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O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA
Mostraremos neste momento como a derivada primeira (
) pode ser usado para determinar os pontos críticos e onde (intervalo) uma função 
 é crescente ou decrescente.
 Pontos Críticos
 Sendo 
 um ponto pertencente ao domínio de uma função
, diz-se que 
 é abscissa de um ponto crítico se:
 A função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos nos quais a função pode assumir máximos ou mínimos relativos são aquelas nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas.
 O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo.
não está definida
Exemplo 1: Seja 
 definida por 
. (a) Determinar os intervalos em que 
 é crescente e os intervalos em que 
 é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de 
.
Teste da derivada Primeira
Exemplo 2: Seja 
 definida por 
. (a) Determinar os intervalos em que 
 é crescente e os intervalos em que 
 é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de 
.
Exemplo 3: Seja 
 definida por 
. (a) Determinar os intervalos em que 
 é crescente e os intervalos em que 
 é decrescente. (b) Esboçar o gráfico de 
.
CONCAVIDADE E O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA
Usaremos o sinal da derivada segunda (
) para determinar onde a derivada 
 é crescente e onde ela é decrescente.
Teste da Concavidade
Exemplo 1: Se 
. Determine os intervalos em que o gráfico de 
 é côncavo para cima ou côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico de 
.
Teste da Derivada Segunda
Exemplo 2: Se 
, use o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais de 
. Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão e esboce o gráfico de 
.
Exemplo 3: Estude f com relação a concavidade e determine os pontos de inflexão se existirem.
a) 
b) 
c) 
EXERCÍCIOS - Derivadas
Nos problemas 1 a 16, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
��� EMBED Equation.2 ��� EMBED Equation.2 ��� EMBED Equation.2 �
Respostas
EXERCÍCIOS: derivada das funções trigonométricas
1 – Calcule a derivada das seguintes funções:
	
	
2 – Ache 
 se 
.
3 – Ache 
 se 
.
8) Calcule a derivada:
g(t) =
 				d) h(z)=
f(x) =
 				e) t(x)
k(v) =
 				
Soluções: 
8)
 a) 
b) 
t´(x)= 12x5
26. Ache 
 (derivar duas vezes a função e substituir o valor de x = 1)
27. Ache 
Nos exercícios 28 e 29, ache 
.
Nos exercícios 30 e 31, ache 
.
Nos exercícios 32 – 35, ache 
Nos exercícios 36 – 39, ache a derivada indicada.
Respostas:
Seja � EMBED Equation.3 ��� contínua em � EMBED Equation.3 ��� e diferenciável em � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���,então � EMBED Equation.3 ��� é crescente em � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���,então � EMBED Equation.3 ��� é decrescente em � EMBED Equation.3 ���.
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Seja � EMBED Equation.3 ��� um número crítico de � EMBED Equation.3 ���, e suponhamos � EMBED Equation.3 ��� contínua em � EMBED Equation.3 ��� e diferenciável em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ��� contendo � EMBED Equation.3 ���, exceto possivelmente no próprio � EMBED Equation.3 ���
Se � EMBED Equation.3 ��� passa de positiva para negativa em � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� é máximo local de � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� passa de negativa para positiva em � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� é mínimo local de � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� ou � EMBED Equation.3 ��� para todo� EMBED Equation.3 ��� em� EMBED Equation.3 ���exceto � EMBED Equation.3 ���, então� EMBED Equation.3 ��� não é extremo local de � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ��� for diferenciável em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ���. O gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é
Côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� é crescente em � EMBED Equation.3 ���.
Côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� é decrescente em � EMBED Equation.3 ���.
� EMBED Equation.3 ���
x
y
� EMBED Equation.3 ��� decrescente
� EMBED Equation.3 ���
Gráfico côncavo para baixo
� EMBED Equation.3 ���
x
y
� EMBED Equation.3 ��� crescente
� EMBED Equation.3 ���
Gráfico côncavo para cima
Se a derivada segunda � EMBED Equation.3 ��� de � EMBED Equation.3 ��� existe em um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ���, então o gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é
Côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���.
Côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ��� se � EMBED Equation.3 ���em � EMBED Equation.3 ���.
Um ponto � EMBED Equation.3 ��� do gráfico de � EMBED Equation.3 ��� é um ponto de inflexão se são verificadas as duas condições:
� EMBED Equation.3 ��� é contínua em � EMBED Equation.3 ���.
Existe um intervalo aberto � EMBED Equation.3 ��� contendo � EMBED Equation.3 ��� tal que o gráfico é côncavo para cima em � EMBED Equation.3 ��� e côncavo para baixo em � EMBED Equation.3 ���, ou vice versa.
Seja � EMBED Equation.3 ��� diferenciável em um intervalo aberto contendo � EMBED Equation.3 ���, e � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� tem máximo local em � EMBED Equation.3 ���.
Se � EMBED Equation.3 ���, então � EMBED Equation.3 ��� tem mínimo local em � EMBED Equation.3 ���.
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