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EXERCÍCIOS
1) O que se pode afirmar sobre u.v, se .
2) O que se pode afirmar sobre u.v, se .
3) O que se pode afirmar sobre u.v, se .
4) O que se pode afirmar sobre u e v, se .
5) O que se pode afirmar sobre u e v, se .
6) Calcular os ângulos entre os vetores e, sendo:
 a) =(1,2) e=(-1,2) b) =(2,-1) e=(1,2) c) =(0,2) e=(0,1)
d) =(1,1,4) e=(-1,2,2) e) =(2,-1,2) e=(-1,2,2) f) =(0,2,4) e=(0,1,2)
 7) Sabendo que o ângulo entre os vetores =(2,1,-1) e=(1,-1,m+2) é , calcular m.
8) Mostre que, se v = (x1, y1, z1)  e u = (x2, y2, z2), a projeção de v na direção definida por u é dada por (x1x22 + y1y2x2 + z1z2x2, x1x2y22 + y1y22 + z1z2y2,x1x2z2 + y1y2z2 + z1z22)/(x22 + y22 + z22).
9) Calcule o módulo da projeção do vetor (2, 3, 4) sobre a reta definida pela direção (1, 1, 1).
10) Determine a projeção do vetor (-9, 3, 7) sobre a reta definida pelo unitário (3/13, 4/13, 12/13).
11) Calcule o menor ângulo formado pelo vetores (5, 4, -1) e (2, 3, 4).
12) Calcule o menor ângulo formado pelos vetores (2, 1, 2) e (6, 3, 6).
13) Calcule o menor ângulo formado pelos vetores (5, 7, 6) e (2, 2, -4).
14) Calcule os ângulo do triângulo de vértices A = (1, 2, 3), B = (-5, 1, 2) e C = (7, -3, 6). 
EXERCÍCIOS:
1 - Prove que  u . v = v . u  e (u . v) . w = u . (v . w).
2 - Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial não é comutativo e nem associativo.
3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) três vetores. Calcule:
     ( a ) u . v          ( b ) u x w          ( c )  (u . v) . w         ( d ) u x (v . w)          ( e ) (u x v) . w
     ( f ) 2u x 3w            ( g ) u . 2w  + 3u . 4v            ( h ) u x (w x v)         ( i ) (u x w) x v
     ( j ) 2u . 3w            ( k ) u . (v . w)           ( m ) u x (v . w)
4 - Determine o co-seno do ângulo formado pelos vetores u e v dados no exercício 3.
5 - Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores (3, -4, -6) e (8, 5, 0).
6 - Calcule o módulo de (3, -4, -6) x (8, 5, 0).
7 - Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) é paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x,  e y.
8 - A operação u . v + u x v é possível ou não. Justifique sua resposta. Se possível, o resultado é um vetor ou um escalar?
9 - A operação u. [(v + u) x v] é possível ou não? Justifique sua resposta. Se possível, o resultado é um vetor ou um escalar?
10 - Calcule o vetor unitário na direção de (u.v) x w, se u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1).
EXERCÍCIOS:
1. Considere os vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5), w = (-3, -4, 1).
Calcule: a) (u.v).w     b) u.(v.w)        c) w.(u.v)        d) u x (v.w)
e) u x (v x w)           f) (u x v) x w        g) w x (u x v).
2. Sabe-se que w = (2, 3, a) é paralelo ao plano formado pelos vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5). Calcule o valor de "a".
3. Se w = (x, 2x + 1, 3) é perpendicular ao plano formado pelos vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5), calcule o valor de x.
Alguns Tipos de vetores:
Vetor nulo: é o vetor de comprimento zero. Assim se = 0 ( A origem coincide com a extremidade.
Vetor oposto: o vetor oposto do vetor = é o vetor -= -. O vetor oposto possui mesmo comprimento, mesma direção, mas sentido contrário.
							
					-
Vetores colineares ou paralelos: São vetores que possuem mesma 						direção e indica-se por .
					
Se os vetores e são paralelos, então: ou 
Exercícios:
1) Encontre o valor de x para que os vetores e ,sejam paralelos :
 a) = ( x - 2 , 1,0 ), = ( 1 , 3,0 ) b) = ( 0 , 5, 10 ), = ( x , 2, 4 ) c) = ( 5 ,0 ), = ( x , 2 )
 
2) Determinar m e n de modo que os vetores =(1,-2,m) e=(4,n,-5) sejam paralelos.
3) Calcular a e b de modo que os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares.
4) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ?
Respostas:
1) a) x = b) x = 0 c) NÃO EXISTE 2) n = -8 e m = 3) a = e b = 4) SIM
Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados,
			 
P
	
Vetores ortogonais: são dois vetores . 
				 				 
 
					 			 
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ENTRE VETORES:
Sendo , e vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades:
Comutativa: += +
Associativa: (+) + = +( + )
Elemento neutro: + = 
Elemento oposto: + (-) = 
O vetor + (-) = -é chamado diferença entre e.
Sejam e R3 e m e n R, o produto do número real por vetor admite as seguintes propriedades:
Comutativa: m . = . m
Associativa: m . (n.) = (m . n). 
Distributiva: (m + n). = m .+ n.
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
       Para o produto escalar são válidas as propriedades:
P1. u.v = v.u (comutatividade) 
P2. u.v = 0 u v.
P3. (u.v).w é um vetor, pois (u.v) é um escalar e (u.v).w é o produto de um escalar por um vetor.
P4. (u.v).w u.(v.w) pois (u.v).w é um vetor na direção de w e u.(v.w) é um vetor na direção de u.
P5. s.(u.v) = (s.u).v
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
        Para o produto escalar são válidas as propriedades:
P1. u x v = -(v x u) (anti-comutativa)
P2. r.(u x v) = (ru) x v
P3. u x v = 0 u = rv u // v.
P4. (u x v) x w ¹ u x (v x w) (anti-associativa)
ALGUMAS OBSERVAÇÕES SOBRE O PRODUTO u.(v x w)
I.  u.(v x w) (u.v) x w  o primeiro um escalar e o segundo um vetor.
II. u.(v x w) = (u x v).w
III. Permutações circulares dos três vetores não modifica o produto, isto é: u.(v x w) = v.(w x u) = w.(u x v).
IV. A troca da ordem de dois vetores modifica o sinal do produto, isto é: v.(u x w) = u. (w x v) = w.(v x u) = -u.(v x w).