Módulo III Desigualdade de Clausis, Entropia, Geração de Entropia

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Módulo III – Desigualdade de Clausis, Entropia, Geração de Entropia. 
 
Desigualdade de Clausius 
 Aplicável para qualquer ciclo reversível ou irreversível. Ela foi 
desenvolvida pelo físico alemão R. J. E. Clausius (1822-1888) e é expressa 
por: 
 
∮(
 
 
)
 
 
 onde δQ/T representa a soma de todo calor transferido de ou para um 
sistema dividida pela temperatura da fronteira. 
 
 A desigualdade tem a mesma interpretação do enunciado de Kelvin-
Planck: a igualdade é válida quando não ocorre irreversibilidades internas, e a 
desigualdade é válida quando irreversibilidades estão presentes. Com isso 
podemos escrever a desigualdade como: 
 
∮(
 
 
)
 
 
 
 Sendo: 
 
 {
 
 
 
 
 
Entropia 
Ao contrário da massa e energia que se conservam, a entropia é 
produzida sempre que estão presentes condições de irreversibilidade (como 
por exemplo, o atrito). 
“É impossível para qualquer sistema operar de uma forma que a entropia 
seja destruída”. 
A entropia é uma propriedade que nos permite aplica as 2ª Lei da 
Termodinâmica de forma quantitativa e derivá-la de um ciclo para um processo 
Suponha um processo reversível de 1 para 2 indo pelo caminho A e 
retornando pelo caminho B ou C como mostrado na figura. 
 
 
 
Segundo a desigualdade de Clausis para o ciclo AB temos: 
 
(∫
 
 
 
 
)
 
 (∫
 
 
 
 
)
 
 
 
O mesmo acontece indo pelo caminho C e retornando por B: 
 
(∫
 
 
 
 
)
 
 (∫
 
 
 
 
)
 
 
 
Subtraindo as equações temos: 
 
(∫
 
 
 
 
)
 
 (∫
 
 
 
 
)
 
 
 
Portanto a integral depende apenas dos estados inicial e final e não do 
caminho tomado. 
 (∫
 
 
 
 
)
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] 
 (∫
 
 
 
 
)
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] 
 
Não existe um cenário físico associado com a entropia, portanto seu 
melhor entendimento será no uso. 
Porém a entropia através dessa maneira é de difícil obtenção, então 
podemos buscar a variação da entropia através de propriedades mais 
facilmente determináveis como veremos nos módulos adiante. 
 
Geração de Entropia 
 A entropia é gerada durante um processo irreversível, e essa geração 
deve totalmente as irreversibilidades presentes no processo. Matematicamente 
o balanço de entropia para um sistema fechado toma a forma: 
 
 (∫
 
 
 
 
)
 
 
 onde σ é a geração de entropia que pode ser escrito como Sger. 
 
 Observe que a geração de entropia é sempre uma quantidade positivo 
ou nula. Por depender do processo esse valor não é uma propriedade do 
sistema. Com isso percebemos que para um sistema isolado a entropia sempre 
aumenta ou, no caso limite de um processo reversível, ela permanece 
constante. Isso é conhecido com princípio do aumento de entropia. 
O princípio do aumento da entropia não significa que a entropia de um 
sistema não possa diminuir. A variação da entropia de um sistema pode ser 
negativa durante um processo, mas a geração de entropia não pode. 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Um arranjo cilindro-pistão contém uma mistura de água líquida e vapor 
d’água a 300 K. Durante um processo a pressão constate, 750 kJ de calor 
transferidos para a água. Como consequência, parte do líquido do cilindro é 
vaporizada. Determine a variação de entropia da água durante o processo. 
 
Resolução: 
ΔS = Q/T = 750/300 
ΔS = 2,5 kJ/K 
 
2) Água, inicialmente no estado de líquido saturado a 150°C, está contida em 
um conjunto cilindro-pistão. A água é submetida a um processo que a leva 
ao estado correspondente de vapor saturado, durante o qual o pistão se 
move livremente ao longo do cilindro. Não ocorre transferência de calor 
para a vizinhança. Se a mudança de estado acontece pela ação de um 
agitador, determine o trabalho líquido por unidade massa e a quantidade de 
entropia produzida por unidade de massa 
 
Resolução: 
ΔU + ΔEC + ΔEP = Q – W 
W/m = - (u2 – u1) 
Das tabelas termodinâmicas temos que: u1 = 631,68 kJ/kg e u2 = 2559,5 kJ/kg 
W/m = - (2559,5 – 631,68) 
W/m = -1927,82 kJ/kg 
 
ΔS = Q/T + σ 
σ/m = s2 – s1 
Das tabelas termodinâmicas temos que: s1 = 1,8418 kJ/kgK e s2 = 6,8379 
kJ/kgK 
σ/m = 6,8379 – 1,8418 
σ/m = 4,9961 kJ/kgK 
 
 
Exercícios Propostos 
1) Um tanque rígido contém um gás ideal a 40°C que é agitado por uma roda 
de pás. A roda de pás realiza 200 kJ de trabalho sobre o gás ideal. 
Observa-se que a temperatura do gás ideal permanece constante durante 
esse processo devido à transferência de calor entre o sistema e a 
vizinhança a 30°C. Determine a variação de entropia do gás ideal. 
Resposta: zero 
 
2) Ar é comprimido em um compressor de 12 kW de P1 até P2. A temperatura 
do ar é mantida constante a 25°C durante o processo devido à transferência 
de calor para a vizinhança a 10°C. Determine a taxa de variação da entropia 
do ar. 
Resposta: - 0,0403 kW/K 
 
3) Durante o processo isotérmico de adição de calor do ciclo de Carnot, 900 kJ 
de calor são adicionados ao fluido de trabalho a partir de uma fonte a 
400°C. Determine: 
a) a variação da entropia do fluido de trabalho, 
b) a variação da entropia da fonte e 
c) a variação total da entropia do processo. 
Resposta: 1,337 kJ/K; - 1,337 kJ/K; zero 
 
4) Um quilograma de água contida em um conjunto cilindro-pistão, inicialmente 
a 160°C e 150 kPa, é submetido a um processo de compressão isotérmica 
até o estado de líquido saturado. Para o processo, W = - 471,5 kJ. 
Determine: 
a) o calor transferido, em kJ. 
b) A variação da entropia, em kJ/K. 
Resposta: 2391,84 kJ; -5,5238 kJ/K 
 
5) Um décimo de kmol de monóxido de carbono em um conjunto cilindro-
pistão é submetido a um processo a partir de p1 = 150 kPa e T1 = 300 K a p2 
= 500 kPa e T2 = 370 K. Para o processo, W = - 300 kJ. Utilizando o modelo 
de gás ideal, determine: 
a) o calor transferido, em kJ. 
b) a variação de entropia, em kJ/K. 
Resposta: - 154 kJ; - 0,3891 kJ/K 
 
6) Vapor entra em uma turbina operando em regime permanente a 1 MPa e 
200°C, e sai a 40°C com um título de 83%. As perdas de calor e os efeitos 
de energias cinética e potencial podem ser desprezados. Determine: 
a) o trabalho produzido pela turbina, em kJ/kg de vapor escoando, 
b) a variação da entropia específica da admissão à descarga, em kJ/K por 
kg de vapor escoando. 
Resposta: 662,8 kJ/kg; 0,2566 kJ/kgK