ULBRA MOISES

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PRÓ-LETRAMENTO EM MATEMÁTICA
II SEMINÁRIO DE REVEZAMENTO
ULBRA/CANOAS-RS
Abril
2010
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA METODOLOGIA DE ENSINO
PROF. MOYSÉS GONÇALVES SIQUEIRA FILHO
 
 DECH/CEUNES/UFES
 moysessiqueira@uol.com.br
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: um breve panorama
ATÉ O FINAL DA DÉCADA DE 60, AS PESQUISAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ERAM DEMASIADAMENTE INFLUENCIADAS PELAS TEORIAS DE APRENDIZAGEM CONEXIONISTAS, AS QUAIS PRIVILEGIAVAM PRÁTICAS REPETITIVAS, DIGA-SE, A IMITAÇÃO E A MEMORIZAÇÃO, SEM LEVAR O ALUNO A FAZER CONJECTURAS OU ANALOGIAS. 
A PARTIR DA DÉCADA DE 70, NO ENTANTO, O PANORAMA SE ALTERA. OS EDUCADORES MATEMÁTICOS QUE EM SUAS INVESTIGAÇÕES FOCALIZARAM A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MUDAM SUA DIREÇÃO, OU SEJA, AS ATENÇÕES SE VOLTAM PARA OS MÉTODOS, PROCEDIMENTOS, ESTRATÉGIAS UTILIZADAS PELOS ALUNOS NA SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA.
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A DÉCADA DE 80 FOI O PERÍODO EM QUE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SE TORNOU UMA DAS PRINCIPAIS METAS DO ENSINO DA MATEMÁTICA, POIS, HAVIA UM CONTINGENTE DE EDUCADORES QUE SE INTERESSAVAM PELO RACIOCÍNIO DESENVOLVIDO E NÃO PELA RESPOSTA DADA E, PORTANTO, CONCEBIAM A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO UM PROCESSO. 
NOS ANOS 90 PERCEBE-SE UM INTERESSE MAIOR PELO PARADIGMA ALTERNATIVO DO PAPEL DO AFETO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. 
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: questões pertinemtes
O que é um problema?
O que é uma atividade de resolução de problemas?
Que tipos de problemas podemos utilizar?
Como um professor pode conduzir uma aula de resolução de problemas? 
Como fazer perguntas que ajudem o aluno a raciocinar e a resolver problemas com mais confiança?
Como elaborar e/ou selecionar em livros boas atividades de resolução de problemas?
Como avaliar as atividades de resolução de problemas?
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O QUE É UM PROBLEMA?
[PARA POLYA]
[…] significa procurar conscientemente alguma ação apropriada para atingir um objetivo claramente definido mas não imediatamente atingível (1997, p. 1-2).
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PROBLEMA OU EXERCÍCIO?
O preço de um novilho é 25 dólares e o de uma vaca 26 dólares. Um fazendeiro tem 1000 dólares para gastar em gado. Quantas vacas e quantos novilhos poderá comprar?
O preço de um novilho é 25 dólares e o de uma vaca 26 dólares. Um fazendeiro comprou 14 novilhos e 25 vacas. Quanto gastou ao todo? 
A soma de três números inteiros consecutivos é 279. Calcule os números inteiros.
Usando apenas 6 palitos de fósforos, formar quatro triângulos equiláteros geometricamente iguais.
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OUTROS EXEMPLOS
 Exemplo O (um exercício)
Calcular o valor de x – 3 para x = 5.
 Exemplo 1. (um problema de “palavras”)
Um cliente comprou num dia 2,3 metros de fazenda. No dia seguinte, comprou mais 1,5 metros da mesma fazenda. Quantos metros de fazenda comprou no total?
 Exemplo 2. (um problema para equacionar)
O João tem a metade da idade do pai. Sabendo-se que a soma das duas idades é 72, quantos anos tem o João?
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 Exemplo 3. (um problema “para demonstrar”)
Mostre que a soma de dois números ímpares é sempre um número par
 Exemplo 4. (um problema de vida real)
Construir a planta de um campo de futebol e uma pista de atletismo.
 Exemplo 5. (uma situação problemática)
O produto de três números consecutivos é sempre um número par múltiplo de 3. Comentar a situação se substituirmos produto por soma.
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Um Professor propõe a seguinte questão:
Rita comprou seis quilos de laranja ao preço de cento e cincoenta escudos o quilo. Que idade tem a Rita?
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Uma das soluções apresentadas
6 X 150 = 900. É muito grande, ninguém tem esta idade!
150 + 6 = 156. Ainda é muito grande para a idade de uma pessoa.
150 – 6 = 144. É igualmente grande.
150: 6 = 25. Achei! A Rita tem 25 anos!
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O elevador de um edifício de 10 andares parte do térreo com 4 pessoas: 2 mulheres, 1 homem e 1 criança. Pára no 4º andar e aí sai 1 mulher e entram 3 homens. No 7º andar, saem 2 pessoas. Sabendo-se que houve apenas mais uma parada no 9º andar onde não desceu nenhuma criança e que o elevador chegou ao 10º andar com 11 pessoas, pergunta-se: 
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QUAL É A IDADE DO ASCENSORISTA?
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Em busca de uma formalização que expresse a idade do ascensorista:
(4 x 10) - 11 = 40 - 11= 29 
(nº de pessoas que partiram do térreo x nº de andares) – nº de pessoas que chegaram ao 10º andar
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Por que os alunos agiram desse modo, como se o ensino da Matemática os tivesse transformado em autômatos, respondendo de modo absurdo a questões absurdas?
Qual a origem do grande respeito que eles demonstraram por regras não compreendidas?
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CHEVALLARD [1988]
Sempre há uma resposta correta a uma questão matemática, e o professor a conhece. Deve-se sempre dar uma resposta que eventualmente será corrigida;
Para resolver um problema é preciso encontrar os dados no enunciado. Nele devem constar todos os dados necessários e não deve haver nada de supérfluo 
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Em Matemática resolve-se um problema efetuando-se operações. A tarefa é encontrar a boa operação e efetuá-la corretamente. Certas palavras-chave contidas no enunciado permitem que se adivinhe qual é ela;
Os números são simples e as soluções também devem ser simples.
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A forma como vemos e entendemos a Matemática tem fortes implicações no modo como entendemos e praticamos o seu ensino e vice-versa.
 É possível se aprender a ensinar?
 Se ensina como se aprende?
 Quando se aprende “errado” então se ensina “errado”?
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COMO RESOLVER UM PROBLEMA?
COMPREENSÃO DO PROBLEMA
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO DE AÇÃO
EXECUÇÃO DO PLANO
REAVALIAÇÃO DOS RESULTADOS
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O QUE É UMA ATIVIDADE DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS?
[] deve ser um processo que envolva ativamente os alunos na formulação de conjecturas, na investigação e exploração de idéias, que os leve a discutir e pôr em questão sua própria maneira de pensar e também a dos outros, a validar resultados e a construir argumentos convincentes. Por isso mesmo, a resolução de problemas não acontece quando os alunos fazem uma página de cálculos, quando os alunos seguem o exemplo do cimo da página ou quando todos os problemas se destinam à prática do algoritmo apresentado nas páginas precedentes (NTCM, 1997).
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TIPOS DE PROBLEMAS
 Problemas Rotineiros: geralmente são aqueles que aparecem após a exposição de um conteúdo e caracterizam-se por fornecer aos alunos a prática em usar algoritmos e exigir deles a memorização de um conteúdo específico, uma definição, uma propriedade ou teorema, ou, então, ainda destreza de cálculo pela repetição. São encontrados facilmente em livros didáticos do ensino fundamental e médio. Podem, às vezes, envolver só um tipo de cálculo; outras, dois ou mais.
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 Problemas Recreativos: caracterizam-se por possuir em seu texto aspectos históricos curiosos, lendários, e também do tipo quebra-cabeça. Algumas preocupações giram em torno destes tipos de problemas: [a] não há uma definição de qual tópico da Matemática poderia ser considerado universalmente como matemática recreativa; [b] a má utilização destes problemas, que transformariam a sala de aula num local de diversão e brincadeira. Por outro lado, são problemas que motivam o aluno, dando chances ao professor de mostrar o quanto a Matemática pode ser agradável, além de possibilitar uma aprendizagem mais significativa.
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 Problemas Não-Rotineiros: caracterizam-se por não apresentar estratégias de solução contida no enunciado. Este tipo de problema dá possibilidades ao aluno de desenvolver estratégias gerais de entendimento; planejar seus comandos de ataques, executá-los; avaliar as suas tentativas de solução, além de lhe permitir perceber a Matemática como uma ciência em constante movimento. Conduz o aluno a refletir e monitorar seu próprio pensamento.
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 Problemas
Reais: são aqueles que apresentam uma situação-problema real, isto é, problemas relacionados ao cotidiano ou que tenham significado pelo grupo. Esses problemas fornecem ao aluno a oportunidade de usar uma variedade de habilidades matemáticas, procedimentos e conceitos para resolvê-los. São excelentes para que o aluno perceba a utilidade e a importância da Matemática no cotidiano. Em nível superior, este tipo de problema pode ser trabalhado por meio da Modelagem Matemática. 
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ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO
Procurar palavras e frases-chave
Escrever informação relevante
Fazer uma lista, tabela ou quadro organizados
Fazer desenhos, gráficos
Experimentar dados ou dramatizar a situação
Usar números simples
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Procurar um padrão de regularidade 
Generalizar
Usar dedução ou indução
Trabalhar de trás para a frente
Adivinhar (dar palpites) e testar
Resolver um problema semelhante mais simples
Escrever uma fórmula
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OFICINA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Problemas em tiras
Você verá um emaranhado de frases. Essa técnica é conhecida como problema em tiras e tem por finalidades: elaborar um texto matemático coeso e coerente; desenvolver o raciocínio matemático, assim como, aplicar, em sua solução, as estratégias adequadas. Você deverá: 
 1. organizá-las formulando, dessa forma, um enunciado, sobretudo claro, de um problema; 
 2. resolvê-lo.
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Na foto tirada por um dos cavalos
quantas galinhas
fazer fotos deles todos juntos. 
viam-se 13 cabeças. 
cavalos e galinhas resolveram 
havia no Sítio?
podia-se contar 34 patas. 
Quantos cavalos e 
No Sítio “La Fontaine”,
Na foto tirada por uma das galinhas, 
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Os 4 textos a seguir são muito semelhantes mas correspondem a ideias matemáticas distintas. Espera-se que os alunos justifiquem as escolhas das operações para resolver os problemas com as ideias básicas das operações [5º ano].
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Josué trabalha em uma livraria e precisou organizar alguns livros em 12 prateleiras, colocando em cada uma 108 livros. Quantos livros Josué organizou?
Josué trabalha em uma livraria e precisou organizar 108 livros em 12 prateleiras, colocando a mesma quantidade em cada uma. Quantos livros Josué organizou em cada prateleira?
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Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes com 5 figurinhas em cada um. Ao abrir os envelopes, ele descobriu que 27 das figurinhas eram repetidas. Quantas figurinhas ele pode colar em seu álbum?
Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes com 5 figurinhas em cada um. Ao abrir os envelopes, ele descobriu que nenhuma delas era repetida e colou as figurinhas em seu álbum colocando o mesmo número de figurinhas em cada uma das 15 páginas. Quantas figurinhas ele pode colar em cada página do álbum?
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Comparar duas formas diferentes de resolver o mesmo problema
Além de mostrar que um problema pode ser resolvido de diferentes maneiras, o objetivo desta atividade é fazer com que o aluno reflita sobre as duas formas de resolver um problema e compará-las. Não se trata de priorizar as contas em detrimento dos procedimentos pessoais de cálculo, mas sim de destacar a rapidez ou simplicidade de uma forma de resolver em relação a outra [2º ano].
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Eu preciso comprar uma calça que custa 35 reais, mas só consigo guardar 5 reais por semana. Durante quantas semanas eu preciso economizar para conseguir comprar essa calça?
Qual das duas formas de resolução você considera melhor? Por que? [respostas pessoais]
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Resolver problemas sem números podem auxiliar para desmistificar que Matemática só envolve cálculos. Organizar as informações em um tabela colaboram para o encadeamento do raciocínio lógico [3º ano].
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Lalá, Lili e Lola têm um animal de estimação. Cada uma das meninas viajou com seu bichinho para um lugar diferente. Siga as pistas:
Lalá foi para Maceió, mas o gato não. 
O gato foi para Gramado. 
O passarinho é de Lola. Agora responda:
1. Para onde Lili viajou?
2. Quem viajou para salvador?
3. Que é a dona do cachorro?
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FORMAÇÃO E DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL DO PROFESSOR
O processo de formação do professor acontece em um movimento evolutivo contínuo no qual suas ações e reflexões configuram seu próprio fazer.
O desenvolvimento profissional do professor acontece pelas trocas intersubjetivas com outros sujeitos da prática educativa [colegas, formadores e alunos] e pela busca de sentido sobre o que somos e o que fazemos.
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A perspectiva inovadora da prática pedagógica não reside na aplicação pura e simples de uma nova técnica de ensino, mas sim na postura diferenciada que o professor e os alunos apresentam em relação ao conhecimento. Postura essa, interrogativa, questionadora, investigativa, exploratória e de produção e de negociação de sentidos perante o saber.
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Assim sendo, professores e alunos se constituem em sujeitos críticos e autônomos do aprender e do conhecer. É sob esta relação modificada do sujeito [professor ou aluno] com o saber [docente ou escolar] que o professor pode, concomitantemente, mudar-se [saber-ser] e mudar sua prática pedagógica [saber-fazer]
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Quando este encontro ou simbiose ocorre, temos aquilo que Larrosa (1996) chama de experiência autêntica, isto é, uma relação interior que o sujeito estabelece com o saber, transformando-se ou convertendo-se em um sujeito modificado.