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Apostila Concreto 1 (LAJES) Prof. Areno

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AÇÕES E SOLICITAÇÕES
coeficiente de ponderação γf
γf = γf1 * γf2 * γf3
• γf1 – coeficiente referente à variabilidade das ações
• γf2 – coeficiente referente à simultaneidade de atuação das ações
• γf3 – coeficiente que considera os desvios gerados nas construções e as 
aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
γf = γf2 , sendo que
γf2 = obtido na tabela vista na página anterior; 
γf2 = 1 para combinações raras (são aquelas que ocorrem algumas 
vezes durante o período de vida da estrutura);
γf2 = ψ1 para combinações frequentes (são aquelas que se repetem
muitas vezes durante o período de vida da estrutura);
γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes (podem atuar durante
grande parte do período de vida da estrutura).
ESTADO LIMITE DE SERVIÇO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caros alunos, 
 
segue a resolução do exercício passado na aula. 
 
Para permitir um bom aproveitamento para seus estudos, solicito: 
 
1) acompanhamento dos procedimentos efetuados; 
2) levantamento de inconsistências porventura existentes, e consequentes atualização de dados; 
3) dimensionamento dos momentos negativos; 
4) elaboração de planta de armação para o dimensionamento feito pelo método da taxa de armadura. 
 
Bons estudos! 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
EXERCÍCIO 
 
L1: Sala de leitura. Piso de taco de madeira. 
L2: Sala de aula. Piso de material cerâmico. 
L3: Banheiro. Piso de granito 2cm. 
L4: Depósito de livros. Piso de lajota (1,5cm) assentada sobre 2cm de argamassa de cimento e areia 
Paredes de tijolos furados com 15cm de espessura e 2,80m de pé direito. 
CA-25, C35, Classe ambiental II 
 
1) TIPOS DE LAJES 
 
L1: 
333,1
5,4
6

lm
lM
 cruz L2: 
25,2
2
5,4

lm
lM
 1 direção 
 
L3: 
6,1
5,2
4

lm
lM
 cruz L4: 
25,1
2
5,2

lm
lM
 cruz 
 
2) CONDIÇÕES DE CONTORNO 
 
4
6
2
4

lM
lm
 OK: L1 E L2, L2 E L1 L1/L2: 
 
L1/L3: 
3
6*2
4
3
*2

lM
lm
 OK: L1 E L3, L3 E L1 
 
L1/L4: 
3
6*2
2
3
*2

lM
lm
 NÃO: L1 A L4, L4 E L1 
 
L3/L4: 
4
4
2
4

lM
lm
 OK: L3 E L4, L4 E L3 
 
 
 padronizando a borda em L1: 
 
OK
l
le
não
l
le
3
6*2
4
3
*2
3
6
4
3


 
 
Logo, a borda L1 será engastada. 
 
 
 
 
3) ALTURA DAS LAJES 
 
L1: 
cmcobdh
d
cmlm
lm
d
11213,105,2713,7
713,7
35*667,1
450
353
667,1*4,02,22
450
3*2

















 
 
L2: 
cmcobdh
d
cmlm
lm
d
8262,75,2762,4
762,4
35*2,1
200
353
2,12
200
3*2


















 
 
L3: 
cmcobdh
d
cmlm
lm
d
8079,75,2579,4
579,4
35*560,1
250
353
560,1*4,02,22
250
3*2

















 
 
L4: 
cmcobdh
d
cmlm
lm
d
8861,55,2361,3
361,3
35*70,1
200
353
70,1*4,02,22
200
3*2

















 
 
 
4) CARGA NAS LAJES 
 
L1: p = g + q 2
2
2
23
/95,5
/5,2
/7,0
/75,2/25*11,0
mNp
mNq
mNrevest
mkNmkNmPP
g













 
 
L2: p = g + q 
2
2
22
2
23
/898,7
/3
048,2
2
13*1*15,0*8,2
*
2
3
*
2
3
/85,0
/0,2/25*08,0
mNp
mkNq
lx
Ppar
paredes
mNrevest
mkNmkNmPP
g





















 
 
 
L3: p = g + q 
2
2
2
23
/244,6
/5,1
184,2
5,2*4
13*4*15,0*8,2
*
/56,0
/0,2/25*08,0
mNp
mkNq
lylx
Ppar
paredes
mNrevest
mkNmkNmPP
g























 
 
L4: p = g + q 2
2
23
/69,6
/4
69,021*02,018*015,0
/0,2/25*08,0
mNp
mkNq
revest
mkNmkNmPP
g












 
 
 
 
 
 
 
 
5) CÁLCULO DOS MOMENTOS 
5.1 - MÉTODO DE MARCUS 
 
 
L1: lx=4,5, =1,33 (caso 3): 
mkNMx .132,5
48,23
5,4*95,5 2

 
mkNMy .901,2
53,41
5,4*95,5 2

 
mkNXx .410,11
56,10
5,4*95,5 2

 
mkNXy .454,6
67,18
5,4*95,5 2

 
 
 
L2: não se pode usar Marcus: lajes contínuas armadas em uma direção 
mkNM .872,2
11
2*898,7 2

 
mkNX .949,3
8
2*898,7 2

 
 
 
L3: lx=2,5, =1,6 (caso 3): 
mkNMx .00,2
48,19
5,2*244,6 2

 
mkNMy .782,0
88,49
5,2*244,6 2

 
mkNXx .233,4
22,9
5,2*244,6 2

 
mkNXy .654,1
60,23
5,2*244,6 2

 
 
 
L4: lx=2,0, =1,25 (caso 3): 
mkNMx .051,1
46,25
0,2*69,6 2

 
mkNMy .673,0
78,39
0,2*69,6 2

 
mkNXx .372,2
28,11
0,2*69,6 2

 
mkNXy .519,1
62,17
0,2*69,6 2

 
 
 
 
EQUILÍBRIO DOS MOMENTOS: 
 
L1/L2: 
547,3646,0901,2)1(646,0
2
163,5454,6
163,5454,6*8,0
202,5
2
949,3454,6












LMyX
X
 
 
 
L1/L3: 
273,6141,1132,5)1(141,1
2
128,941,11
128,9410,11*8,0
822,7
2
233,4410,11












LMxX
X
 
 
 
L1/L4: 
273,6141,1132,5)1(141,1
2
128,941,11
128,9410,11*8,0
465,6
2
519,1410,11












LMxX
X
 
 
 
L3/L4: 
231,1180,0051,1)4(180,0
2
013,2372,2
898,1372,2*8,0
013,2
2
372,2654,1











LMxX
X
 
 
 
5.1 - MÉTODO DE CZERNY 
 
 
L1: lx=4,5, =1,33 (caso 3): 
mkNMx .699,4
*642,25
5,4*95,5 2

 
mkNMy .463,2
*92,48
5,4*95,5 2

 
mkNXx .545,11
*436,10
5,4*95,5 2

 
mkNXy .462,9
*734,12
5,4*95,5 2

 
 
* valores interpolados 
 
 
L2: não se pode usar Czerny: lajes contínuas armadas em uma direção 
mkNM .872,2
11
2*898,7 2

 
mkNX .949,3
8
2*898,7 2

 
 
 
L3: lx=2,5, =1,6 (caso 3): 
mkNMx .858,1
21
5,2*244,6 2

 
mkNMy .712,0
8,54
5,2*244,6 2

 
mkNXx .242,4
2,9
5,2*244,6 2

 
mkNXy .173,3
3,12
5,2*244,6 2

 
 
L4: lx=2,0, =1,25 (caso 3): 
mkNMx .959,0
28
0,2*69,6 2

 
mkNMy .587,0
6,45
0,2*69,6 2

 
mkNXx .411,2
1,11
0,2*69,6 2

 
mkNXy .074,2
9,12
0,2*69,6 2

 
 
 
EQUILÍBRIO DOS MOMENTOS:L1/L2: 
818,3946,0872,2)2(946,0
2
570,7462,9
570,7462,9*8,0
706,6
2
949,3462,9












LMX
X
 
 
 
L1/L3: 
854,5155,1699,4)1(155,1
2
236,9545,11
236,9545,11*8,0
894,7
2
545,11242,4












LMxX
X
 
 
 
L1/L4: 
854,5155,1699,4)1(155,1
2
236,9545,11
236,9545,11*8,0
810,6
2
074,2545,11












LMxX
X
 
 
 
L3/L4: 
150,1191,0959,0)4(191,0
2
792,2173,3
538,2173,3*8,0
792,2
2
411,2173,3











LMxX
X
 
 
 
 
6) DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA 
6.1 - MÉTODO CLÁSSICO 
 
ADOTANDO OS MOMENTOS DE CZERNY: 
 
 
a) ARMADURA MÍNIMA: 
 
2/5,225
4,1
35
4,1
cmkNMPa
fck
fcd 
 
2/739,21391,217
15,1
250
15,1
cmkNMPa
fyk
fyd 
 
 
L1: 
291,2100*11*
739,21
5,2
*023,0**023,0 cmAc
fyd
fcd
Asmín 
 
 
L2: 






















2
2
.
2
.Pr
66,1100*8*
739,21
5,2
*018,0**018,0
9,0
*2,0
22,3100*8*
739,21
5,2
*035,0**035,0
cmAc
fyd
fcd
cm
As
As
cmAc
fyd
fcd
As
mínSec
míninc
 
 
 
L3: 
212,2100*8*
739,21
5,2
*023,0**023,0 cmAc
fyd
fcd
Asmín 
 
 
L4: 
212,2100*8*
739,21
5,2
*023,0**023,0 cmAc
fyd
fcd
Asmín 
 
 
b) VERIFICAÇÃO DE ARMADURA NEGATIVA: 
 
mkNcmkNfcddbmMpafck wcalc .45,40.345,045.45,2*713,7*100*272,0***272,035
22 
 
obs: esta verificação foi feita na L1, que possui o maior momento positivo. 
Maior momento positivo no ELU = 5,854*1,4 = 8,196kN.m logo não serão usadas armaduras duplas. De agora em 
diante, o m calc que aparece nas fórmulas é o momento x coeficiente de ponderação. 
 
c) CÁLCULO DAS ARMADURAS: 
 
L1 NA DIREÇÃO X: Mx = 5,854 kN.m = 585,4 kN.cm => 585,4 * 1,4 = 819,56 kN.cm 
 
0,1
96646,0*4,01
08385,0
5,2*713,7*100*272,0
56,819
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22



sx
xz
fcddb
m
x
w
calc



 
 
Limitações: 













cmh
cm
Sp
mmmáxcmmáxmáx
h
máx
2211*22
20
7
75,13375,1
8
11
8

 
 
 206,5
739,21*713,7*96646,0*0,1
56,819
***
cm
fyddzs
m
As calc
 8 C 9,5 
 
L1 NA DIREÇÃO Y: My = 2,463 kN.m = 246,3 kN.cm => 246,3 * 1,4 = 344,82kN.cm 
0,1
98617,0*4,01
03457,0
5,2*713,7*100*272,0
82,344
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22



sx
xz
fcddb
m
x
w
calc



 
 208,2
739,21*713,7*98617,0*0,1
82,344
***
cm
fyddzs
m
As calc
 6,3 C 15 
 
L2 PRINCIPAL: M = 3,818 kN.m =381,8 kN.cm => 381,8 * 1,4 = 534,52kN.cm 
0,1
941064,0*4,01
14734,0
5,2*762,4*100*272,0
52,534
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22



sx
xz
fcddb
m
x
w
calc



 
Limitações: 













cmh
cm
Sp
mmmáxcmmáxmáx
h
máx
168*22
20
7
0,100,1
8
8
8

 
 
 249,5
739,21*762,4*941064,0*0,1
52,534
***
cm
fyddzs
m
As calc
 8 C 9 
 
L2 SECUNDÁRIA 
Limitações: 
3310 sec  S
 
 











2
2
2
.
66,1100*8*
739,21
5,2
*018,0**018,0
9,0
098,149,5*2,0*2,0
cmAc
fyd
fcd
cm
cmAs
As mínSec
 

 6,3 C 19 
 
 
 
L3 NA DIREÇÃO X: Mx = 1,858 kN.m = 185,8 kN.cm => 185,8 * 1,4 = 260,12 kN.cm 
0,1
969904,0*4,01
07524,0
5,2*579,4*100*272,0
12,260
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22



sx
xz
fcddb
m
x
w
calc



 
Limitações: 













cmh
cm
Sp
mmmáxcmmáxmáx
h
máx
168*22
20
7
0,100,1
8
8
8

 
 
 269,2
739,21*579,4*969904,0*0,1
12,260
***
cm
fyddzs
m
As calc
 6,3 C 11 
 
L3 NA DIREÇÃO Y: My = 0,712 kN.m = 71,2 kN.cm => 71,2 * 1,4 = 99,68 kN.cm 
0,1
98869,0*4,01
02828,0
5,2*579,4*100*272,0
68,99
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22



sx
xz
fcddb
m
x
w
calc



 
 
 201,1
739,21*579,4*98869,0*0,1
68,99
***
cm
fyddzs
m
As calc
 usar As mín = 2,12cm2 

6,3 C 14 
 
 
 
L4 NA DIREÇÃO X: Mx = 1,150 kN.m = 115,0 kN.cm => 115,0 * 1,4 = 161,00 kN.cm 
0,1
965258,0*4,01
086855,0
5,2*361,3*100*272,0
0,161
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22



sx
xz
fcddb
m
x
w
calc



 
Limitações: 













cmh
cm
Sp
mmmáxcmmáxmáx
h
máx
168*22
20
7
0,100,1
8
8
8

 
 
 228,2
739,21*361,3*965258,0*0,1
0,161
***
cm
fyddzs
m
As calc
 5 C 8,5 
 
 
 
 
L4 NA DIREÇÃO Y: My = 0,587 kN.m = 58,7 kN.cm => 58,7 * 1,4 = 82,18kN.cm 
 
0,1
98258,0*4,01
04355,0
5,2*361,3*100*272,0
18,82
5625,125,1
***272,0
5625,125,1
22



sx
xz
fcddb
m
x
w
calc



 
 2145,1
739,21*361,3*98258,0*0,1
18,82
***
cm
fyddzs
m
As calc
 usar As mín = 2,12cm2 

 5 C 9 
 
 
MOMENTO NEGATIVO L1/L2 => X= -7,570 kN.m = -757,0 kN.cm => 757*1,4= 1059,8 kN.cm 
 
MOMENTO NEGATIVO L1/L3 e L1/L4 => X= -9,236 kN.m = -923,6 kN.cm => 923,6*1,4= 1293,04 kN.cm 
 
MOMENTO NEGATIVO L3/L4 => X= -2,792 kN.m = -279,2 kN.cm => 279,2*1,4= 390,88kN.cm 
 
 
 
PLANTA DE ARMAÇÃO: 
 
 
6.2 - MÉTODO DA TAXA DE ARMADURA 
 
a) ARMADURA MÍNIMA: 
 
L1: 
299,011*100*)
100
135,0
(*67,0***67,0 cmhbAs wmínmín   
L2: 





















2
2
2
80,08*100*)
100
201,0
(*5,0***5,0
9,0
*2,0
61,18*100*)
100
201,0
(**
sec
cmhb
cm
As
As
cmhbAs
wmín
mín
wmínmínprinc


 
 
L3: 
272,08*100*)
100
135,0
(*67,0***67,0 cmhbAs wmínmín   
 
L4: 
272,08*100*)
100
135,0
(*67,0***67,0 cmhbAs wmínmín   
 
 
b) VERIFICAÇÃO DE ARMADURA NEGATIVA: 
Já visto no cálculo pelo método clássico 
 
 
c) CÁLCULO DAS ARMADURAS: 
 
L1 NA DIREÇÃO X: Mx = 5,854 kN.m = 585,4 kN.cm => 585,4 * 1,4 = 819,56 kN.cm 
 
048,025,7
56,819
713,7*100 2
2
 Ks
M
db
Kc w
 
 
21,5
713,7
56,819*048,0*
cm
d
MKs
As 
 
 
 
L1 NA DIREÇÃO Y: My = 2,463 kN.m = 246,3 kN.cm => 246,3 * 1,4 = 344,82kN.cm 
047,025,17
82,344
713,7*100 2
2
 Ks
M
db
Kc w
 
 
210,2
713,7
82,344*047,0*
cm
d
MKs
As 
 
 
 
 
L2 PRINCIPAL: M = 3,818 kN.m =381,8 kN.cm => 381,8 * 1,4 = 534,52kN.cm 
049,024,4
52,534
762,4*100 2
2
 Ks
M
db
Kc w
 
 
205,5
762,4
52,534*049,0*
cm
d
MKs
As 
 










2
2
2
80,08*100*)
100
201,0
(*5,0***5,0
9,0
01,105,5*2,0*2,0
sec
cmhb
cm
cmAs
As
wmín
mín

 
 
L3 NA DIREÇÃO X: Mx = 1,858 kN.m = 185,8 kN.cm => 185,8 * 1,4 = 260,12 kN.cm 
047,006,8
12,260
579,4*100 2
2
 Ks
M
db
Kc w267,2
579,4
12,260*047,0*
cm
d
MKs
As 
 
 
 
L3 NA DIREÇÃO Y: My = 0,712 kN.m = 71,2 kN.cm => 71,2 * 1,4 = 99,68 kN.cm 
047,003,21
68,99
579,4*100 2
2
 Ks
M
db
Kc w
 
202,1
579,4
68,99*047,0*
cm
d
MKs
As 
 
 
L4 NA DIREÇÃO X: Mx = 1,150 kN.m = 115,0 kN.cm => 115,0 * 1,4 = 161,00 kN.cm 
048,002,7
161
361,3*100 2
2
 Ks
M
db
Kc w
 
 
23,2
361,3
161*048,0*
cm
d
MKs
As 
 
 
 
L4 NA DIREÇÃO Y: My = 0,587 kN.m = 58,7 kN.cm => 58,7 * 1,4 = 82,18kN.cm 
047,075,13
18,82
361,3*100 2
2
 Ks
M
db
Kc w
 
215,1
361,3
18,82*047,0*
cm
d
MKs
As 

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