Soluções FOLHA 4

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Electromagnetismo I ............... 2013/2014
Lic. em F´ısica, Eng. F´ısica e Bioq., menor em F´ısica e em Biof´ısica, Mest. Int. em Eng. F´ısica
Folha 4: Circuitos: Feno´menos transito´rios e corrente alternada ............ Soluc¸o˜es dos exerc´ıcios
1. No instante t = 0+:
I = 0, em R2 ; I1 = I2 = Q/RC , sendo I1 a corrente no ramo de C1 e I2 a corrente no ramo
de C2.
2. No instante t = 0+, tem-se:
qC = 0 ; IC = IL = E/R .
3. a) Quando se atinge o regime estaciona´rio, na˜o ha´ variac¸o˜es com o tempo e, portanto,
LdI2
dt
= 0, sendo I2 a corrente no ramo da bobina. Usando as equac¸o˜es do circuito (dos
nodos e das malhas), conclui-se que, nesta situac¸a˜o: I = I2 =
ε
R2
e I1 = 0, sendo I a
corrente no ramo do gerador e I1 a corrente em R1.
b) Quando se abre o interruptor, a corrente no circuito passa a ser dada por:
I(t) =
ε
R2
e−
R1
L
t
A energia dissipada em R1 e´:
UR1 =
∫
∞
0
R1I
2(t)dt =
1
2
L
(
ε
R2
)2
.
A energia dissipada so´ depende da energia que estava dispon´ıvel, armazenada na bobina.
O valor de R1 apenas tem influeˆncia na durac¸a˜o do intervalo de tempo em que a energia
e´ dissipada.
4. Igualando as expresso˜es UC(t) = q
2(t)/2C e UL(t) = LI
2(t)/2, com q(t) = Q0 cos(ωt) e
I(t) = ωQ0 sin(ωt), onde ω =
√
1/(LC), obte´m-se a expressa˜o pedida.
5. R ≃ 9, 2 kΩ.
6. a) cosφ = 0, 6
b) Pmed = 17, 3 W.
7. A frequeˆncia de ressonaˆncia e´ fr ≃ 300 Hz; a corrente que percorre o circuito tem de amplitude
20 mA e esta´ em fase com a tensa˜o aplicada.
8. a) A tensa˜o entre os pontos A e B pode escrever-se V AB = Z1I1 = Z2I2, sendo
Z1 = 30 + 40j e Z2 = 40 − 30j. Obte´m-se I2/I1 = Z1/Z2 = j, de onde se conclui
que as correntes teˆm a mesma amplitude e I2(t) esta´ adiantada 90
o em relac¸a˜o a I1(t).
b) A impedaˆncia total do circuito e´
Z = ZAB + ZC = 35 + j
(
5− 1
ωC
)
.
O circuito esta´ em ressonaˆncia quando a impedaˆncia tem apenas parte real Z = 35Ω;
portanto a frequeˆncia deve ser ω = 200 rad/s, ou seja f ≃ 32 hertz.
Nestas condic¸o˜es, I(t) = 5 cos(200t) em fase com V (t) = 175 cos(200t).
c) Representando a tensa˜o aplicada e a corrente I no eixo real, a corrente I2 = 2, 5 + 2, 5j
esta´ adiantada 45o e a corrente I1 = 2, 5 − 2, 5j esta´ atrasada 45o, em relac¸a˜o a I.
A tensa˜o no condensador C1, V C1 = −25j esta´ atrasada 90o relativamente a I , como
deve acontecer e a tensa˜o V AB = 175 + 25j tem de amplitude cerca de 177 volts e esta´
adiantada cerca de 8o, tambe´m em relac¸a˜o a I.
d) A poteˆncia me´dia fornecida e´ dada por
P f =
1
2
V0I0 cosφ ,
obtendo-se, neste caso, P f = 437, 5 W. A poteˆncia dissipada nas resisteˆncias e´
P diss =
1
2
R1I
2
01 +
1
2
R2I
2
02 ,
que conduz ao mesmo valor de 437,5 W.
9. a) Tomando como refereˆncia a tensa˜o aplicada, obte´m-se: I = 10+10j , I1 = 10 e I2 = 10j .
b) A tensa˜o entre os pontos A e B, V2(t) esta´ adiantada 45
o relativamente a` tensa˜o aplicada,
V1(t).
c) A tensa˜o V 1, de amplitude 100 V, representa-se no eixo real, a tensa˜o V 2, de amplitude
50
√
2 V, faz um aˆngulo de 45o com o eixo real e a tensa˜o no condensador em se´rie com
o gerador, V C , cuja amplitude e´ igualmente de 50
√
2 V, faz um aˆngulo de −45o com o
eixo real.
A corrente I1, de amplitude 10 A representa-se tambe´m no eixo real, a corrente I2 tem
a mesma amplitude (10 A) mas esta´ adiantada 90o, representando-se, portanto, no eixo
imagina´rio; a corrente I, de amplitude 10
√
2 A, esta´ em fase com a tensa˜o V 2, uma vez
que a impedaˆncia equivalente entre os pontos A e B e´ real.
10. a) Nestas condic¸o˜es, o circuito estara´ em ressonaˆncia, para o que devera´ verificar-se
C = 265µF.
b) Representando a corrente no ramo do gerador e a tensa˜o por ele fornecida no eixo real
(com amplitudes 12,5 A e 25 V, respectivamente), a tensa˜o atrave´s do condensador, de
amplitude 75 V, esta´ atrasada 90o e a tensa˜o V AB, de amplitude 79 V, esta´ adiantada
cerca de 72o.
11. Tomando como refereˆncia a tensa˜o aplicada, V = 120 e a corrente I1 = 4:
a) A tensa˜o entre os pontos M e N e´ dada por V MN = 80 + 80j ; a sua amplitude e´ cerca
de 113 V e esta´ adiantada 45o relativamente a` tensa˜o aplicada.
b) A corrente no ramo do gerador e´ I = 8 + 4j e a impedaˆncia Z2 e´ real e vale Z2 = 20Ω.
c) Representando a tensa˜o aplicada e a corrente I1 no eixo real, a tensa˜o V MN esta´ adi-
antada 45o, o mesmo se verificando com a corrente I2 = 4 + 4j . A corrente I esta´
adiantada cerca de 26,6o relativamente a` tensa˜o aplicada e a tensa˜o V C = 40− 80j esta´
atrasada 90o relativamente a esta corrente, como deve acontecer.
d) Pmed. = 480 W.
12. a) A corrente pedida e´ I(t) =
√
80 cos(314t − 1, 1).
b) A tensa˜o V (t) esta´ adiantada 18,43o relativamente a` tensa˜o VAB(t).
2
c) As correntes sa˜o representadas, na notac¸a˜o de complexos, por I1 = −4−12j , I2 = 8+4j ,
e I = 4 − 8j . Quanto a`s tenso˜es sa˜o dadas, igualmente na notac¸a˜o complexa, por
V L = 40 + 20j , V L1 = 60− 20j , V AB = 60− 20j e V apl. = 100 .
d) A capacidade do condensador devera´ ser C ′ = 318µF e a corrente tem, nestas condic¸o˜es,
a amplitude de 20 A.
13. b) A corrente I(t) esta´ adiantada cerca de 63,43o relativamente a` tensa˜o aplicada ao circuito.
c) As correntes sa˜o representadas, na notac¸a˜o de complexos, por I1 = 2, 4 + 4, 8j ,
I2 = −1, 2 − 2, 4j e I = 1, 2+2, 4j . Quanto a`s tenso˜es sa˜o dadas, igualmente na notac¸a˜o
complexa, por V R = 60 + 120j , V C = 240− 120j e V apl. = 300 .
d) A indutaˆncia da bobina referida devera´ ser L′ = 400mH e a corrente tem, nestas
condic¸o˜es, a amplitude de 6 A.
14. a) A tensa˜o de sa´ıda esta´ em fase com a corrente e, portanto
tan φ =
ωL
R
=⇒ R = 80
tan 30o
≃ 138, 6Ω .
b) Para este circuito, temos:
V0s
V0
=
1√
1 +
(
ωL
R
)2 ,
o que mostra que e´ um filtro que deixa passar baixas frequeˆncias e corta as altas. A
raza˜o das amplitudes e´ V0s
V0
=
√
3/2.
c) No caso de se tirar a tensa˜o aos extremos da bobina:
V0s
V0
=
1√
1 +
(
R
ωL
)2 ,
tem-se um filtro que corta as baixas frequeˆncias e deixa passar as altas. A raza˜o das
amplitudes e´ V0s
V0
= 1/2.
d) As func¸o˜es pedidas sa˜o dadas pelas expresso˜es:
I(t) = 0, 125 sin(200 t− pi
6
)A
VR(t) = 10
√
3 sin(200 t − pi
6
)V
VL(t) = 10 sin(200 t +
pi
3
)V
3