Simulado Espaços Vetoriais e Geometria

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
SIMULADO DE P1:ESPAC¸O˜S VETORIAIS E GEOMETRIA
Curso: A´lgebra linear I Data:
Nome: Professor:
Esta prova tem 7 perguntas. Fazer so´ 6 delas. Cada uma pesa 1, 6. O Fato de voceˆ escrever seu nome
completo em cada folha e escrever de forma explicita qual e´ a pergunta que vai recusar na primeira folha de
resposta tera˜o um peso de 0,4. Se voceˆ na˜o escrever suas soluc¸o˜es de forma ordenada ou escrever argumentos
ambiguos enta˜o isso implicara´ na perda de 0,3pts em cada evento.
Considere o plano S de equac¸a˜o 4x− y + 3z = 0 e os pontos A(0,−1/2, 0), B(−1, 2, 5) e C(2, 1, 4).
1) Encontrar a equac¸a˜o de um plano T que e´ paralelo ao plano S que passa pelo ponto A(0,−1/2, 0)
(Fazer um gra´fico para entender a situac¸a˜o). E´ verdade que a reta que passa pelos pontos A e C na˜o
intercepta o plano S?
2) Calcular a projec¸a˜o ortogonal do vetor ~AB (vetor que tem ponto inicial A e ponto final B) sobre o
vetor normal ao plano T . Qual e´ o valor e o significado geome´trico da norma da projec¸a˜o ortogonal
que foi calculada?
3) Obter a equac¸a˜o do plano U que passa pelos pontos B(−1, 2, 5) e C(2, 1, 4) e que e´ perpendicular ao
plano S. Se nT e´ o vetor normal ao plano T da pergunta 1) e nU e´ o vetor normal ao plano U , enta˜o
o produto interno 〈nT , nU〉 = 0?
4) Escrever uma definic¸a˜o matema´tica de subespac¸o vetorial. E´ verdade que o plano S e´ subespac¸o
vetorial de (R3,+, ·) quando consideramos os seus pontos como se fossem vetores?
Considere os vetores u = (1, 0,−1) e v = (1, 1, 0) no espac¸o R3.
5) Provar que ||u × v||2 + 〈u, v〉2 = ||u||2||v||2. Qual e´ a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o a origem
(ponto inicial dos vetores) e os pontos finais dos vetores u e v?
Seja S = {v1, v2, v3, v4} ⊂ R
4 onde v1 = (1, 0, 1,−1), v2 = (−3, 0,−3, 3), v3 = (1,−1, 0, 2) e v4 = (5, 1, 6, 8).
Denotamos por W o espac¸o gerado por S.
6) Os vetores v1, v2 e v3 sa˜o linearmente independentes? E´ verdade que W na˜o e´ todo R
4?
7) Obter uma base B de W e sua dimensa˜o. Podemos acrescentar vetores a sua base obtida B de W
para formar uma base de R4? Explique.
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