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O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA Mostraremos neste momento como a derivada primeira ( ) pode ser usado para determinar os pontos críticos e onde (intervalo) uma função é crescente ou decrescente. Pontos Críticos Sendo um ponto pertencente ao domínio de uma função , diz-se que é abscissa de um ponto crítico se: A função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos nos quais a função pode assumir máximos ou mínimos relativos são aquelas nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo. não está definida Exemplo 1: Seja definida por . (a) Determinar os intervalos em que é crescente e os intervalos em que é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de . Teste da derivada Primeira Exemplo 2: Seja definida por . (a) Determinar os intervalos em que é crescente e os intervalos em que é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de . Exemplo 3: Seja definida por . (a) Determinar os intervalos em que é crescente e os intervalos em que é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de . CONCAVIDADE E O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA Usaremos o sinal da derivada segunda ( ) para determinar onde a derivada é crescente e onde ela é decrescente. Teste da Concavidade Exemplo 1: Se . Determine os intervalos em que o gráfico de é côncavo para cima ou côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico de . Teste da Derivada Segunda Exemplo 2: Se , use o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais de . Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão e esboce o gráfico de . Exemplo 3: Estude f com relação a concavidade e determine os pontos de inflexão se existirem. a) b) c) EXERCÍCIOS - Derivadas Nos problemas 1 a 16, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação. ��� EMBED Equation.2 ��� EMBED Equation.2 ��� EMBED Equation.2 � Respostas EXERCÍCIOS: derivada das funções trigonométricas 1 – Calcule a derivada das seguintes funções: 2 – Ache se . 3 – Ache se . 8) Calcule a derivada: g(t) = d) h(z)= f(x) = e) t(x) k(v) = Soluções: 8) a) b) t´(x)= 12x5 26. Ache (derivar duas vezes a função e substituir o valor de x = 1) 27. Ache Nos exercícios 28 e 29, ache . Nos exercícios 30 e 31, ache . Nos exercícios 32 – 35, ache Nos exercícios 36 – 39, ache a derivada indicada. Respostas: Seja � EMBED Equation.3 ��� contínua em � EMBED Equation.3 ��� e diferenciável em � EMBED Equation.3 ���. Se � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���,então � EMBED Equation.3 ��� é crescente em � EMBED Equation.3 ���. Se � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���,então � EMBED Equation.3 ��� é decrescente em � EMBED Equation.3 ���. x y � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� Seja � EMBED Equation.3 ��� um número crítico de � EMBED Equation.3 ���, e suponhamos � EMBED Equation.3 ��� contínua em � EMBED Equation.3 ��� e diferenciável em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ��� contendo � EMBED Equation.3 ���, exceto possivelmente no próprio � EMBED Equation.3 ��� Se � EMBED Equation.3 ��� passa de positiva para negativa em � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� é máximo local de � EMBED Equation.3 ���. Se � EMBED Equation.3 ��� passa de negativa para positiva em � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� é mínimo local de � EMBED Equation.3 ���. Se � EMBED Equation.3 ��� ou � EMBED Equation.3 ��� para todo� EMBED Equation.3 ��� em� EMBED Equation.3 ���exceto � EMBED Equation.3 ���, então� EMBED Equation.3 ��� não é extremo local de � EMBED Equation.3 ���. Se � EMBED Equation.3 ��� for diferenciável em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ���. O gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é Côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� é crescente em � EMBED Equation.3 ���. Côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� é decrescente em � EMBED Equation.3 ���. � EMBED Equation.3 ��� x y � EMBED Equation.3 ��� decrescente � EMBED Equation.3 ��� Gráfico côncavo para baixo � EMBED Equation.3 ��� x y � EMBED Equation.3 ��� crescente � EMBED Equation.3 ��� Gráfico côncavo para cima Se a derivada segunda � EMBED Equation.3 ��� de � EMBED Equation.3 ��� existe em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ���, então o gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é Côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���. Côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ���em � EMBED Equation.3 ���. Um ponto � EMBED Equation.3 ��� do gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é um ponto de inflexão se são verificadas as duas condições: � EMBED Equation.3 ��� é contínua em � EMBED Equation.3 ���. Existe um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ��� contendo � EMBED Equation.3 ��� tal que o gráfico é côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� e côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ���, ou vice versa. Seja � EMBED Equation.3 ��� diferenciável em um intervalo aberto contendo � EMBED Equation.3 ���, e � EMBED Equation.3 ���. Se � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� tem máximo local em � EMBED Equation.3 ���. Se � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� tem mínimo local em � EMBED Equation.3 ���. _1210420260.unknown _1210422145.unknown _1210507509.unknown _1397566878.unknown _1397567168.unknown _1442263111.unknown _1442263134.unknown _1442263149.unknown _1397567188.unknown _1397567127.unknown _1349760131.unknown _1397502586.unknown _1223153181.unknown _1223153196.unknown _1223153184.unknown _1223153171.unknown _1223153177.unknown _1210422258.unknown _1210422405.unknown _1210422506.unknown _1210422784.unknown _1210422819.unknown _1210507482.unknown _1210422507.unknown _1210422504.unknown _1210422505.unknown _1210422479.unknown _1210422477.unknown _1210422334.unknown _1210422394.unknown _1210422260.unknown _1210422177.unknown _1210422193.unknown _1210422156.unknown _1210421043.unknown _1210421833.unknown _1210422092.unknown _1210422108.unknown _1210422043.unknown _1210421072.unknown _1210421170.unknown _1210421234.unknown _1210421169.unknown _1210421055.unknown _1210420778.unknown _1210420841.unknown _1210421025.unknown _1210420813.unknown _1210420367.unknown _1210420613.unknown _1210420744.unknown _1210420538.unknown _1210420318.unknown _1210420340.unknown _1210420292.unknown _1210417613.unknown _1210417967.unknown _1210418018.unknown _1210418137.unknown _1210418218.unknown _1210419981.unknown _1210420082.unknown _1210418145.unknown _1210418217.unknown _1210418098.unknown _1210417984.unknown _1210418016.unknown _1210418017.unknown _1210418005.unknown_1210417876.unknown _1210417899.unknown _1210417924.unknown _1210417945.unknown _1210417890.unknown _1210417855.unknown _1210417867.unknown _1210417843.unknown _1178453536.unknown _1180527612.unknown _1210416068.unknown _1210416164.unknown _1210417106.unknown _1210417449.unknown _1210417508.unknown _1210417527.unknown _1210417492.unknown _1210417174.unknown _1210417241.unknown _1210417136.unknown _1210417025.unknown _1210417095.unknown _1210416194.unknown _1210416110.unknown _1210416117.unknown _1210416092.unknown _1210415890.unknown _1210416035.unknown _1210416045.unknown _1210415925.unknown _1180527686.unknown _1180527712.unknown _1180527661.unknown _1179669603.unknown _1179669727.unknown _1178454531.unknown _1178454584.unknown _1178454614.unknown _1178454554.unknown _1178453666.unknown _1178453825.unknown _1083155639.unknown _1178453320.unknown _1178453471.unknown _1152510495.unknown _924967913.unknown _945585571.unknown _953367440.unknown _953367383.unknown _945585569.unknown _924967048.unknown _924967118.unknown _924967040.unknown
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