Integrando as duas equações teremos
e
.
A solução geral é então
Exercício 9.1
Resolva sequentes equações não-homogêneas
a) 
b) 
4