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Aula 3 - Estática dos Fluidos (cont.) Professor: Roger Rodrigues Serra 2017 Sumário Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Determinação da força resultante sobre uma superfície submersa Determinação do centro de pressão de uma superfície submersa Exercício de fixação Apresentar uma abordagem introdutória acerca do conceito de força hidrostática atuante em superfícies submersas Determinação de Força Hidrostática Resultante Centro de Pressão Objetivo Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Quando falamos em Placa exposta a um líquido Parede de um tanque de armazenamento de líquido Casco de um navio em repouso Sujeitos à pressão dos fluidos distribuída sobre sua superfície Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Para determinar completamente as especificações da força resultante atuando sobre uma superfície submersa, é necessário especificar sua Magnitude (ou módulo) Direção e sentido Magnitude ou módulo da força Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝0+ 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃 𝐹𝑅 = 𝐴 𝑝. 𝑑𝐴 = 𝐴 (𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴 𝐹𝑅 = 𝑝0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴 𝑦. 𝑑𝐴 Da Mecânica, temos que 𝑦𝑐 = 𝐴 𝑦. 𝑑𝐴 𝐴 Substituindo: 𝐹𝑅 = (𝑝0+𝜌𝑔𝑦𝑐sin𝜃)𝐴 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴 𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴 Magnitude ou módulo da força Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas 𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴 “A magnitude da força resultante que age sobre uma superfície plana completamente submersa em um fluido homogêneo (densidade constante) é igual ao produto da pressão pc no centroide da superfície e da área A da superfície” Magnitude ou módulo da força Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas 𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴 “Embora a força resultante possa ser calculada a partir da pressão no centro da placa (centroide da área), este NÃO É O SEU PONTO DE APLICAÇÃO!!!” Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Linha de ação da força Em geral, não passa através do centroide da superfície, ficando abaixo do mesmo, onde a pressão é mais alta O ponto de interseção entre a linha de ação da força resultante e a superfície é o CENTRO DE PRESSÃO A determinação da coordenada vertical se dá igualando o momento da força resultante e o momento da força de pressão distribuída com relação ao eixo x. Isso resulta em: Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Linha de ação da força 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝐴 𝑦𝑝. 𝑑𝐴 = 𝐴 𝑦(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0 𝐴 𝑦. 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴 𝑦2. 𝑑𝐴 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 . 𝐼𝑥𝑥,𝑂 yp – Distância do centro de pressão ao eixo x (ponto O) Ixx,O – Segundo momento de área (ou momento de inércia de área) em relação a O Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Linha de ação da força 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝐴 𝑦𝑝. 𝑑𝐴 = 𝐴 𝑦(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0 𝐴 𝑦. 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴 𝑦2. 𝑑𝐴 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 . 𝐼𝑥𝑥,𝑂 Ixx,C – Segundo momento de área (ou momento de inércia de área) em relação ao centroide (centro de área) 𝐼𝑥𝑥,𝑂 = 𝐼𝑥𝑥,𝐶 + 𝑦𝐶 2. 𝐴 Teorema dos eixos paralelos Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Linha de ação da força 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝐴 𝑦𝑝. 𝑑𝐴 = 𝐴 𝑦(𝑝0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃). 𝑑𝐴 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0 𝐴 𝑦. 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴 𝑦2. 𝑑𝐴 𝑦𝑝𝐹𝑅 = 𝑝0𝑦𝑐𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃 . 𝐼𝑥𝑥,𝑂 𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 + 𝐼𝑥𝑥,𝐶 𝑦𝐶 + 𝑝0 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴 Substituindo as relações FR e Ixx,O encontradas anteriormente, temos: Posição do centro de pressão Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Em resumo, temos as seguintes equações Magnitude da força Local de aplicação da força (centro de pressão) 𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴 = 𝑝𝑚é𝑑𝐴 𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 + 𝐼𝑥𝑥,𝐶 𝑦𝐶 + 𝑝0 𝜌𝑔 sin 𝜃 𝐴 Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Ex1 - Um carro pesado sofre um acidente e mergulha em um lago e assenta no fundo do lago sobre as rodas. A porta tem 1,2m de altura e 1m de largura, e a parte superior da porta está 8m abaixo da superfície livre da água. Determine a força hidrostática sobre a porta e discuta se o motorista consegue abrir a porta. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Hipóteses: • A superfície inferior do lago é horizontal; • A cabine de passageiros está bem vedada, de modo que nenhuma água vaza para dentro; • A porta pode ser aproximada por uma placa retangular vertical; • A pressão na cabine de passageiros permanece com o valor atmosférico, uma vez que não há vazamento de água para dentro e, portanto, nenhuma compressão do ar interno. Assim, a pressão atmosférica se cancela nos cálculos uma vez que ela age em ambos os lados da porta; • O peso do carro é maior do que a força de flutuação (empuxo) que age sobre ele. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas • Propriedades: Tomamos a densidade da água como 1000kg/m³ em todo o lago. • Análise A pressão média sobre a porta é o valor da pressão no centroide, e esse valor de pressão é determinado por 𝑝𝑐 = 𝜌𝑔ℎ𝑐 = 𝜌𝑔 8 + 1,2 2 𝑝𝑐 = 1000 𝑥 9,81 𝑥 8 + 1,2 2 𝑝𝑐 = 84,4 𝑘𝑁 𝑚 2 Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas • Propriedades: Tomamos a densidade da água como 1000kg/m³ em todo o lago. • Análise Então, a força hidrostática resultante sobre a porta torna-se 𝐹𝑅 = 𝑝𝑐𝐴 = 𝑝𝑚é𝑑𝐴 𝐹𝑅 = 84,4 𝑥 1 𝑥 1,2 𝐹𝑅 = 101,3 kN RESPOSTA Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Discussão Uma pessoa forte pode levantar 100kg, cujo peso é 981N ou cerca de 1kN. Da mesma forma, a pessoa pode aplicar a força em um ponto mais distante das dobradiças (1m além) para obter o efeito máximo e gerar um momento de 1kN.m A força hidrostática resultante age sob o ponto médio da porta e, portanto, a uma distância de 0,5m das dobradiças. Isso gera um momento de 50,6kN.m, que é cerca de 50 vezes o momento que o motorista poderia gerar. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Ex2 - A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de A, tem 5m de largura. Determine a força resultante FR da água e do ar sobre a superfície inclinada. OBS: ρÁGUA = 999kg/m 3 g = 9,81m/s2 Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Ex3 – Uma comporta plana, de espessura uniforme, suporta uma coluna de água, conforme mostrado. Determine o peso mínimo da comporta necessário para mantê-la fechada. OBS: ρÁGUA = 999kg/m 3 g = 9,81m/s2 Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Ex4 – Um portão de 2000 kg e largura w = 8 m, tem comprimento L a ser determinado. A situação de equilíbrio é alcançada para D = 1m (nível da água) e ângulo de 30º, entre o portão e o nível do tanque. Determine o comprimento de equilíbrio. OBS: ρÁGUA = 999kg/m 3 g = 9,81m/s2 Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas Ex5 – Uma comporta retangular, de largura w = 2m, é articulada conforme mostrado, com um batente na borda inferior. Em que profundidade H a comporta estará prestes a abrir? OBS: ρÁGUA = 999kg/m 3 g = 9,81m/s2 Referências [1] ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. “Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações”. Volume Único. São Paulo: McGraw-Hill. 2007. [2] FOX, R.W.; MCDONALD, A.T.; PRITCHARD, P.J. “Introdução à Mecânicados Fluidos”. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC. 2006.
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